1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 36 讲 直接证明与间接证明 解密考纲 利用综合法、分析法、反证法等方法证明的数学命题常与数列、解析几何、立体几何、函数综合在一起进行考查 一、选择题 1用反证法证明命题: “ 若 a b c 为偶数,则自然数 a, b, c 恰有一个偶数 ” 时正确反设为 ( D ) A自然数 a, b, c 都是奇数 B自然数 a, b, c 都是偶数 C自然数 a, b, c 中至少有两个偶数 D自然数 a, b, c 中都是奇数或至少有两个偶数 解析 “ 自然数 a, b, c 中恰有一个偶数 ” 的否定是 “ 自然数 a, b, c 都是奇数或至少有两
2、个偶数 ” 故 选 D 2分析法又称执果索因法,若用分析法证明: “ 设 abc,且 a b c 0,求证 b2 ac0 B a c0 C (a b)(a c)0 D (a b)(a c)Q B P Q C Pb B ab0 且 ab C ab0 且 ab 或 abb0,且 ab 1,若 0q B p0,则三个数 yx yz, zx zy, xz xy( C ) A都大于 2 B至少有一个大于 2 C至少有一个不小于 2 D至少有一个不大于 2 解析 因为 x 0, y 0, z 0,所以 ? ?yx yz ? ?zx zy ? ?xz xy ? ?yx xy ? ?yz zy ? ?xz z
3、x6 ,当且仅当 x y z 时等号成立,则三个数中至少有一个不小于 2.故选 C 二、填空题 7设 a 3 2 2, b 2 7,则 a, b 的大小关系为 _a b_. 解析 a 3 2 2, b 2 7两式的两边分别平方,可得 a2 11 4 6, b2 11 4 7,显然 6 7. a b. 8用反证法证明命题 “ 若实数 a, b, c, d 满足 a b c d 1, ac bd1,则 a, b,c, d 中至少有一个是非负数 ” 时,第一步要假设结论的否定成立,那么结论的否定是 _a,=【 ;精品教育资源文库 】 = b, c, d 全是负数 _. 解析 “ 至少有一个 ” 的否
4、定是 “ 一个也没有 ” ,故结论的否定是 “ a, b, c, d 中没有一个是非负数,即 a, b, c, d 全是负数 ” 9设 a, b 是两个实数,给出下 列条件: a b1; a b 2; a b2; a2 b22; ab1. 其中能推出 “ a, b 中至少有一个大于 1” 的条件是 _ _(填序号 ) 解析 若 a 12, b 23,则 a b 1, 但 a 1, b 1,故 推不出; 若 a b 1,则 a b 2,故 推不出; 若 a 2, b 3,则 a2 b2 2,故 推不出; 若 a 2, b 3,则 ab 1,故 推不出; 对于 ,即 a b 2,则 a, b 中至
5、少有一个大于 1, 反证法:假设 a1 且 b1 , 则 a b2 与 a b 2 矛盾, 因此假设不成立,故 a, b 中至少有一个大于 1,故 能推出 三、解答题 10若 abcd0 且 a d b c, 求证: d a b c. 证明 要证 d a b c, 只需证 ( d a)2 ( b c)2, 即证 a d 2 ad b c 2 bc, 因为 a d b c, 所以只需证 ad bc,即证 ad bc, 设 a d b c t, 则 ad bc (t d)d (t c)c (c d)(c d t) 0, 故 ad bc 成立,从而 d a b c成立 11如图, AB, CD 均为
6、圆 O 的直径, CE 圆 O 所在的平面, BF CE,求证: (1)平面 BCEF 平面 ACE; (2)直线 DF 平面 ACE. =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 (1)因为 CE 圆 O 所在的平面, BC?圆 O 所在的平面, 所以 CE BC. 因为 AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,所以 AC BC. 因为 AC CE C, AC, CE?平面 ACE,所以 BC 平面 ACE. 因为 BC?平面 BCEF,所以平面 BCEF 平面 ACE. (2)由 (1)知 AC BC,又因为 CD 为圆 O 的直径, 所以 BD BC. 因为 AC, BC, BD 在同
7、一平面内,所以 AC BD. 因为 BD?平面 ACE, AC?平面 ACE,所以 BD 平面 ACE. 又 BF CE,同理可证, BF 平面 ACE, 因为 BD BF B, BD, BF?平面 BDF, 所以平面 BDF 平 面 ACE. 因为 DF?平面 BDF,所以 DF 平面 ACE. 12设 an是公比为 q 的等比数列 (1)推导 an的前 n 项和公式; (2)设 q1 ,证明数列 an 1不是等比数列 解析 (1)分两种情况讨论 当 q 1 时,数列 an是首项为 a1的常数列,所以 Sn a1 a1 a1 ? a1 na1. 当 q1 时, Sn a1 a2 ? an 1 an?qSn qa1 qa2 ? qan 1 qan. 将上面两式相减得 (1 q)Sn a1 (a2 qa1) (a3 qa2) ? (an qan 1) qan a1 qan ?Sn a1 qan1 q a1 qn1 q . 综上, Sn? na1, q 1,a1 qn1 q , q1.(2)证明:设 an是公比 q1 的等比数列,假设数列 an 1是等比数列,则 (a2 1)2 (a1 1)(a3 1),即 (a1q 1)2 (a1 1)(a1q2 1),整理得 a1(q 1)2 0,得 a1 0 或 q 1均与题设矛盾,故数列 an 1不是等比数列