1、 在数学的发展史上，在数学的发展史上，方程的求解方程的求解一直都是数学发展、数学教一直都是数学发展、数学教育和数学研究的最核心环节之一育和数学研究的最核心环节之一.我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题.约公元约公元50年年100年编成的年编成的九章算术九章算术，就给出了求一次方程、，就给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法二次方程和正系数三次方程根的具体方法 前面我们学习了函数的知识，那么前面我们学习了函数的知识，那么函数和方程函数和方程有什么关系呢？有什么关系呢？面对一个实际问题，我们又该选择什么函数模型来加以解
2、决呢？面对一个实际问题，我们又该选择什么函数模型来加以解决呢？这正是这正是函数的应用函数的应用(二二)所要解决的问题！让我们先从下面的问题所要解决的问题！让我们先从下面的问题开始吧！开始吧！4.5 函数的应用（二）函数的应用（二）4.5.1函数的零点与函数的零点与方程的解方程的解问题问题1：下列方程有实数根吗？下列方程有实数根吗？一一.生成概念生成概念(1)x2-2x-3=0(2)x2-2x+1=0(3)x2-2x+3=0追问追问 还有其它方法判断方程还有其它方法判断方程 x2-2x-3=0有实数根吗？有实数根吗？f(x)=x2-2x-3 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x
3、3 y=x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数解方程的实数解x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy0132112.xy01321123.yx02112y=x22x+3方程的实数解就是对应函数图象与方程的实数解就是对应函数图象与x轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。结 论:思考：这个结论对一般的二次函数和方程成立吗？判别式判别式 0 0 0)的根与二次函数的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象:x1=x2一个交点一个交点(x1,0)1.函数的零点函数的零点
4、对于函数对于函数y=f(x),使使f(x)=0的的实数实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点.注意注意:(1)零点是一个实数实数零点是一个点吗零点是一个点吗?(2)()0()f xyf xx方程的实数根函数的图象与 轴交点的横坐标()yf x函数的零点推广到更一般的情况推广到更一般的情况:()0()()f xyf xxyf x(2)方程有实数根函数的图象与 轴有交点函数有零点归纳归纳:1.代数法代数法：函数零点就是相应方程的实数根：函数零点就是相应方程的实数根，可解相应方程可解相应方程求函数的零点求函数的零点2.几何法几何法：作出函数：作出函数yf(x)的图象的图象，确定图象与确定图象
5、与x轴的交点的轴的交点的横坐标横坐标，求函数的零点求函数的零点1.函数函数f(x)=(x 1)(x+2)的零点是（的零点是（）A.(1,0)，(2,0)，B.1，2 C.(0,1)，(0,2)，D.1，2练习练习12.(1)f(x)2x1的零点是的零点是_.B0(2)函数函数f(x)=的零点是的零点是_.观察观察1 函数函数f(x)=x2-2x-3在其零点附近函数值的变化情况在其零点附近函数值的变化情况.(1).f(-2)f(1)_0(或或),或或),或或),f(x)在开区间在开区间(a,b)内内_(有有/无无)零点；零点；或或或或),f(x)在开区间在开区间(c,d)内内_(有有/无无)零点
6、零点.有有问题问题2 你发现了什么？你发现了什么？如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上上有有f(a)f(b)0，那么函，那么函 数数y=f(x)在在(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b),使得使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根.的图象是的图象是连续不断连续不断的一条曲线，并且的一条曲线，并且猜想：猜想：2.函数零点存在性定理函数零点存在性定理观察函数图象（如右图）并思考：观察函数图象（如右图）并思考：xyO-11-111()fxx函数函数f(x)满足了满足了f(-1)f(1)0,它在区间它在区间(-1,1)(-1,1)上有没有零点
7、？上有没有零点？至少有一个，至少有一个，可以有多个可以有多个.注意注意:(1)两个前提条件缺一不可两个前提条件缺一不可.(2)“有零点有零点”是指有几个零点呢？是指有几个零点呢？只有一个吗？只有一个吗？（3）再加上什么条件就）再加上什么条件就“有且仅有一个零点有且仅有一个零点”呢？呢？abxy0 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲的一条曲线，并且线，并且f(a)f(b)0，并且是并且是单调函数单调函数，那么函那么函 数数y=f(x)在在(a,b)内内有且仅有一个零点有且仅有一个零点.abxy0abbbxy0反之不成立！反之不成立！(5)(
