1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（四十一） 圆锥曲线的综合问题 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 1已知过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，且点 A 在第一象限，若 |AF| 3，则直线 l 的斜率为 ( ) A 1 B. 2 C. 3 D 2 2 解析：选 D 由题意可知焦点 F(1,0)，设 A(xA， yA)， 由 |AF| 3 xA 1，得 xA 2，又点 A 在第一象限， 故 A(2,2 2)，故直线 l 的斜率为 2 2. 2若直线 y kx 2 与抛物线 y2 x 有一个公共点，则实数 k 的值为 ( ) A. 18 B 0
2、 C. 18 或 0 D 8 或 0 解析：选 C 由? y kx 2，y2 x， 得 ky2 y 2 0， 若 k 0，直线与抛物线有一个交点，则 y 2， 若 k0 ，则 1 8k 0， k 18， 综上可知 k 0 或 18. 3已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)，过点 P(3,6)的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，且 AB 的中点为 N(12,15)，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A 2 B.32 C.3 55 D. 52 解析：选 B 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 AB 的中点为 N(12,15)， 得 x1 x2 24， y1
3、 y2 30， 由? x21a2 y21b2 1，x22a2y22b2 1，两式相减得 ： x1 x2 x1 x2a2 y1 y2 y1 y2b2 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 y1 y2x1 x2 b2 x1 x2a2 y1 y2 4b25a2. 由直线 AB 的斜率 k 15 612 3 1， 4b25a2 1， 则b2a254， 双曲线的离心率 e ca 1 b2a232. 4已知抛物线 C： y2 8x 与点 M( 2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A， B两点若 MA MB 0，则 k ( ) A.12 B. 22 C. 2 D 2 解析：选 D
4、如图所示，设 F 为焦点， 取 AB 的中点 P，过 A， B分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 G， H，连接 MF， MP， 由 MA MB 0，知 MA MB，则 |MP| 12|AB| 12(|AG| |BH|)， 所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线， 所以 MP AG BH，所以 GAM AMP MAP， 又 |AG| |AF|， AM 为公共边，所以 AMG AMF， 所以 AFM AGM 90 ，则 MF AB，所以 k 1kMF 2. 5已知 F 是双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点， A， B 分别为其左、右顶点 O 为坐标原点， D 为其上一点
5、， DF x 轴过点 A 的直线 l 与线段 DF 交于点 E，与 y 轴交于点 M，直线 BE 与 y 轴交于点 N，若 3|OM| 2|ON|，则双曲线的离心率为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 解析：选 C 如图，设 A( a,0)， B(a,0)， M(0， 2m)， N(0， 3m) 则直线 AM 的方程为 y 2max 2m，直 线 BN 的方程为 y 3max 3m. 直线 AM， BN 的交点 D(c， y0)， 2mca 2m 3mca 3m，则 ca 5， 双曲线的离心率为 5. =【 ;精品教育资源文库 】 = 6斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 y2 1
6、相交于 A， B 两点，则 |AB|的最大值为 ( ) A 2 B.4 55 C.4 105 D.8 105 解析：选 C 设 A， B 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，直线 l 的方程为 y x t， 由? x2 4y2 4，y x t 消去 y，得 5x2 8tx 4(t2 1) 0. 则 x1 x2 85t， x1x2 t25 . |AB| 1 k2|x1 x2| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 ? ? 85t 2 4 t25 4 25 5 t2， 故当 t 0 时， |AB|max 4 105 . 二、填空题 7焦点是 F(0,5 2)，并截直线 y
7、2x 1 所得弦的中点的横坐标是 27的椭圆的标准方程为 _ 解析：设所求的椭圆方程为 y2a2x2b2 1(ab0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1， y1)，B(x2， y2) 由题意，可得弦 AB 的中点坐标为 ? ?x1 x22 ， y1 y22 ， 且 x1 x22 27， y1 y22 37. 将 A， B 两点坐标代入椭圆方程中，得? y21a2 x21b2 1，y22a2x22b2 1.两式相减并化简，得 a2b2y1 y2x1 x2y1 y2x1 x2 2 6747 3， 所以 a2 3b2.又 c2 a2 b2 50，所以 a2 75， b2 25. 故所求椭圆的标准方
8、程为 y275x225 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： y275x225 1 8经过双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点，倾斜角为 60 的直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为 _ 解析： 经过双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点， 倾斜角为 60 的直线与双曲线有且只有一个交点， 根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线 y bax 平行， ba tan 60 3，即 b 3a， c a2 b2 2a，故 e ca 2. 答案： 2 9抛物线 x2 4y 与直线 x 2y 2 0 交于 A， B 两点，且 A，
