1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（三十九） 抛物线命题 3 角度 求方程、研性质、用关系 一、选择题 1若点 P 到直线 x 3 的距离比它到点 (2,0)的距离大 1，则点 P 的轨迹为 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析：选 D 依题意，点 P 到直线 x 2 的距离等于它到点 (2,0)的距离， 故点 P 的轨迹是抛物线 2过抛物线 y2 2px(p 0)焦点的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点，以 AB 为直径的圆的方程为 (x 3)2 (y 2)2 16，则 p ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析：选 B 设 A(x1， y1)， B(x2，
2、y2)， 由题意可得 x1 x2 6， x1 x2 p 8，所以 p 2. 3设 F 为抛物线 y2 2x 的焦点， A， B， C 为抛物线上三点，若 F 为 ABC 的重心，则| FA | | FB | | FC |的值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析：选 C 依题意，设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， 又焦点 F? ?12， 0 ， x1 x2 x3 3 12 32， 则 | FA | | FB | | FC | ? ?x112 ?x212 ?x312 (x1 x2 x3)323232 3. 4已知 F是抛物线 x2 8y的焦点，若抛物
3、线上的点 A到 x轴的距离为 5，则 |AF| ( ) A 4 B 5 C 6 D 7 解析：选 D F 是抛物线 x2 8y 的焦点， F(0,2), 抛物线上的点 A 到 x 轴的距离为 5， |AF| 5 p2 7. 5.已知抛物线 C 的方程为 y2 2px(p 0)，一条长度为 4p 的线段 AB的两个端 点 A， B 在抛物线 C 上运动，则线段 AB 的中点 M 到 y 轴距离的最小值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 2p B.52p C.32p D 3p 解析：选 C 由题意可得抛物线的准线 l： x p2，分别过 A， B，M 作 AC l， BD l， MH
4、 l，垂足分别为 C， D， H. 在直角梯形 ABDC 中， |MH| |AC| |BD|2 . 由抛物线的定义可知 |AC| |AF|， |BD| |BF|(F 为抛物线的焦点 )， |MH| |AF| |BF|2 |AB|2 2p， 即 AB 的中点 M 到抛物线的准线的最小距离为 2p， 线段 AB 的中点 M 到 y 轴的最短距离为 2p p2 3p2. 6已知 O 为坐标原点， F 为抛物线 y2 4x 的焦点，直线 l： y m(x 1)与抛物线交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，若 |FA| 3|FB|，则 m 的值为 ( ) A 3 B. 3 C. 33 D.13 解析：
5、选 B 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立? y m x ，y2 4x 消去 x，得 my2 4y 4m 0， 则 y1 y2 4m， y1y2 4. 由 |AF| 3|BF|，可得 y1 3y2， 所以 2y2 4m， 3y22 4， 解得 m 3(m 3舍去 ) 二、填空题 7 (2017 天津高考 )设抛物线 y2 4x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴 相切于点 A.若 FAC 120 ，则圆的方程为 _ 解析：由题意知该圆的半径为 1， 设圆心坐标为 C( 1， a)(a 0)，则 A(0， a) 又 F(1,0
6、)，所以 AC ( 1,0)， AF (1， a)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题意得 AC 与 AF 的夹角为 120 ， 故 cos 120 11 1 a 2 12，解得 a 3， 所以圆的方程为 (x 1)2 (y 3)2 1. 答案： (x 1)2 (y 3)2 1 8已知抛物线 C： x2 2py(p 0)， P， Q 是 C 上任意两点，点 M(0， 1)满足 MP MQ 0 ，则 p 的取值范围是 _ 解析：过 M 点作抛物线的两条切线， 设切线方程为 y kx 1， 切点坐标为 A(x0， y0)， B( x0， y0)， 由 y x22p，得 y 1px， 则? x
7、20 2py0，y0 kx0 1，x0p k，解得 k 2p. MP MQ 0 恒成立， AMB90 ，即 AMO45 ， |k|tan 45 1，即 2p1 ，解得 p2 ， 由 p 0，则 0 p2 ， p 的取值范围为 (0,2 答案： (0,2 9已知点 P 在抛物线 y x2上，点 Q 在圆 C： (x 4)2 ? ?y 12 2 1 上，则 |PQ|的最小值为 _ 解析： 点 P 在抛物线 y x2上， 设 P(t， t2)， 圆 (x 4)2 ? ?y 12 2 1 的圆心 C? ?4， 12 ， 半径 r 1， |PC|2 (4 t)2 ? ? 12 t2 2 t4 2t2 8
8、t 654 ， 令 y |PC|2 t4 2t2 8t 654 ，则 y 4t3 4t 8， 由 y 0，可得 t3 t 2 0，解得 t 1. 当 t 1 时， y 0，当 t 1， y 0，可知函数在 t 1 时取得最小值， |PC|2min 454 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = |PQ|的最小值为 3 52 1. 答案： 3 52 1 三、解答题 10.如图，抛物线的顶点在原点，圆 (x 2)2 y2 4 的圆心恰是抛物线的焦点 (1)求抛物线的方程； (2)一直线的斜率等于 2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A， B， C， D 四点，求 |AB| |CD|的值 解： (
