1、第一章非线性振动初步非线性振动初步第一节 无阻尼单摆的自由振荡第二节 阻尼振子第三节 相图方法第四节 受迫振荡非线性振动初步非线性振动初步第一节第一节 无阻尼单摆的自由振荡无阻尼单摆的自由振荡 1 小角度无阻尼单摆小角度无阻尼单摆 椭圆点椭圆点 2 任意角度无阻尼单摆振动任意角度无阻尼单摆振动 双曲点双曲点 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线无阻尼单摆的相图与势能曲线 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： 非线性方程非线性方程式中角频率：sin22mgFdtdlm0sin22lgdtd0sin2022dtdlg /01 1 小角度无阻尼单摆小角度无阻尼单摆 椭圆点椭圆点数学表达式数学表达式 线性化处理
2、线性化处理忽略3次以上的高次项得线性方程! 7! 5! 3sin753xxxxxxx sin02022dtd0sin2022dtd数学表达式数学表达式1 1 小角度无阻尼单摆小角度无阻尼单摆 椭圆点椭圆点 令代入方程得得特征方程：特征根： 得通解为： 式中 为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 必须满足条件：将 写成指数形式后得： 该式是振幅为P，角频率为 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频角频率只与摆线率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。te020202, 1ititieCeCt0021)()cos()(2/()(0)()(0
3、0tPeePttiti21,CC21,CCtitititieCeCeCeC000021*2*121,CC0数学表达式数学表达式1 1 小角度无阻尼单摆小角度无阻尼单摆 椭圆点椭圆点 使 得：一次积分后： 式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 看作为两个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 ，振动过程是一个代表点沿圆周转动。022dtd10Edtd222121,dtdE相图相图1 1 小角度无阻尼单摆小角度无阻尼单摆 椭圆点椭圆点1 1 小角度无阻尼单摆小角度无阻尼单摆 椭圆点椭圆点相图相图 相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态
4、的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线。能量方程能量方程右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 ，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E 0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆或椭圆。 同一圆周或椭圆上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为椭圆点
5、椭圆点。EVKEdtd2221210周期与摆角无关？看看实验结果：定性结论：1. 周期随摆角增加而增加周期随摆角增加而增加2. 随摆角增加波形趋于矩形随摆角增加波形趋于矩形0510203045T/T01.00001.00051.00191.00771.01741.0369TglT?2/200单摆周期单摆周期2 2 任意角度无阻尼单摆振动任意角度无阻尼单摆振动 双曲点双曲点 对方程乘以 后积分其中 积分设t = 0时， ，周期为 T，在 时应有 ，故有：最后得：0sin2022dtddtd/cos2202Edtd020cos2E2/100)cos(cos2dtd2/100)cos(cos2dt0
6、4/Tt 0002/120202/sin2/sin24/dT2sin43212sin2110420220TT单摆周期数学表达式单摆周期数学表达式2 任意角度无阻尼单摆振动任意角度无阻尼单摆振动 双曲点双曲点 在倒立附近，取对铅垂的偏角f表示摆角，代入单摆方程得方程利用 得方程积分得双曲方程： 当E0时有这是在 处的双曲线的渐近线，这点称为双曲奇点双曲奇点，也称鞍点鞍点。 相图上这点为的 点。f0sin2022dtd0sin2022ffdtdxx sin0222ffdtdEdtd2222121ffffdtd00ff，0,2 任意角度无阻尼单摆振动任意角度无阻尼单摆振动 双曲点双曲点单摆倒立附近的
7、相轨线单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点双曲奇点3 无阻尼单摆的相图与势能曲线无阻尼单摆的相图与势能曲线基本方程若取 后积分得左边第一项是单摆动能 K，左边第二项是势能 V右边积分常数E是单摆总能 势能曲线是余弦函数势能曲线是余弦函数0sin2022dtd10Edtdcos212cos)(V势能曲线势能曲线1.坐标原点坐标原点 附近附近相轨线为近似椭圆椭圆形的闭合闭合轨道；2.平衡点平衡点 为单摆倒置点（鞍点）（鞍点），附近相轨线双曲线双曲线；3.从 到 或相反的连线为分界线分界线在分界线内的轨线是闭合回线在分界线内的轨线是闭合回线单摆作周期振动。分界线以外单摆作周期振动。分界线以外单摆能量单摆能
8、量E E 超过势能曲线的极超过势能曲线的极大值，轨道就不再闭合，单摆大值，轨道就不再闭合，单摆作向左或向右方向的旋转运动作向左或向右方向的旋转运动00，0 0 0 单摆完整相图单摆完整相图3 无阻尼单摆的相图与势能曲线无阻尼单摆的相图与势能曲线相图横坐标相图横坐标是以是以2 2 为周期的，为周期的，摆角摆角 是同一个倒立位置，是同一个倒立位置，把相图上把相图上G点与点与G点重迭一起点重迭一起时时，就把相平面卷缩成一个柱，就把相平面卷缩成一个柱面。所有相轨线都将呈现在柱面。所有相轨线都将呈现在柱面上。因此，平面上的相轨线面上。因此，平面上的相轨线是柱面上的相轨线的展开图。是柱面上的相轨线的展开图
9、。柱面上的单摆相轨线柱面上的单摆相轨线3 无阻尼单摆的相图与势能曲线无阻尼单摆的相图与势能曲线第二节第二节 阻尼振子阻尼振子1 阻尼单摆 不动点2 无驱杜芬方程3 非线性阻尼 范德玻耳方程1. 阻尼单摆阻尼单摆 不动点不动点无阻尼时：设阻尼力与摆的速度成 正比：取 得：如果满足 就有：sinmgFdtdlm22sinmgdtdlFdtdlm22m2/0sin22022dtddtdxx sin022022dtddtdl数学表达式数学表达式 设解为得特征方程为待定常数，特征方程解：故有：通解为最后有：te022022022, 1220i2, 1)(21)(2)(1titittitieCeCeeCe