8、5)定理的作用：定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。判定零点的存在，并找出零点所在的区间。(4)(4)若函数若函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点，一定能得出内有零点，一定能得出f(a)f(b)0f(a)f(b)0.令令f(x)lg xx，显然显然f(x)在定义域内为增函数在定义域内为增函数，又又f(0.1)0.90，故故f(x)在区间在区间(0.1，1)内有零点内有零点3.根据表中的数据，可以判定方程根据表中的数据，可以判定方程exx20的一个根的一个根所在的区间为（所在的区间为（）A.(1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)C C
9、exx20.6310.283.3915.09练习练习2.x10123ex0.3712.727.3920.09x212345解析解析由上表可知由上表可知f(1)2.7230，f(2)7.3940，f(1)f(2)0，f(x)在区间在区间(1,2)上存在零点上存在零点练习练习3.B B 函数函数f(x)lg x1的零点个数是的零点个数是()A.0 B.1C.2D3例例2 归纳归纳:判断判断函数零点个数的方法函数零点个数的方法(1)直接求出函数的零点进行判断直接求出函数的零点进行判断.(2)结合结合函数的图象函数的图象进行判断进行判断.1.函数函数f(x)=1/x2的零点的个数为的零点的个数为()A
10、.0 B.1 C.2 D.32.已知函数已知函数f(x)=则函数则函数g(x)=f(x)-1的零点的零点个数个数为为()A.0 B.1 C.2 D.3B B C C 4.函数函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数是（的零点个数是（）A.0 B.1C.2D3练习练习3.3已知函数已知函数f(x)若函数若函数g(x)f(x)m有有3个零个零点点，则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_0，1)例例 求函数求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数的零点个数.分析分析：函数：函数f(x)=lnx+2x-6 (x0)是否有零点？有几个？是否有零点？有几个？条件条件1：函数函数f(x)在在(0,+)上
11、的图象是连续不断的上的图象是连续不断的条件条件2：f(?)0，f(?)0)只有一个零点只有一个零点又又f(1)=-40 f(1)f(3)0函数y=lnx+2x-6零点的个数 数形结合两个函数 的交点的个数方程lnx=6-2x 根的个数 两个函数 的交点的个数函数y=lnx+2x-6与x轴交点的个数 方程lnx+2x-6=0根的个数 xy0163归纳归纳:确定函数零点个数的主要方法确定函数零点个数的主要方法1.解相应的方程解相应的方程，确定方程的实根个数，确定方程的实根个数2.能够将函数的零点问题能够将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点转化为两个函数图象的交点问题问题，数形结合数形结合求解求
12、解1方程方程ex x-20的根的个数是（的根的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3练习练习4xy0122解析：解析：作出函数作出函数g(x)ex和和h(x)2x的图象的图象，B B 2.已知函数已知函数f(x)2xx，g(x)log2xx，h(x)x3x的零点依次的零点依次为为a，b，c，则则a，b，c的大小关系为的大小关系为()Aabc Bacb Cabc Dcab解解:f(x)2xx的零点的零点a为函数为函数y2x与与yx图象的交点的横图象的交点的横坐标坐标，由图象可知，由图象可知a0，g(x)log2xx的零点的零点b为函数为函数ylog2x与与yx图象的交点的横坐标图象的交点的横坐
13、标，由图象知由图象知b0，令令h(x)0，得得c0.故选故选B.三三.课堂小结课堂小结一个关系：函数零点与方程根的关系方程方程 的根的根(x)0f函数函数 的零点的零点(x)yf函数函数 的图象与的图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标(x)yf1.2.一个定理：零点的存在性定理一个定理：零点的存在性定理函数与方程函数与方程数形结合数形结合四四.作业作业五五.课后思考课后思考:2()(3)(2,0)(1,4)f xxmxmm 2 2.已已知知函函数数 的的一一个个零零点点在在内内，另另一一个个零零点点在在内内.求求 的的取取值值范范围围1.若方程若方程log3 xx3=0的解所在的区间为的解所在的区间为(k，k1)，则则整数整数k的值为的值为_2 2 1.1.第第155155页第页第2 2题题2.已知函数已知函数 和和g(x)2x,设设h(x)=f(x)g(x),试通过图象确定试通过图象确定h(x)的零点个数？的零点个数？f(x)=
