1、任意角 现实世界中的很多运动，变化都有着现实世界中的很多运动，变化都有着循环往复循环往复、周而复始周而复始的现象，这种变化规律称为的现象，这种变化规律称为周期性周期性。地球自转地球自转引起的昼夜交替变化和引起的昼夜交替变化和公转公转引起的四引起的四季交替变化；季交替变化；月亮圆缺月亮圆缺变化的周期性；变化的周期性；潮汐变化潮汐变化的周的周期性，期性，做简谐运动的物体的位移变化做简谐运动的物体的位移变化的周期性的周期性如何用数学的方法来刻画这种变化规律呢？如何用数学的方法来刻画这种变化规律呢？本章要学习的本章要学习的三角函数三角函数就是刻画这种变化规律就是刻画这种变化规律的数学模型的数学模型初中
2、定义：什么是角？范围是多大？初中定义：什么是角？范围是多大？定义：定义：有公共端点的两条射线构成的几何图形。有公共端点的两条射线构成的几何图形。范围：范围：0 0360360OAB跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度?如图是两个齿轮旋转的示意图被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮是有相反的旋转方向.OA绕点O旋转所成的角与O1B绕O1旋转形成的角有不同的方向。要准确描述这些现象，不仅要知道旋转度数，而且要知道旋转方向。就需要对角的概念进行推广。就需要对角的概念进行推广。始边始边终边终边顶点顶点ABO方向方向 一条射线一条射线绕它的
3、端点绕它的端点从一个位置（始边）从一个位置（始边）旋转旋转到另一到另一个位置（终边）所形成的图形个位置（终边）所形成的图形.任意角的概念任意角的概念角：旋转量 旋转方向 一条射线围绕端点逆时针旋转形成的角为正角顺时针旋转形成的角为负角如果一条射线没有任何旋转，就称形成了零角。为了简单起见，在不引起混淆的前提为了简单起见，在不引起混淆的前提下，下，“角角”或或“”可以简记成可以简记成“”.”.问题问题1 1：钟表经过钟表经过4 4小时，时针与分针各转小时，时针与分针各转 (填度填度).).问题：如果你的手表慢了问题：如果你的手表慢了2020分钟，或快了分钟，或快了1.251.25小时，你应该将分
4、钟分别旋转多少度才小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？能将时间校准？120120，450450.120120，-1440-1440.相等角、相反角，角的加减相等角、相反角，角的加减问题问题1：两条射线旋转的方向相同，旋转量相同，则两个：两条射线旋转的方向相同，旋转量相同，则两个角有什么样的大小关系？角有什么样的大小关系？=相等角：旋转方向相同，旋转量相同相等角：旋转方向相同，旋转量相同oBAoBA问题问题2：射线：射线OA绕端点绕端点O按不同方向旋转量相同所形成的按不同方向旋转量相同所形成的两个角两个角有什么样的有什么样的大小关系？大小关系？=-=或-相反角：旋转方向相反，旋转量相
5、同相反角：旋转方向相反，旋转量相同BOAC角的加法、减法角的加法、减法OAC80o0130B50o例如：例如：50+8050+80规定：设、为两个任意角，把角的终边旋转旋转角，这时终边所对应的角是+.问题探究：问题探究：50-8050-80呢？呢？类比实数的减法：减去一个数等于加上这个数类比实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，我们可以得出的相反数，我们可以得出:50 50-80-80=50=50+(-80+(-80)80o30oCOBA50o角的减法运算：角的减法运算：-=+(-)-=+(-)（1）置角的顶点于坐标原点）置角的顶点于坐标原点（2）始边与）始边与x轴的非负半轴重合轴的非
6、负半轴重合1.角的终边角的终边落在第几象限就说这个角是落在第几象限就说这个角是第几象限角第几象限角2.2.角的终边角的终边落在坐标轴上，则这个角不属于任何一个落在坐标轴上，则这个角不属于任何一个象限，称为象限，称为轴线角轴线角第一象限角一定第一象限角一定是锐角吗？是锐角吗？xyO始边始边终边终边思考思考:下列各角：下列各角：-50-50，405405，210210,-200,-200，-450-450分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？-50 xyoxyo405xyo-200-450 xyo第四象限角第四象限角第一象限角第一象限角第三象限角第三象限角第二象限角第二象限角不属于任何象限不属于
