1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 不等式恒成立问题的处理方法 1、转换为求函数的最值 )(xfa? 恒成立 )(xfa? 的最大值； )(xfa? 恒成立 )(xfa? 的最小值。 例 1、已知函数 )0(ln)( 44 ? xcbxxaxxf 在 1?x 处取得极值 3c? ，其中 ba, 为常数。 （ 1）试确定 ba, 的值； （ 2）讨论函数 )(xf 的单调区间； （ 3）若对任意 0?x ，不等式 22)( cxf ? 恒成立，求实数 c 的取值范围。 解：（ 1）（ 2）略（ 3）由（ 2）知， )(xf 在 1?x 处取得极小值 cf ? 3)1( ，此极小值也是最小值。要使
2、)0(2)( 2 ? xcxf 恒成立，只需 223 cc ? ，即 032 2 ?cc ， 从而 0)1)(32( ? cc ，解得 23?c 或 1?c ， ?c 的取值范围为 ),231,( ? 。 例 2、 已知 ? ? ,22 x axxxf ?对任意 ? ? ? ? 0,1 ? xfx 恒成立 ， 试求实数 a 的取值范围 。 解： 等价于 ? ? 022 ? axxx? 对任意 ? ? ,1x 恒成立 ， 又等价于 1?x 时 ， ?x? 的最小 值 0?成立 。 由于 ? ? ? ? 11 2 ? axx? 在 ? ?,1 上为增函数 ， 则 ? ? ? ? 31min ? a
3、x ? ， 所以 3,03 ? aa 。 例 3、函数 ?xf 在 R 上既是奇函数又是减函数，且当 ? 2,0? 时，有? ? ? ? 022s in2c o s 2 ? mfmf ? 恒成立，求实数 m 的取值范围。 解：由 ? ? ? ? 022s in2c o s 2 ? mfmf ? 得到： ? ? ? ?22s in2c o s 2 ? mfmf ? 因=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 ?xf 为奇函数，故有 ? ? ? ?22s in2c o s 2 ? mfmf ? 恒成立， 又因为 ?xf 为 R 减函数，从而有 22s in2co s 2 ? mm ? 对 ? 2,0?
4、恒成立； 设 t?sin ，则 01222 ? mmtt 对于 ? ?1,0?t 恒成立，函数 ? ? 1222 ? mmtttg ，对称轴为mt? 。 当 0?mt 时， ? ? 0120 ? mg ，即 21?m ，又 0?m 021 ? m 当 ? ?1,0?mt ，即 10 ?m 时， ? ? 01244 2 ? mmm ，即 0122 ? mm ， 2121 ? m ，又 ? ?1,0?m ， 10 ?m 当 1?mt 时， ? ? 0212211 ? mmg 恒成立。 1?m 故由可知： 21?m 。 2、主参换位 例 4、若不等式 01?ax 对 ? ?1,2x? 恒成立，求实数
5、 a 的取值范围。 12a? 例 5、若对于任意 1a? ，不等式 2 ( 4 ) 4 2 0x a x a? ? ? ? ?恒成立，求实数 x 的取值范围。 解： ( ,1) (3, )x? ? ? ? 例 6、已知函数 323( ) ( 1) 132af x x x a x? ? ? ? ?，其中 a 为实数。若不等式 2( ) 1f x x x a? ? ? ?对任意 (0 )a? ?， 都成立，求实数 x 的取值范围。 解：由题设知，对任意 (0 )a? ?， ，不等式 223 ( 1) 1a x x a x x a? ? ? ? ? ? ?都成立， 即 22( 2) 2 0a x x
6、 x? ? ? ?， ? (0 )a? ?， 都成立。 设 22( ) ( 2 ) 2g a x a x x? ? ? ?（ aR? ），则 ()ga 是一个以 a 为自变量的一次函数。 2 20x ? 恒成立，则 ? xR? ， ()ga 为 R 上的单调递增函数。 =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以对任意 (0 )a? ?， ， ( ) 0ga? 恒成立的充分必要条件是 (0) 0g ? ， 2 20xx? ? ? ， ? 20x? ? ? ，于是 x 的取值范围是 | 2 0xx? ? ? 。 3、分离参数 （ 1）将参数与变量分离，即化为 ? ? ? ?g f x? ? （或 ?
