1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 20 讲 三角恒等变换 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 3会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 4能运用上述公式进行简单的恒等变换 (包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆 ). 2017 全国卷 ， 13 2017 山东卷，7 2016 全国卷 ， 14 2016 全国卷 ， 6 2016 浙江卷，11 三角恒等变换是三角变 换的工具，主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行
2、三角函数的化简与求值可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查 . 分值： 5 12 分 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin( ) _sin_ cos_ cos _ sin_ _. cos( ) _cos_ cos_ ?sin_ sin_ _. tan( ) _tan tan 1?tan tan _. 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 _2sin_ cos_ _. cos 2 _cos2 sin2 _ _2cos2 1_ _1 2sin2 _. tan 2 _ 2tan 1 tan2 _. 3 有关公式的逆用、变形 (1)tan tan tan( )(1?tan tan ) (
3、2)cos2 _1 cos 22 _， sin2 _1 cos 22 _. (3)1 sin 2 (sin cos )2,1 sin 2 (sin cos )2， sin cos 2sin? ? 4 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)asin bcos a2 b2sin( )? ?tan ba ， asin bcos a2 b2cos( )? ?tan ab . 1思维辨析 (在括号内 打 “” 或 “”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的 ( ) (2)存在实数 ， ，使等式 sin( ) sin sin 成立 ( ) (3)公式 tan( ) tan tan
4、1 tan tan 可以变形为 tan tan tan( )(1 tan tan )，且对任意角 ， 都成立 ( ) (4)存在实数 ，使 tan 2 2tan .( ) 解析 (1)正确对于任意的实数 ， ，两角和与差的正弦、余弦公式都 成立 (2)正确取 0，因为 sin 0 0，所以 sin( 0) sin sin sin 0. (3)错误变形可以，但不是对任意角 ， 都成立 ， ， k 2 ， k Z. (4)正确当 k( k Z)时， tan 2 2tan . 2已知 cos x 34，则 cos 2x ( D ) A 14 B 14 C 18 D 18 解析 cos x 34， c
5、os 2x 2cos2x 1 18.故选 D 3 sin 34sin 26 cos 34cos 26 的值是 ( C ) A 12 B 32 C 12 D 32 解析 sin 34sin 26 cos 34cos 26 (cos 34cos 26 sin 34sin 26) cos(34 26) cos 60 12. 4 设 sin 2 sin ， ? ? 2 ， ， 则 tan 2 的值是 _ 3_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 sin 2 2sin cos sin ， cos 12.又 ? ? 2 ， ， sin 32 ， tan 3， tan 2 2tan 1 tan2 2
6、31 ? 3?2 3. 5 tan 20 tan 40 3tan 20tan 40 _ 3_. 解析 tan(20 40) tan 20 tan 401 tan 20tan 40 ， 3 3tan 20tan 40 tan 20 tan 40 ， 即 tan 20 tan 40 3tan 20tan 40 3. 一 三角函数的化简与求值 三角函数式化简与求值的常用方法 (1)善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数 (2)统一三角函数名称，利用诱导公式、切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一 (3)分析结构特征，找到变形的方向，常见的有 “ 遇到分
7、式要通分 ”“ 整式因式分解 ”“ 二次式配方 ” 等 【例 1】 (1)化简：?1 sin cos ? ?sin 2 cos 22 2cos (00， 2 2cos 4cos2 2 2cos 2. 又 (1 sin cos )? ?sin 2 cos 2 ? ?2sin 2 cos 2 2cos2 2 ? ?sin 2 cos 2 2cos 2 ? ?sin2 2 cos2 2 2cos 2cos . =【 ;精品教育资源文库 】 = 故原式 2cos 2 cos 2cos 2 cos . (2)sin 50(1 3tan 10) sin 50(1 tan 60tan 10) sin 50
8、cos 60cos 10 sin 60sin 10cos 60cos 10 sin 50 cos?60 10 ?cos 60cos 10 2sin 50cos 50cos 10 sin 100cos 10 cos 10cos 10 1. 二 三角函数的条件求值 解三角函数求值问题的一般步骤 (1)给值求值问题的一般步骤 化简条件式子或待求式子； 观察已知条件与所求式子之间的联系 (从函数名称及角入手 )； 将已知条件代入所求式子，化简求值 (2)给值求角问题的一般步骤 先求角的某一个三角函数值； 确定角的范围； 根据角的范围写出所求的角 【例 2】 (1)已知 ， 为锐角， cos 17， s
9、in( ) 5 314 ，则 cos _12_. (2)已知 tan 2. 求 tan? ? 4 的值； 求 sin 2sin2 sin cos cos 2 1的值 解析 (1) 为锐角， sin 1 ? ?17 2 4 37 . ， ? ?0， 2 ， 0 2 ， cos( ) 1114. cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 1114 17=【 ;精品教育资源文库 】 = 5 314 4 37 499812. (2) tan? ? 4 tan tan 41 tan tan 4 2 11 21 3. sin 2sin2 sin cos cos 2 1 2sin cos
10、 sin2 sin cos 2cos2 2tan tan2 tan 2 224 2 2 1. 【例 3】 (1)设 ， 为钝角，且 sin 55 ， cos 3 1010 ，则 的值为( C ) A 34 B 54 C 74 D 54 或 74 (2)已知 ， (0， ) ，且 tan( ) 12， tan 17，则 2 的值为 _ 34 _. 解 析 (1) ， 为钝角， sin 55 ， cos 3 1010 ， cos 2 55 ， sin 1010 ， cos( ) cos cos sin sin 22 0. 又 ( ， 2) ， ? ?32 ， 2 ， 74 . (2) tan ta
11、n( ) tan? ? tan 1 tan? ?tan 12171 12 17 130， 00， 02 2 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = tan(2 ) tan 2 tan 1 tan 2 tan 34171 34 17 1. tan 170， 2 ， 2 0， 2 34 . 三 三角恒等变换与三角函数的综合问题 三角恒等变换的综合应用主要是将三角恒等变换与三角函数的性质相结合，通过变换，将复杂的函数式化为 y Asin(x ) b 的形式再研究性质在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题 【例 4】 已知函数 f(x) 2cos2x 1 2 3sin x cos x (0 1)，直线
12、 x 3 是函数 f(x)的图象的一条对称轴 (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)已知函数 y g(x)的图象是由 y f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再向左平移 23 个单位长度得到的，若 g? ?2 3 65， ? ?0， 2 ，求 sin 的值 解析 (1)f(x) cos 2x 3sin 2x 2sin? ?2x 6 ， 由于直线 x 3 是函数 f(x) 2sin? ?2x 6 的图象的一条对称轴，所以sin? ?23 6 1 ，因此 23 6 k 2(k Z)， 解得 32k 12(k Z)又因为 0 1，所以 12， 所以 f(x) 2sin? ?
13、x 6 . 由 2k 2 x 6 2 k 2(k Z)，得 2k 23 x2 k 3(k Z)， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 ? ?2k 23 ， 2k 3 (k Z) (2)由题意可得 g(x) 2sin? ?12? ?x 23 6 ，即 g(x) 2cosx2， 由 g? ?2 3 2cos? ?12? ?2 3 2cos? ? 6 65，得 cos? ? 6 35， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 ? ?0， 2 ，故 6 623 ，所以 sin? ? 6 45， 所以 sin sin? ? ? 6 6 sin? ? 6 cos 6 cos? ? 6 sin 6 45³
