1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（二十九） 求解空间几何体问题的 2 环节 识图与计算 一、选择题 1如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， E 是 AB 的三等分点， G， N 是 CD 的三等分点，F， H 分别是 BC， MN 的中点，则四棱锥 A1EFGH 的侧视图是 ( ) 解析：选 C 由直观图可知，点 A1， H， E， F 在平面 CDD1C1的射影分别为 D1， N， G， C，在平面 CDD1C1，连接 D1， N， G， C 四点，从左侧看可知图形为选项 C. 2.(2017 永州一模 )如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的
2、三视 图，则该几何体的各个面中最大面的面积为 ( ) A 1 B. 52 C. 6 D 2 3 解析：选 D 由题意得，该几何体的直观图为三棱锥 ABCD，如图，其最大面的表面是边长为 2 2的等边三角形，故其面积为 34 (2 2)2 2 3. 3已知某空间几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 24 48，则该几何体的表面积为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 24 48 B 24 90 6 41 C 48 48 D 24 66 6 41 解析：选 D 由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为 3r、高为4r 的四分之一圆锥，右边是一个底面是直角边长为 3r
3、 的等腰直角三角形、高为 4r 的三棱锥，则 14 13(3 r)24 r 13 123 r3 r4 r 24 48，解得 r 2，则该几何体的表面积为 14610 146 2 1266 2 1268 126 2 82 24 66 6 41. 4已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A 60 12 B 60 6 C 72 12 D 72 6 解析：选 D 根据三视图知该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，且四棱柱的底面是等腰梯形，高为 3， 所以该组合体的体积为 V 12( 4 8)43 122 23 726. 5某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为
4、1 的正方形，则此四面体的外接球的体积为 ( ) A.43 B 3 C. 32 D 解析：选 C 由三视图可知，该几何体是棱长为 1 的正方体截去 4个角的小三棱锥后的几何体，如图所示，该几何体的外接球的直径等于正方体的对角线，即 R 32 ，所以外接球的体积 V 43 R3 32 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A 72 B 48 C 24 D 16 解析：选 C 由三视图可知，该几何体是一四棱锥，底面是上、下底边长分别为 2,4，高是 6 的直角梯形，棱锥的高是 4，则该几何体的体积 V 13 12(2 4)64 24. 7已知
5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ( ) A.1235 B.1243 C.1534 D.1615 解析：选 D 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是两腰长为 3、底边长为 4 的等腰三角形，过底面等腰三角形顶点的侧棱长为 4 且垂直于底面设等腰三角形的顶角为 ，由余弦定理可得 cos 32 32 42233 19， sin 4 59 ，由正弦定理可得底面三角形外接圆的直径 2r 95，则球的直径 2R 42 ? ?95 2 1615 ，所以外接球的表面积为 1615 . 8 (2016 全国卷 )在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若 AB BC
6、，AB 6， BC 8， AA1 3，则 V 的最大值是 ( ) A 4 B.92 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 6 D.323 解析：选 B 设球的半径为 R， ABC 的内切圆半径为 6 8 102 2， R2. 又 2R3 ， R 32， Vmax 43 ? ?32 3 92 . 二、填空题 9四面体 ABCD 中，若 AB CD 2， AC BD 3， AD BC 2，则四面体 ABCD 的外接球的体积是 _ 解析：作一个长方体，面对角线分别为 2， 3， 2， 设长方体的三棱长分别为 x， y， z， 则? x2 y2 2，x2 z2 3，y2 z2 4，则该长方体的体对角线
7、为 x2 y2 z2 3 22 ， 则该长方体的外接球即为四面体 ABCD 的外接球， 则外接球的半径为 R x2 y2 z22 3 24 ，体积为 V43 ?3 243 9 28 . 答案： 9 28 10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，正视图是底边长为 2 的等腰三角形，则正视图的面积为 _ 解析：因为正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且底面是边长为 2 的正三角形，则该正三棱锥的侧棱长为 2，其三棱锥的高 2 2 ? ?23 3 2 63 即为正视图的高，又正视图是底边长为 2 的等腰三角形， 则正视图的面积 S 122 63 63 . 答案： 63 11若三棱锥 SABC 的
8、所有的顶点都在球 O 的球面上， SA 平面 ABC， SA AB 2， AC 4， BAC 3 ，则球 O 的表面积为 _ 解析：由题意，得三棱锥 SABC 是长方体的一部分 (如图所示 )， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以球 O 是该长方体的外接球， 其中 SA AB 2， AC 4， 设球的半径为 R， 则 2R AC2 SA2 42 22 2 5， 所以球 O 的表面积为 4 R2 20. 答案： 20 12.(2017 全国卷 )如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D， E， F 为圆 O 上的点， DBC， ECA， F
9、AB 分别是以 BC， CA， AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 BC， CA， AB 为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D， E， F 重合，得到三棱锥当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积 (单位： cm3)的最大值为 _ 解析： 法一： 由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当 ABC 的边长变化时，设 ABC 的边长为 a(a0)cm，则 ABC 的面积为 34 a2， DBC 的高为 5 36 a，则正三棱锥的高为 ? ?5 36 a 2 ? ?36 a 2 25 5 33 a， 25 5 33 a0， 00，即 x4 2x30，得 0x2， 则当 x ?
10、 ?0， 52 时， f(x) f(2) 80， V 3 80 4 15. 所求三棱锥的体积的最大值为 4 15. 答案： 4 15 三、解答题 13.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面为正方形， PC 与底面 ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形 (1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求 PA. 解： (1)该四棱锥的俯视图为 (内含对角线 )边长为 6 cm 的正方形， 如图，其面积为 36 cm2. (2)由侧视图可求得 PD PC2 CD2 62 62 6 2. 由正视图可知 AD 6
11、，且 AD PD，所以在 Rt APD 中， PA PD2 AD2 2 2 62 6 3(cm) 14 (2015 全国卷 )如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB 16，BC 10， AA1 8，点 E， F 分别在 A1B1， D1C1上， A1E D1F 4.过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形 (不必说明画法和理由 )； (2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 解： (1)交线围成的正方 形 EHGF 如图所示 (2)如图，作 EM AB，垂足为 M， 则 AM A1E 4， EB1 12， EM AA1 8. 因为
12、四边形 EHGF 为正方形， 所以 EH EF BC 10. 于是 MH EH2 EM2 6， AH 10， HB 6. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 S 四边形 A1EHA 12(4 10)8 56， S 四边形 EB1BH 12(12 6)8 72. 因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为 97? ?79也正确 . 1一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A.143 B 5 C.163 D 6 解析：选 A 由三视图可知该几何体是直三棱柱 ABDEFG 和四棱锥CBDGF 的组合体，如图，直三棱柱的底面是一个直角三角形，两条直角边分别
13、是 1,2，高是 2， 则该几何体的体积 V V 三棱柱 ABDEFG V 四棱锥 CBDGF V 三棱柱 ABDEFG V 三棱锥 CDFG V 三棱锥 CBDF V 三棱柱 ABDEFG V 三棱锥 FCDG V 三棱锥 FBDC 12122 13 12222 13 12222 143. 2如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 2 2 B 2 3 C 4 3 D 4 2 解析：选 A 由三视图可知，该几何体是一个组合体 ：一个是底面半径为 1、高为 1 的圆柱的一半，另一个是底面直角边长为 2的等腰直角三角形、高为 2 的直三棱柱，所以该几何体的体积 V 12 2 22 121 21 2 2.