9、1)设抛物线方程为 y2 2px(p 0)， 圆 (x 2)2 y2 4 的圆心恰是抛物线的焦点， p 4. 抛物线的方程为 y2 8x. (2)依题意，直线 AB 的方程为 y 2x 4. 设 A(x1， y1)， D(x2， y2)，联立? y 2x 4，y2 8x， 得 x2 6x 4 0， x1 x2 6， |AD| x1 x2 p 6 4 10. |AB| |CD| |AD| |BC| 10 4 6. 11已知动点 P 到点 ? ?12， 0 的距离比它到直线 x 52的距离小 2. (1)求动点 P 的轨迹方程； (2)记 P 点的轨迹为 E，过点 S(2,0)，斜率为 k1的直线
10、交 E 于 A， B 两点， Q(1,0)，延长 AQ， BQ 与 E 交于 C， D 两点，设 CD 的斜率为 k2，证明： k2k1为定值 解： (1) 动点 P 到点 ? ?12， 0 的距离比它到直线 x 52的距离小 2， 动点 P 到点 ? ?12， 0 的距离与它到直线 x 12的距离相等， 动点 P 的轨迹是以点 ? ?12， 0 为焦点的抛物线， 动点 P 的轨迹方程为 y2 2x. (2)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4), =【 ;精品教育资源文库 】 = 则直线 AB 的方程为 y k1(x 2)，代入抛物线方
11、程消去 x，得 y2 2k1y 4 0, y1 y2 2k1， y1y2 4. 直线 AC， BD 过点 Q(1,0)， 同理可得 y1y3 y2y4 2, y3 2y1， y4 2y2， k2 y4 y3x4 x3 2y4 y3 y1y2y1 y2 2k1， k2k1 2. 12已知 F1， F2分别是双曲线 C： x2a2y29 1(a0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上任一点，且 |PF1| |PF2| 2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为 E. (1)求双曲线 C 的渐近线方程和抛物线 E 的方程； (2)过抛物线 E 的准线与 x 轴的交点作直线，交抛物线于 M， N 两
12、点 ，当直线的斜率等于多少时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线 E 的焦点？ 解： (1)由双曲线的定义可知， 2a 2，即 a 1. 双曲线的方程为 x2 y29 1， 双曲线的渐近线方程为 y 3 x. 又双曲线的右顶点坐标为 (1,0)，即抛物线 E 的焦点坐标为 (1,0)， 抛物线 E 的方程为 y2 4x. (2)抛物线 y2 4x 的准线与 x 轴的交点为 ( 1,0) 设直线 MN 的斜率为 k，则其方程为 y k(x 1) 由? y k x ，y2 4x， 得 k2x2 2(k2 2)x k2 0. 直线 MN 与抛物线交于 M， N 两点， k0 ，且 4(k2 2)2
13、4k4 0， 解得 1 k 1，且 k0. 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，抛物线焦点为 F(1,0), 以线段 MN 为直径的圆经过抛物线焦点， MF NF. y1x1 1 y2x2 1 1，即 y1y2 x1x2 (x1 x2) 1 0. 又 x1 x2 k2k2 ， x1x2 1， y21y22 4x14 x2 16 且 y1， y2同号， y1y2 4， =【 ;精品教育资源文库 】 = k2k2 6，解得 k 22 . 即直线的斜率等于 22 时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点 1过抛物线 C： y2 2px(p 0)的焦点 F 作斜率为 43的直线 l，与抛
14、物线 C 及其准线分别相交于 A， B， D 三点，则 |AD|BD|的值为 ( ) A 2 或 12 B 3 或 13 C 1 D 4 或 14 解析：选 D 抛物线 C： y2 2px(p 0)的焦点 F? ?p2， 0 ，过 A 和 B 分别做准线的垂线，垂足分别为 A ， B ， 则直线 AB 的方程为 y 43? ?x p2 . 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立? y 43?x p2 ，y2 2px消去 x，整理得 y2 32py p2 0， 则 y1 y2 32p， y1y2 p2， 设 AF FB ，则 ? ?p2 x1， y1 ? ?x2p2， y2 ， 即
15、 y1 y 2，由 y1 y22y1y2 y1y2y2y1 294， 1 2 94，整理得 4 2 17 4 0， 解得 4 或 14. 当 4 时，如图所示， |AF| 4|BF|，则 |AB| 5|BF|. 由抛物线的定义可知： |BF| |BB| ， 由直线 AB 的斜率为 43， 得 sin BDB 35， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 sin BDB |BB|BD| 35， |BD| 53|BB| 53|BF|， |AD| |AB| |BD| 203|BF|， |AD|BD| 4. 当 14时，如图所示， 4|AF| |BF|，则 |AB| 5|AF|， 由抛物线的定义可知： |AF| |AA| ， 由直线 AB 的斜率为 43， 得 sin ADA 35，即 sin ADA |AA|AD| 35， |AD| 53|AA| 53|AF|， |BD| |AB| |AD| 203|AF|， |AD|BD| 14. 2已知抛物线 C： y2 2px(p 0)的焦点为 F，点 D(1， y0)是抛物线上的点，且 |DF| 2. (1)求抛物线 C 的方程；
