1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 1 讲 不等关系与不等式 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有 a b0?ab； a b 0?a b； ab0，则有 ab1?ab； ab 1?a b； abb?bb， bc?ac； 3可加性： ab?a cb c； ab， cd?a cb d； 4可乘性： ab， c0?acbc； ab， cb0， cd0?acbd； 5可乘方性： ab0?anbn(n N， n2) ； 6可开方性： ab0?n an b(n N， n2) 必会结论 1 ab， ab0?1ab0,0bd. 4
2、0b0， m0，则 bab ma m(b m0)； aba mb m； ab0) 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)两个实数 a， b 之间，有且只有 ab， a b， a1，则 ab.( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变 ( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (5)ab0， cd0?adbc.( ) (6)若 ab0，则 ab?1aN B M N C M0，所以 MN. 3 课本改编 若 ab0， cbd B.acbc D.ad 1c0，又 ab0，故由不等式性质，得
3、 ad bc0，所以 adb，则下列不等式一定成立的是 ( ) A a cb c B (a b)c20 C a3b3 D a2b2 答案 C 解析 对于 A，由于不知道 c 的正负，故无法判断 a c 与 b c 的大小关系，所以错误；对于 B，当 c 0 时， (a b)c20 不成立，所以错误；对于 D，需要保证 ab0，才能得到 a2b2，所以错误故选 C. 5 2018 浙江模拟 设 a， b 是实数，则 “ a b0” 是 “ ab0” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 D 解析 若 a b0，取 a 3， b 2，则 ab
4、0 不成立；反之，若 a 2， b 3，则 a b0 也不成立，因此 “ a b0” 是 “ ab0” 的既不充分也不必要条件选 D. 6 已知 1b， c0 ，则 acbc B若 ab，则 ac2bc2 C若 ac2bc2，则 ab D若 ab，则 1abc2， c0 ， c20， 一定有 ab.故选项 C 正确； 对于选项 D，当 a0， b0a； 0ab； a0b； ab0，能推出 1ab， ab0?1aac B c(b a)0 答案 A 解析 由 c0. 由 bc 得 abac 一定成立 (2)若 1a|b|； a0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 a bq D p q 答案
5、 B 解析 (作差法 )p q b2aa2b a b b2 a2a a2 b2b (b2 a2)?1a1b ?b2 a2?b a?ab ?b a?2?b a?ab ， 因为 a0. 若 a b，则 p q 0，故 p q；若 a b，则 p q0， abab2. a ab2 a(1 b2)0， b0，且 a b，试比较 aabb与 (ab) a b2 的大小 解 a0， b0， aabb?ab?a b2 a(a a b2 )b(b a b2 ) aa b2 bb a2 ?aba b2 ， 若 ab0，则 ab1， a b0. 由指数函数的性质 ? ?aba b2 1； 若 ba0，则 01.
6、=【 ;精品教育资源文库 】 = aabb?ab?a b2 1， aabb(ab) a b2 . 命题角度 3 放缩法 例 4 (1)2018 九江模拟 已知 a 312， b log1312， c log213，则 ( ) A abc B bca C cba D bac 答案 A 解析 a 3121,0bc.故选 A. (2)设 x0， P 2x 2 x， Q (sinx cosx)2， 则 ( ) A PQ B P0，所以 P2；又 (sinx cosx)2 1 sin2x，而 sin2x1 ，所以 Q2. 于是 PQ.故选 A. 触类旁通 比较大小的常用方法 (1)作差法； (2)作商法
7、； (3)放缩法：在代数式的比较大小问题中，一般是通 过放缩变形，得到一个中间的参照式 (或数 )，其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在 考向 不等式性质的应用 例 5 已知 10， y0，且181xy213， 16x4y281 ，由性质 6，得 2 x3y427 ，故x3y4的最大值是 27. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解法二：设 x3y4 ?x2ym(xy2)n， 则 x3y 4 x2m ny2n m， 所以? 2m n 3，2n m 4， 即 ? m 2，n 1. 又 16 ? ?x2y281 ， 18( xy2) 1 13，
8、2 x3y427 ，故x3y4的最大值为 27. 核心规律 1.用同向不等式求差的范围 ? ab?acbc 或 ab?1a1b，当 ab0 时不成立 3.ab?anbn对于正数 a， b 才成立 4.ab1?ab，对于正数 a， b 才成立 5.注意不等式性质中 “ ?” 与 “ ?” 的区别，如： ab， bc?ac，其中 ac 不能推出? ab，bc. 板块三 启智培优 破译高考 题型技法系列 8 巧用特殊值判断不等式问题 2016 山东高考 已知实数 x， y 满足 axln (y2 1) B sinxsiny C x3y3 =【 ;精品教育资源文库 】 = D. 1x2 1 1y2 1
9、 解题视点 (1)采用边选边排除的思想； (2)在选与排除的过程中采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率 解析 解法一：因为实数 x， y 满足 axy. 对于 A，取 x 1， y 3，不成立； 对于 B，取 x ， y ，不成立； 对于 C，由于 f(x) x3在 R 上单调递增，故 x3y3成立； 对于 D，取 x 2， y 1，不成立 故选 C. 解法二：根据指数函数的性质得 xy，此时 x2， y2的大小不确定，故选项 A， D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项 B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项 C 中的不等式成立 答案 C 答题启示 ?1?当选择题中
10、包含不止一个结论时，宜采用边选边排除的方法 . ?2?在判断多个不等式是否成立时，可采用特值法验证，若取值不能代表所有情况，可采用多次赋值法验证结论是否成立 . 跟踪训练 2018 烟台模拟 若 1a0； a 1ab 1b； ln a2ln b2中，正确的不等式是 ( ) A B C D 答案 C 解析 解法一：因为 1ab 1b成立，排除 A.选 C. 解法二 ： 由 1a0， 所以 1a b0， 故有 1a bb 1b， 故 正确 ， 排除 A.选 C. 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2018 金版创新 设 c0，则下列各式成立的是 ( ) A c2c B c? ?12 c C 2c? ?12 c 答案 D 解析 c0 时， 2c1， ? ?12 c? ?12 c. 2 2018 宁波模拟 若 a1b B. 1a b1a C |a|b| D a2b2 答案 B 解析 a1b，故 A 对 a 1a b，故 B 错 a b0，即 | a| b|， |a|b|，故 C 对 a b0， (a)2( b)2，即 a2b2，故 D 对故选 B. 3若 x， y 满足 4b0，下列各数小于 1 的是 ( ) A 2a b B.? ?ab 12 C.? ?ab a b D.? ?ba a b 答案 D 解析 解法一： (特殊值法 ) 取 a 2， b 1，代入验证