9、 B 关于直线 y 2x m对称，则 m 的值为 _ 解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2), 联立? x2 4y，x 2y 2 0 消去 y，得 x2 2x 4 0. 则 x1 x2 2， x1 x22 1. y1 y2 12(x1 x2) 2 3， y1 y22 32. A， B 关于直线 y 2x m 对称， AB 的中点在直线 y 2x m 上， 即 32 21 m，解得 m 72. 答案： 72 三、解答题 10椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为33 ，过右焦点 F2(c,0)垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 P， Q 两点且 |PQ| 4 33 ，又
10、过左焦 点 F1( c,0)作直线 l 交椭圆于两点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若椭圆 C 上两点 A， B 关于直线 l 对称，求 AOB 面积的最大值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1)由题意可知 |PQ| 2b2a 4 33 . 又椭圆的离心率 e ca 1 b2a233 ，则b2a223， 由 解得 a2 3， b2 2， 椭圆的方程为 x23y22 1. (2)由 (1)可知左焦点 F1( 1,0), 依题意，直线 l 不垂直 x 轴，当直线 l 的斜率 k0 时，可设直线 l 的方程为 y k(x1)(k0) ，则直线 AB 的方程可设为 y 1kx m， A(
11、x1， y1)， B(x2， y2)， 联立? y 1kx m，x23y22 1，整理得 (2k2 3)x2 6kmx 3k2m2 6k2 0， ( 6km)2 4(2 k2 3)(3k2m2 6k2) 0， 则 m2k2 2k2 3 0， x1 x2 6km2k2 3， x1x2 3k2m2 6k22k2 3 . 设 AB 的中点为 C(xC， yC)， 则 xC x1 x22 3km2k2 3， yC 2k2m2k2 3. 点 C 在直线 l 上， 2k2m2k2 3 k?3km2k2 3 1 ， 则 m 2k 3k， 此时 m2 2 3k2 4k2 6k2 10 0 与 矛盾，故 k0
12、时不成立 . 当直线 l 的斜率 k 0 时， A(x0， y0)， B(x0， y0)(x0 0， y0 0)， AOB 的面积 S 122 y0 x0 x0y0. x203y202 12 x203y20263 x0y0， x0y062 . 当且仅当 x203y20212时取等号 AOB 的面积的最大值为 62 . 11已知抛物线 E： y2 2px(p 0)的焦点 F， E 上一点 (3， m)到焦点的距离为 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求抛物线 E 的 方程； (2)过 F 作直线 l，交抛物线 E 于 A， B 两点，若直线 AB 中点的纵坐标为 1，求直线 l的方程
13、 解： (1)抛物线 E： y2 2px(p 0)的准线方程为 x p2， 由抛物线的定义可知 3 ? ? p2 4， 解得 p 2， 抛物线 E 的方程为 y2 4x. (2)法一： 由 (1)得抛物线 E 的方程为 y2 4x，焦点 F(1,0)， 设 A， B 两点的坐标分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则? y21 4x1，y22 4x2， 两式相减，整理得 y2 y1x2 x1 4y2 y1(x1 x2) 线段 AB 中点的纵坐标为 1， 直线 l 的斜率 kAB 4y2 y1 4 2， 直线 l 的方程为 y 0 2(x 1)，即 2x y 2 0. 法二： 由
14、(1)得抛物线 E 的方程为 y2 4x，焦点 F(1,0)， 设直线 l 的方程为 x my 1， 由? y2 4x，x my 1 消去 x，得 y2 4my 4 0. 设 A， B 两点的坐标分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 线段 AB 中点的纵坐标为 1， y1 y22 4m2 1，解得 m 12， 直线 l 的方程为 x 12y 1，即 2x y 2 0. 12 (2018 海口调研 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左，右顶点分别为 A， B，其离心率 e 12，点 M 为椭圆上的一个动点， MAB 面积的最大值是 2 3. (1)求椭圆 C 的方程
15、； (2)若过椭圆 C 右顶点 B 的直线 l 与椭圆的另一个交点为 D，线段 BD 的垂直平分线与 y轴交于点 P，当 PB PD 0 时，求点 P 的坐标 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1)由题意可知? e ca 12，122 ab 2 3，a2 b2 c2，解得 a 2， b 3，所以椭圆方程为 x24y23 1. (2)由 (1)知 B(2,0)，设直线 BD 的方程为 y k(x 2)， D(x1， y1)， 把 y k(x 2)代入椭圆方程 x24y23 1， 整理得 (3 4k2)x2 16k2x 16k2 12 0， 所以 2 x1 16k23 4k2?x18k2 63 4k2，则 D?8k2 63 4k2， 12k3 4k2 ， 所以 BD 中点的坐标为 ? ?8k23 4k2， 6k3 4k2 ， 则直线 BD 的垂直平分线方程为 y 6k3 4k2 1k? ?x 8k23 4k2 ，得 P?0， 2k3 4k2 . 又 PB PD 0，即 ? ?2， 2k3 4k2 ? ?8k2 63 4k2， 14k3 4k2 0， 化简得 64k4 28k2 36 4k2 2 0?64k4 28k2 36 0， 解 得 k 34. 故 P?