7、任何象限xyo210思考思考1 1：-32-32，328328，-392-392是第几象限的角？是第几象限的角？这些角有什么内在联系？这些角有什么内在联系？32-392xyo o328-32思考：思考：所有与所有与 -32-32角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同-32-32角在角在内，可构成一个集合内，可构成一个集合S S，你能用描述法表示集合，你能用描述法表示集合S S吗？吗？S=|=-32S=|=-32 k k360,kZ360,kZ328323603283236032+360,Zkk 一般地，所有与角一般地，所有与角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角在内，在内，可构成一个集合
8、可构成一个集合 S=|=k360,kZ 即任一与即任一与终边相同的角，都可以表示成终边相同的角，都可以表示成角角与与整数整数个周角个周角的的和和.例例1.在在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角并判断它是哪个象限的角.(1)120；(2)640；(3)95012.（1）与）与120终边相同的角为终边相同的角为240，它是第三象限角，它是第三象限角.（2）与）与640终边相同的角为终边相同的角为280，它是第四象限角，它是第四象限角.（3）与）与120终边相同的角为终边相同的角为14948，它是第二象限角，它是第二象限角.解：解：
9、负化正，大化小负化正，大化小第二象限角的集合第二象限角的集合:第三象限角的集合第三象限角的集合:第四象限角的集合第四象限角的集合:xyO终边在第一象限的角的集合为终边在第一象限的角的集合为:_的范围在第一象限的3600是角范围内，终边在象限角象限角090|k36090+k360,kZ|90+k360180+k360,kZ|-180+k360-90+k360,kZ|-90+k360k360,kZ定边界，定周期定边界，定周期例例2 2 写出终边在写出终边在y y轴上的角的集合轴上的角的集合.解：在解：在00360360 范围内，终边在范围内，终边在y y轴上的角有两个，即轴上的角有两个，即9090
10、,270270 角角因此，所有与因此，所有与9090 角终边相同的角构成集合角终边相同的角构成集合S S1 1=|=90=90+k+k360360.kZ.kZ.而所有与而所有与270270 角终边相同的角构成集合角终边相同的角构成集合S S2 2=|=270=270+k+k360360.kZ.kZ.27090yxo于是，终边在于是，终边在y y轴上的角的集合轴上的角的集合S=SS=S1 1SS2 2=|=90+=90+n n180,nZ180,nZ =|=90+=90+2k2k180,kZ180,kZ|=90+=90+(2k+1)(2k+1)180,kZ180,kZ =|=90+=90+2k2
11、k180180,kZ,kZ|=90+18090+180+2k+2k180,kZ180,kZ 写出写出终边在终边在x x轴上的角的集合轴上的角的集合|=n=n180180，nZnZ 例例3.3.写出终边在直线写出终边在直线y=xy=x上的角的集合上的角的集合S S，并把，并把S S中适合不中适合不等式等式-360-360720720的元素的元素写出来写出来.解：解：S=S=|=45=45+k+k180180,k,kZ.Z.S S中适合不等式中适合不等式-360-360 720 720的元素有：的元素有：-315-315，-135-135,45,45,225,225,405,405,585,585
12、.1.在在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角判断它是哪个象限的角.(1)-5418；(2)-3958；(3)-119030.2.2.写出与下列各角终边写出与下列各角终边相同相同的角的集合，并找出集合中的角的集合，并找出集合中适合不等式适合不等式-720-720360360的元素的元素写出来写出来.(1)(1)130313031818；(2)-(2)-225225.2.2.角的分类：角的分类：1.1.角的定义：角的定义：3.3.象限角：象限角：4.4.终边相同的角的表示法：终边相同的角的表示法：S=|=S=|=k k360360，kZkZ
