1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.5 曲线与方程 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 . 理解 21(1),6 分 7(文 ),5 分 分析解读 1.求曲线方程的题目往往出现在解答题中 ,并且以第一小题的形式出现 ,难度适中 . 2.预计 2019年高考试题中 ,求曲线的方程会有所涉及 . 五年高考 考点 曲线与方程 1.(2017课标全国 理 ,20,12 分 )设 O为坐标 原点 ,动点 M在椭圆 C: +y2=1上 ,过 M作 x轴的垂线 ,垂足为 N,点P满足 =
2、. (1)求点 P的轨迹方程 ; (2)设点 Q在直线 x=-3上 ,且 =1.证明 :过点 P且垂直于 OQ 的直线 l过 C的左焦点 F. 解析 本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题 . (1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0). 由 = 得 x0=x,y0= y. 因为 M(x0,y0)在 C上 ,所以 + =1. 因此点 P的轨迹方程为 x2+y2=2. (2)由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则 =(-3,t), =(-1-m,-n), =3+3m-tn, =(m,n), =(-3-m,t-n)
3、. 由 =1得 -3m-m2+tn-n2=1, 又由 (1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0. 所以 =0,即 . 又过点 P存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P且垂直于 OQ 的直线 l过 C的左焦点 F. 2.(2016课标全国 ,20,12 分 )设圆 x2+y2+2x-15=0的圆心为 A,直线 l过点 B(1,0)且与 x轴不重合 ,l交圆 A于C,D两点 ,过 B作 AC的平行线交 AD于 点 E. (1)证明 |EA|+|EB|为定值 ,并写出点 E的轨迹方程 ; (2)设点 E的轨迹为曲线 C1,直线 l交 C1于 M,N两点 ,过 B且与 l垂直的直线与圆 A交于
4、 P,Q两点 ,求 四边形MPNQ面积的取值范围 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)因为 |AD|=|AC|,EBAC, 故 EBD=ACD=ADC. 所以 |EB|=|ED|,故 |EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆 A的标准方程为 (x+1)2+y2=16,从而 |AD|=4, 所以 |EA|+|EB|=4.(2分 ) 由题设得 A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为 + =1(y0).(4 分 ) (2)当 l与 x轴不垂直时 ,设 l的方程为 y=k(x-1)(k0), M(x1,y1),N(x2,y2). 由
5、 得 (4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0. 则 x1+x2= ,x1x2= . 所以 |MN|= |x1-x2|= .(6分 ) 过点 B(1,0)且与 l垂直的直线 m:y=- (x-1),A到 m的距离为 ,所以 |PQ|=2 =4 . 故四边形 MPNQ的面积 S= |MN|PQ|=12 .(10分 ) 可得当 l与 x轴不垂直时 ,四边形 MPNQ面积的取值范围为 (12,8 ). 当 l与 x轴垂直时 ,其方程为 x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形 MPNQ的面积为 12. 综上 ,四边形 MPNQ面积的取值范围为 12,8 ).(12分 ) 3.(2016课标全
6、国 ,20,12 分 )已知抛物线 C:y2=2x的焦点为 F,平行于 x轴的两条直线 l1,l2分别交 C于 A,B两点 ,交 C的准线于 P,Q两点 . (1)若 F在线段 AB上 ,R是 PQ的中点 ,证明 ARFQ; (2)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍 ,求 AB 中点的轨迹方程 . 解析 由题设知 F .设 l1:y=a,l2:y=b,则 ab0, 且 A ,B ,P ,Q ,R . 记过 A,B两点的直线为 l,则 l的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.(3 分 ) (1)证明 :由于 F在线段 AB 上 ,故 1+ab=0. 记 AR的斜率为 k1,FQ的斜率为
7、 k2,则 k1= = = = =-b=k2.所以 ARFQ.(5 分 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设 l与 x轴的交点为 D(x1,0),则 SABF = |b-a|FD|= |b-a| ,SPQF = . 由题设可得 2 |b-a| = , 所以 x1=0(舍去 ),或 x1=1.(8 分 ) 设满足条件的 AB 的中点 为 E(x,y). 当 AB与 x轴不垂直时 ,由 kAB=kDE可得 = (x1). 而 =y,所以 y2=x-1(x1). 当 AB与 x轴垂直时 ,E 与 D重合 .所以 ,所求轨迹方程为 y2=x-1.(12分 ) 4.(2015广东 ,20,14
8、分 )已知过原点的动直线 l与圆 C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1的圆心坐标 ; (2)求线段 AB的中点 M的轨迹 C的方程 ; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C只有一个交点 ?若存在 ,求出 k的取值范围 ;若不存在 ,说明理由 . 解析 (1)圆 C1的方程 x2+y2-6x+5=0可化为 (x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为 (3,0). (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x 2),M(x0,y0), 则 x0= ,y0= . 由题意可知直线 l的斜率必存在 ,设直线 l的方程为 y=tx. 将
