1、第十章 圆锥曲线与方程10.1 椭圆及其性质,高考数学,考点一椭圆的定义和标准方程1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距,符号表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|).注意:(1)当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;(2)当2ab0),焦点在y轴上的椭圆的标准方程为?+?=1(ab0).给定椭圆?+?=1,m0,n0(mn),知识清单,要根据m、n的大小来判断焦点在哪个坐标轴上,焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)若焦点位置不定,则可设椭圆方程为Ax2+By2=
2、1(A0,B0,且AB).,考点二椭圆的几何性质1.椭圆的简单几何性质,2.利用椭圆的参数方程?通过参数能间接表示椭圆上点的坐标,从而转化为三角函数问题求解.3.点P(x0,y0)和椭圆?+?=1(ab0)的关系:(1)P(x0,y0)在椭圆内?+?1.,4.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2称作焦点三角形.如图,|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=.?(1)cos =?-1.(2)?=?r1r2sin =?b2=b2tan?=c|y0|.当|y0|=b,即P为短轴端点时,?最大,且最大值为bc.,5.AB为椭圆?+?=1(ab0)的弦.设直线AB的斜率
3、存在且为k(k0),且A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0).则(1)弦长l=|x1-x2|?=|y1-y2|?.(2)k=-?.(3)直线AB的方程:y-y0=-?(x-x0).(4)线段AB的垂直平分线方程:y-y0=?(x-x0).,椭圆的定义和标准方程的解题策略1.涉及椭圆上的点到焦点的距离问题(可能到一个焦点的距离)常常用到定义.2.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定型,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,那么要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭圆方程设成mx2+ny2=1(m0,n0
4、,mn)的形式.例1(2017浙江名校协作体期初,19)已知椭圆C:?+?=1(ab0),过椭圆C上一点P与椭圆相切的直线l为y=-?x+?,且点P的横坐标为2.(1)求椭圆C的标准方程;,方法技巧,(2)若AB是椭圆的一条动弦,且|AB|=?,求AOB面积的最大值.,解析(1)由已知得P(2,?),故?+?=1,联立?得b2x2+a2?=a2b2,化简得?x2-?a2x+?a2-a2b2=0,?(4分)由=0,得a2+8b2-36=0,联立可得a2=12,b2=3,故椭圆C:?+?=1.?(6分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+
5、b,联立?得(4k2+1)x2+8kbx+4(b2-3)=0,故x1+x2=-?,x1x2=?,?(8分)由|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)(x2+x1)2-4x1x2=?,得b2=3(1+4k2)-?.?(10分)又原点O到直线AB的距离d=?,所以AOB的面积S=?,所以S2=?,令u=?,则S2=-?=-?+9,又u=?=4-?1,4),所以当u=?时,S2取最大值,?=9,故Smax=3.,(13分)当直线AB的斜率不存在时,AOB的面积为?.?(14分)综上可得AOB面积的最大值为3.?(15分),评析本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,弦长计算,韦达
6、定理,点到直线的距离,三角形面积的最值等基础知识,考查化归与转化思想以及函数与方程思想.,椭圆的几何性质的解题策略椭圆的几何性质包括:范围、对称性、顶点、离心率等,常考内容是离心率,解决离心率问题的关键在于如何构造关于a与c的等式或不等式,同时还要关注其他几个性质的应用.例2(2017浙江嘉兴基础测试,20)已知椭圆C:?+?=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为?,经过点F2且倾斜角为45的直线l交椭圆于A,B两点.(1)若ABF1的周长为16,求直线l的方程;(2)若|AB|=?,求椭圆C的方程.,解题导引(1)由椭圆的性质求a由离心率的定义得c代入得直线方程(2)由离心率的
7、定义,把椭圆和直线方程化为只含参数c的形式联立直线与椭圆方程,由韦达定理计算弦长由|AB|=?得c的值由椭圆的性质得椭圆的标准方程,解析(1)由题设得4a=16?a=4,又?=?,c=2,F2(2,0),直线l的方程为y=x-2.(2)由?=?,得a=2c,b=?c,椭圆C:3x2+4y2=12c2,又l:y=x-c,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立?消去y得7x2-8cx-8c2=0,x1+x2=?c,x1x2=-?c2,且0,|AB|=?=?=?c=?,解得c=1,a2=,4,b2=3. 故所求椭圆C的方程为?+?=1.,评析本题考查椭圆的标准方程和性质,直线与椭圆的位置关系,弦
8、长计算,韦达定理等基础知识,考查运算推理能力.,与椭圆有关的综合问题的解题策略与椭圆有关的综合问题主要有以下几个方面:1.求直线与椭圆的相交弦长,一般是联立直线与椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式|AB|=?|x1-x2|=?|y1-y2|(k为直线的斜率,且不为0)进行求解.求弦长的取值范围或最值,利用判别式大于零,得到相关参变量的取值范围.2.求弦所在的直线方程(如中点弦、相交弦等)、弦的中点轨迹等,往往利用韦达定理和“点差法”,但要注意判别式必须大于零.3.与直线斜率综合,一般由斜率公式和韦达定理进行转化.4.求椭圆内接三角形、四边形的面积(或面积的取值范围、最值),一般求出一条弦的长和另
9、一点到这条弦的距离,得三角形面积(四边形一般,分为两个三角形).若是求面积的取值范围或最值,往往把面积表示为某个参量(斜率、截距等)的函数,转化为求函数的值域或最值.例3(2015浙江,19,15分)已知椭圆?+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+?对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).,解析(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为y=- ?x+b.由?消去y,得?x2-?x+b2-1=0.因为直线y=-?x+b与椭圆?+y2=1有两个不同的交点,所以=-2b2+2+?0,?将AB中点M?代入直线方程y=mx+?,解得b=-?.?由得m?.,(2)令t=?,则|AB|=?,且O到直线AB的距离为d=?.设AOB的面积为S(t),所以S(t)=?|AB|d=?.当且仅当t2=?时,等号成立.故AOB面积的最大值为?.,
