1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 空间几何体的表面积和体积 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是 侧面展开图的面积 ，表面积是侧面积与底面面积之和 考点 2 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 考点 3 柱、锥、台和球的表面积和体积 =【 ;精品教育资源文库 】 = 必会结论 1与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差 (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等 2几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， 若球为正方体的外
2、接球，则 2R 3a； 若球为正方体的内切球，则 2R a； 若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a， b， c，外接球的半径为 R，则 2Ra2 b2 c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3 1. 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方 形，那么这个圆柱的侧面积是2 S.( ) (2)设长方体的长、宽、高分别为 2a， a， a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 3 a2.( ) (3)若一个球的体积为 4
3、3 ，则它的表面积为 12.( ) (4)将圆心角为 23 ，面积为 3 的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2.2018 长春模拟 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 ( ) A.323 B 64 C.32 33 D.643 答案 D 解析 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为 4， 其体积为 13444 643.故选 D. 3.2018 合肥模拟 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A 12 4 2 B 18 8 2 C
4、28 D 20 8 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图则该几何体的表面积为 S 2 1222 422 2 24 20 8 2.故选 D. 4九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为 “ 堑堵 ” ，已知某 “ 堑堵 ” 的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “ 堑堵 ” 的侧面积为 ( ) A 2 B 4 2 2 C 4 4 2 D 6 4 2 答案 C 解析 由题可知，该 几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为 2，腰长为 2，棱柱的高为 2，所以其侧面积 S 22 2 22 4
5、4 2.故选 C. 5 2017 全国卷 长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 _ 答案 14 解析 长方体的顶点都在球 O 的球面上， 长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径 设球的半径为 R， 则 2R 32 22 12 14. 球 O 的表面 积为 S 4 R2 4 ? ?142 2 14. =【 ;精品教育资源文库 】 = 6 2017 山东高考 由一个长方体和两个 14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 _ 答案 2 2 解析 该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为 1的四分之
6、一圆柱体构成， V 211 2 141 21 2 2. 板块 二 典例探究 考向突破 考向 几何体的表面积 例 1 (1)2017 全国卷 某多面体的三视图如图所示，其中 正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 ( ) A 10 B 12 C 14 D 16 答案 B 解析 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，侧棱长为 2.三棱锥的底面是直 角边长为 2 的等腰直角三角形，高为 2，如图所示因此该多面体各个面中有 2 个梯
7、形，且这两个梯形全等，梯形=【 ;精品教育资源文库 】 = 的上底长为 2，下底长为 4，高为 2，故这些梯形的面积之和为 2 12(2 4)2 12.故选B. (2)2016 全国卷 下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( ) A.20 B 24 C 28 D 32 答案 C 解析 由三视图可得圆锥的母线长为 22 ?2 3?2 4， S 圆锥侧 24 8. 又 S 圆柱侧 224 16 ， S 圆柱底 4 ， 该几何体的表面积为 8 16 4 28. 故选C. 触类旁通 空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几
8、何体的直观图 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 【变式训练 1】 2015 安徽高考 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.1 3 B 1 2 2 C 2 3 D 2 2 答案 C 解析 由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面 ABD 平面 BCD， ABD 与 BCD为全等的等腰直角三角形， AB AD BC CD 2.取 BD 的中点 O，连接 AO， CO，则 AO CO，AO CO 1.由勾股定理得 AC 2，因此 ABC 与 ACD 为全等的正三角形，由三角形面积公式得 S ABC
9、S ACD 32 ， S ABD S BCD 1，所以四面体的表面积为 2 3.故选 C. 考向 几何体的体积 命题角度 1 补形法求体积 例 2 2017 全国卷 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 90 B 63 C 42 D 36 答案 B 解析 (割补法 )由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示 将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 12，
10、所以该几何体的体积 V 3 24 3 26 12 63. 故选 B. 命题角度 2 分割法求体积 例 3 2018 山西五校联考 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “ 今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？ ”其意思为： “ 今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高 1丈，问它的体积是多少？ ” 已知 1 丈为 10 尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长 为 1 丈，则该楔体的体积为 ( ) A 5000 立方尺 B 5500 立方尺 C 6000 立方尺 D 6500 立方尺 答案 A
11、 解析 该楔体的直观图如图中的几何体 ABCDEF.取 AB 的中点 G， CD 的中点 H，连接 FG，GH， HF，则该几何体的体积为四棱锥 F GBCH 与三棱柱 ADE GHF 的体积之和又可以将三棱柱 ADE GHF 割补成高为 EF，底面积为 S 1231 32平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积 V 322 13231 5 立方丈 5000 立方尺故选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 命题角度 3 转化法求体积 例 4 如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， E， F 分别为线段 AA1， B1C 上的点，则三棱锥 D1 EDF 的体积为 _ 答案 16
12、 解析 三棱锥 D1 EDF 的体积即为三棱锥 F DD1E 的体积因为 E， F 分别为 AA1， B1C上的点，所以正方体 ABCD A1B1C1D1中 EDD1的面积为定值 12， F 到平面 AA1D1D 的距离为定值1，所以 VF DD1E 13 121 16. 触类旁通 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 考向 与
13、球有关的切、接问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例 5 2018 沈阳模拟 已知直三棱柱 ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB 3， AC 4， AB AC， AA1 12，则球 O 的半径为 ( ) A.3 172 B 2 10 C.132 D 3 10 答案 C 解析 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM 12BC 52， OM 12AA1 6，所以球 O 的半径 R OA ? ?52 2 62 132.故选 C. 本例若将直三棱柱改为 “ 棱长为 4 的正方 体 ” ，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？ 解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为 R，内切球的半径为 r. 又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 3， 从而 V 外接球 43 R3 43(2 3)3 32 3 ， V 内切球 43 r3 432 3 323 . 本例若将直三棱柱改为 “ 正四面体 ” ，则此正四面体的表面积 S1与其内切球的表面积 S2的比值为多少？ 解 正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S1 4&#
