1、高考研究课 (二 ) 几何概型命题 3角度 长度 (角度 )、面积、体积 全国卷 5 年命题分析 考点 考查频度 考查角度 长度型 5年 1考 求概率 面积型 5年 2考 求概率、随机模拟求近似值 体积型 未考查 03 02 01 题型一 与长度（角度 ） 有关的几何概型 题型三 与面积有关的几何概型 题型二 与体积有关的几何概型 目 录 04 课堂真题集中演练 05 高考达标检测 与长度 ( 角度 ) 有关的几何概型 典例 ( 1) 在区间 1,1 上随机取一个数，则直线 y k ( x 2) 与圆 x2 y2 1 有公共点的概率为 _ _ ( 2) 如图，在等腰直角 ABC 中，过直角顶点
2、 C 作射线 CM交 AB 于 M ，则使得 AM 小于 AC 的概率为 _ _ 解析 ( 1) 因为直线 y k ( x 2) 与圆 x2 y2 1 有公共点 ，所以圆心到直线的距离 d 2| k |1 k2 1 ， 则 33 k 33， 区间长度为2 33， 所以所求事件的概率 P 2 33233. ( 2) 当 AM AC 时 ， A CM 为以 A 为顶点的等腰三角形 ， ACM 180 45 2 67.5 . 当 ACM 67.5 时 ， AM AC ， 所以 AM 小于 AC 的概率 P 67.59034. 答案 ( 1) 33 ( 2) 34 方法技巧 1 与长度有关的几何概型
3、如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解 2 与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段 即时演练 1 ( 2017 江苏高考 ) 记函数 f ( x ) 6 x x2的定义域为 D . 在区间 4 , 5 上随机取一个数 x ，则 x D 的概率是 _ 解析： 由 6 x x 2 0 ，解得 2 x 3 ，则 D 2 , 3 ，则所求概率 P 3 ? 2 ?5 ? 4 ?59 . 答案： 59 2. 如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 30 角的
4、终边上，任作一条射线 OA ，则射线 OA 落 在 y OT 内的概率为 _ _ 解析： 因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的，所以 OA落在 y OT 内的概率为60360 16 . 答案： 16 与体积有关的几何概型 典例 ( 2018 烟台模拟 ) 在棱长为 2 的正方体 A BC D A 1 B 1 C 1 D 1中，点 O 为底面 AB C D 的中心，在正方体 A BC D A 1 B 1 C 1 D 1 内随机取一点 P ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 _ 解析 由题意，在正方体 A BC D A1B1C1D1内任取一点，满足几何概型，记 “ 点 P 到点 O 的距离大于 1 ” 为事件 A ，则事件A 发生时，点 P 位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球外又 V 正方体 A BC D A1B1C1D1 23 8 ， V 半球 1243 1323 ， 所求事件概率 P ( A ) 8 238 1 12. 答案 1 12