9、上述方程代入圆 C1的方程 ,化简得 (1+t2)x2-6x+5=0. 由题意 ,可得 =36 -20(1+t2)0(*),x1+x2= , 所以 x0= ,代入直线 l的方程 ,得 y0= . 因为 + = + = = =3x0, 所以 + = . 由 (*)解得 t2 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 即当 k( -, -1) 时 ,直线 l与 C1没有公共点 ,与 C2有一个公共点 , 故此时直线 l与轨迹 C恰好有一个公共点 . 若 或 则由 解得 k 或 - kb0)的一个焦点为 ( ,0),离心率为 . (1)求椭圆 C的标准方程 ; (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C外
10、一点 ,且点 P到椭圆 C的两条切线相互垂直 ,求点 P的轨迹方程 . 解析 (1)由题意知 c= ,e= = , a=3,b 2=a2-c2=4, 故椭圆 C的标准方程为 + =1. (2)设两切线为 l1,l2, 当 l1x 轴或 l1x 轴时 ,l2x 轴或 l2x 轴 ,可知 P(3,2). =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 l1与 x 轴不垂直且 不平行时 ,x03, 设 l1的斜率为 k,且 k0, 则 l2的斜率为 - ,l1的方程为 y-y0=k(x-x0),与 + =1联立 , 整理得 (9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0, 直线
11、l1与椭圆相切 ,=0, 即 9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y 0-kx0)2-4=0, ( -9)k2-2x0y0k+ -4=0, k 是方程 ( -9)x2-2x0y0x+ -4=0 的一个根 ,同理 ,- 是方程 ( -9)x2-2x0y0x+ -4=0的另一个根 , k = ,整理得 + =13,其中 x03, 点 P的轨迹方程为 x2+y2=13(x3). P(3,2) 满足上式 . 综上 ,点 P的轨迹方程为 x2+y2=13. 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点 曲线与方程 1.(2018浙江镇海中学阶段性测试 ,8)在圆 C:x2+y2+2x
12、-2y-23=0中 ,长为 8的弦中点的轨迹方程为 ( ) A.(x-1)2+(y+1)2=9 B.(x+1)2+(y-1)2=9 C.(x-1)2+(y+1)2=16 D.(x+1)2+(y-1)2=16 答案 B 2.(2017浙江温州十校期末联考 ,6)点 P为直线 y= x上任一点 ,F1(-5,0),F2(5,0),则下列结论正确的是 ( ) A.|PF1|-|PF2|8 B.|PF1|-|PF2|=8 C.|PF1|-|PF2|0), 求动点 M的轨迹方程 ,并说明它表示什么曲线 . 解析 设 M(x,y),则 |MN|= = ,|MQ|= , 由题设知 =, =,(5 分 ) 两
13、边平方整理得 (1- 2)x2+(1- 2)y2+4 2x-(1+4 2)=0(0),(7 分 ) 由 得 =1,(8 分 ) 当 =1 时 ,方程化为 4x-5=0,表示一条垂直于 x轴的直线 ;(10分 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 (0,1)(1,+) 时 ,方程 可变形为 x2+y2+ x- =0,配方得 +y2= , 方程表示一个圆 .(14分 ) 综上 ,动点 M的轨迹方程为 (1- 2)x2+(1- 2)y2+4 2x-(1+4 2)=0(0), 当 =1 时 ,它表示一条垂直于 x轴的直线 ;当 (0,1)(1,+) 时 ,它表示一个圆 .(15分 ) C组 201
14、6 2018 年模拟 方法题组 方法 1 直接法求轨迹方程 1.在 ABC 中 , , =(0,-2),M在 y轴上 ,且 = ( + ),C在 x轴上移动 .求点 B的轨迹方程 . 解析 设 B(x,y),C(a,0),M(0,b),a0, = ( + ), M 是 BC的中点 ,可得 a= -x,b= , 又 =(-a,-2), =(x-a,y), , -ax+a2-2y=0, 把 a=-x代入 中 ,得 y=x2(x0), 所以点 B的轨迹方程为 y=x2(x0). 2.已知 ABC 中 ,AB=2,AC= BC,求顶点 C的轨迹方程 . 解析 以直线 AB 为 x轴 ,线段 AB 的垂
15、直平分线为 y轴 ,建立平面直角坐标系 ,则 A(-1,0),B(1,0). 设 C(x,y),由 AC= BC 得 , = , 平方 整理得 (x-3)2+y2=8, A 、 B、 C三点为三角形的顶点 ,y0, 顶点 C的轨迹方程为 (x-3)2+y2=8(y0). 方法 2 定义法求轨迹方程 3.已知 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C为焦点的椭圆过 A,B两点 ,则椭圆的另一个焦点 F的轨迹方程为 ( ) A.y2- =1(y -1) B.y2- =1(y -1) C.y2- =1 D.x2- =1 答案 A 方法 3 相关点法求轨迹方程 4.过点 (1,0)的直线
16、l与中心在原点、焦点在 x轴 上且离心率为 的椭圆 C相交于 A、 B两点 ,直线 y= x过线段AB的中点 ,同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线 l 对称 ,试求直线 l与椭圆 C的方程 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设椭圆 C的方程为 + =1(ab0),由 e= = ,得 = ,从而 a2=2b2,所以 c=b. 故椭圆 C方程为 x2+2y2=2b2,设 A(x1,y1)、 B(x2,y2),A 、 B在椭圆 C上 , +2 =2b2, +2 =2b2,两式相减得( - )+2( - )=0,即 =- . 设 AB中点为 (x0,y0),则 kAB=- ,又 (x0,y0)在直线 y= x上 ,故 y0= x0,于是 - =-1,即 kAB=-1,故直线 l的方程为y=-x+1. 右焦点 (b,0)关于直线 l的对称点设为 (x,y), 则 解得 由点 (1,1-b)在椭圆上 ,得 1+2(1-b)2=2b2, b= ,b 2= ,a2= . 所求椭圆 C的方程为 + =1.