10、C)cos(tePt小摆角阻尼单摆的解小摆角阻尼单摆的解1. 阻尼单摆阻尼单摆 不动点不动点对阻尼单摆解 微分坐标从 变换到u,v式中消去时间 t阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在u,v平面上是向内旋转的对数螺对数螺旋线簇旋线簇。在 平面内也与此类似。能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从那点出发，经若干次旋转后趋向坐标原点，原点为“吸引子吸引子”，它把相空间的点吸引过来，原点又称不动不动点点。)cos(tePt)sin()cos(ttePdtdtffsin)sin(cos)cos(tAevtAeuttPAtAeftf/ )( tf/ Ce,相轨线相轨线 吸引子吸引子1. 阻尼单摆阻尼单摆 不
11、动点不动点,1.整相平面被通过鞍点G与G的轨线分成三个区域。2.在坐标原点附近轨线是向内旋转的对数螺旋线,和小摆角情况相似;3.鞍点的位置仍在处，22任意摆角下的相图任意摆角下的相图1. 阻尼单摆阻尼单摆 不动点不动点运动运动 从倒立开始往下摆，由于能量耗散达不到原有高度。轨线轨线 从一个鞍点出发到不了另一鞍点，分界线被破坏了。相流相流 所有中间区域的相点流向坐标原点。原点是该区域的不动点，是该区域吸引子。左右两个区域也有相应的吸引子，它们分别处在该图左( -2)和右(+2)两侧。2. 杜芬方程杜芬方程数学上将含有 三次项的二阶方程称为Duffing方程。有。有驱动力方程为： 实验中系数 由磁
12、铁的吸力调整。 弱磁吸力时 ， 强磁吸力时 。 例例：弱非线性单摆属Duffing方程：取： 得：00tFxxdtdxdtxdcos3223x6/sin3xxx0)6/(32022xxdtdxdtxd0sin2022xdtdxdtxd杜芬杜芬方程研究无驱无阻尼杜芬方程： （ ， ， ） 积分得：由系统能量 得：讨论讨论：由 知：1. 当 时有一个平衡点：2. 当 时有三个平衡点：3. 平衡点 为两个能量最小点0322xxdtxdExxdtdx242212121EVK242121xxV0000/dxdV00 xx0 xx00F1势能曲线势能曲线2. 杜芬方程杜芬方程00相图相图2. 杜芬方程杜芬
13、方程00 从杜芬方程势能曲线势能曲线，画出( ）平面上的相轨线。1. 对于 ，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道;2. 对于 ,坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线;在 处是椭圆点，附近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋形轨线。3. 对于 ,通过坐标原点是两条相交界轨线。其中两条轨线走向原点，另两条离开原点；当沿一条从原点出发绕了一圈后回到原点，这原点称同宿点。xx, 00 x000相图相图2. 杜芬方程杜芬方程有阻尼：1. 所有闭合相轨线破裂成向内卷缩的螺旋线。2. ，原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。3. ，原点是鞍点，坐标( )处两不动点，是吸引子。整个
14、相平面被分隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。000322xxdtdxdtxd000 x阻尼方程相图阻尼方程相图2. 杜芬方程杜芬方程3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程小角度单摆方程 阻尼项系数 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：阻尼项系数是 与 x2 有关，e 为可以任意设定的小数。它是为描述 LC 回路电子管振荡器，由范德玻耳建立,称为范德玻耳方程范德玻耳方程022022dtddtd20) 1(20222xdtdxxdtxde) 1(2xeLC/10非线性阻尼振子非线性阻尼振子单摆运动与LC回路范德玻耳方程解法范德玻耳方程解法谐波线性化方法谐波线性化方法 将范德玻耳方程写为仿照
15、单摆方程的解，设范德玻耳方程的解为：两次微分一起代入方程得：令方程两边同次谐波项系数相等得：dtdxxxdtxd) 1(22022etcosAx tcos222AdtxdtsinAdtdxt3sin41+tsin141cos)(32220eeAAAtA02200)(A201412cAAAAe3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程范德玻耳方程解法范德玻耳方程解法谐波线性化方法（续）谐波线性化方法（续） 忽略方程中的三次谐波项。因为： 就有：就可将范德玻耳方程化为线性化方程：其解为dtdxAdtdxx1411)-(22ee0) 141(20222xdtdxAdtxdeteAtxtcos)(14121)(
16、2AAe2/1222202/122014141Ae3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程t3sin41+tsin141cos)(32220eeAAAtAdtdxxxdtxd) 1(22022etsinAdtdx方程解的讨论方程解的讨论线性化方程范德玻耳方程解其衰减系数 与频率 与振幅相关与振幅相关，由此得：1.当 ， 系统作衰减振动，振动频率 ；2.当 ， 系统作增幅振动，振动频率 ；3.当 时，系统作等幅振动，振动频率 ；4.整体上只要初振幅不等于零，振动总是趋向于稳定幅值。teAtxtcos)(14121)(2AAecAA 0)(A0c AA0)(A02=cAA03 非线性阻尼振子 范德玻耳方程2/1222202/122014141Ae 当 时，系统作增幅振动，初始相点从内向外趋近于极限环； 当 时，系统作减幅振动，初始相点从外向内逼近于极限环；范德玻耳方程相图范德玻耳方程相图1 . 0ec24q) 与不稳定的焦点 (p24q) 两个区；第二象限由抛物线划分成稳定的结点 (p24q) 两个区；在正q 轴上, p = 0, 是纯虚数,平 衡点是中心点,附近是椭圆轨线。