7、? ? ?g f x? ? ）恒成立的形式； （ 2）求 ?fx在 xD? 上的最大（或最小）值； （ 3）解不等式 ? ? max()g f x? ? （或 ? ? ? ?ming f x? ? ），得 ? 的取值范围。 适用题型：参数与变量能 分离；函数的最值易求出。 例 7、当 (1,2)x? 时，不等式 2 40x mx? ? ? 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 解：当 (1,2)x? 时，由 2 40x mx? ? ? 得2 4xm x?。 令2 44() xf x xxx? ? ?，则易知 ()fx在 (1,2) 上是减函数， 所以 1,2x? 时 ( ) (1) 5maxf
8、 x f?，则2min4( ) 5x x? ? ? 5m? 。 例 8、已知函数 321( ) 33f x ax bx x? ? ? ?，其中 0a? 。 （ 1）当 ba, 满足什么条件时， )(xf 取得极值； （ 2）已知 0?a ，且 )(xf 在区间 (0,1 上单调递增，试用 a 表示出 b 的取值范围。 解：（ 1） 2ab? （ 2） )(xf 在区间 (0,1 上单调递增 ? 2( ) 2 1 0f x ax bx? ? ? ?在 (0,1 上恒成立 ? 1 , (0,122axbxx? ? ? ?恒成立 ? m ax1()22axb x? ? ? ， (0,1x? ； =【
9、 ;精品教育资源文库 】 = 设 1() 22axgx x? ? ，2221()1( ) 2 2 2axa agx xx? ? ? ? ?，令 ( ) 0gx? 得 1x a? 或 1x a? （舍）， 当 1?a 时， 101a?，当1(0, )x a?时 ( ) 0gx? ， 1() 22axgx x? ? ? 单调增函数； 当1( ,1x a?时 () 0gx? ， 1() 22axgx x? ? 单调减函数， ? max()gx?1()gaa ?， ?ba? ； 当 01a?时，1 1a?，此时 ( ) 0gx? 在区间 (0,1 恒成立，所以 1() 22axgx x? ? ? 在区
10、间(0,1 上单调递增， ? max()gx ? 1(1) 2ag ? ， ? 12ab ? 。 综上，当 1?a 时， ba? ；当 01a?时， 12ab ? 。 4、数形结合 例 9、若对任意 xR? ，不等式 |x ax? 恒成立，则实数 a 的取值范围是 。 解： Rx? ，不等式 |x ax? 恒成立，则由一次函数性质及图象知 11a? ? ? ，即 11a? ? ? 。 例 10、当 )2,1(?x 时，不等式 xx alog)1( 2 ? 恒成立，求实数 a 的取值范围。 2,1( 例 11、已知关于 x 的函数 ? ? 1lo glo glo g6lo g1lo g 2222
11、 ? xbxbxy aa， 其中 0,1,0 ? baa ，若当 x 在区间 ?2,1 内任意取值时， y 的值恒为正，求实数 b 的取值范围。 解： ? ? 1lo glo g1lo g6lo g 222 ? bxbby aaa ，令 xu 2log? ，则 ? ?,0?u ， 则有 ? ? ? ? 1lo g1lo g6lo g 22 ? bubbufy aaa，于是问题转化为： 当 ? ?1,0?u 时， ? ? 0? ufy 恒成立，求实数 b 的取值 范围。 因为 ? ?ufy? 是关于 u 的一次函数，则当 ? ?1,0?u 时， ? ? 0? ufy 恒成立的充要条件是=【 ;精品教育资源文库 】 = ? ? ? ? ? 02lo g61 01lo g0 2 bf bfaa，解得 31log1 ? ba。 所以当 1?a 时，31 aba ?； 当 10 ?a 时，aba 13 ?。
