1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.8 函数模型及其应用 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 函数模型及其综合应用 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征 . 2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题 . 了解 , 掌握 16(文 ), 4分 21(文 ), 15分 10,5分 17,4分 10(文 ), 5分 6(文 ), 5分 18,15分 20(文 ), 15分 11,4分 , 17,4分 分析解读 1.函数模型及其应用是对考生综合能力和素质的考查 ,主要 考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题 . 2.考查
2、函数思想方法的应用 ,试题从实际出发 ,结合三角函数、不等式、数列等知识 ,加大对学生应用数学知识分析和解决问题能力的考查 .在高考中往往以选择题、填 空题的形式出现 ,属中等难度题 (例 :2014浙江 17题 ). 3.预计函数模型及 其应用在 2019年高考中出现的可能性很大 ,应引起高度重视 . 五年高考 考点 函数模型及其综合应用 1.(2017课标全国 文 ,9,5 分 )已知函数 f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( ) A. f(x)在 (0,2)单调递增 B. f(x)在 (0,2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 D.y=f(x)的图象关于 点 (
3、1,0)对称 答案 C 2.(2015北京 ,8,5分 )汽车的 “ 燃油效率 ” 是指汽车每消耗 1升汽油行驶的里程 ,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 .下列叙述中正确的是 ( ) A.消耗 1升汽油 ,乙车最多可行驶 5千米 B.以相同速度行驶相同路程 ,三辆车中 ,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米 /小时的速度行驶 1小时 ,消耗 10升汽油 D.某城市机动车最 高限速 80千米 /小时 .相同条件下 ,在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D 3.(2014湖南 ,8,5分 )某市生产总值连续两年持续增加 ,第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,则该市
4、这两年生产总值的年平均增长率为 ( ) A. B. C. D. -1 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.(2017浙江 ,17,4分 )已知 aR, 函数 f(x)= +a 在区间 1,4上的最大值是 5,则 a的取值范围是 . 答案 5.(2014浙江 ,17,4分 )如图 ,某人在垂直于水平地面 ABC的墙面前的点 A处进行射击训练 .已知点 A到墙面的 距离为 AB,某目标点 P沿墙面上的射线 CM移动 ,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由点 A观察点 P的仰角 的大小 .若 AB=15 m,AC=25 m,BCM=30, 则 tan 的最大值是 .(仰角 为直线 AP
5、与平面 ABC所成角 ) 答案 6.(2017山东理 ,15,5分 )若函数 exf(x)(e=2.718 28? 是自然对数的底数 )在 f(x)的定义域上单调递增 ,则称函数 f(x)具有 M性质 .下列函数中所有具有 M性质的函数的序号为 . f(x)=2 -x f(x)=3 -x f(x)=x 3 f(x )=x2+2 答案 7.(2015四川 ,13,5分 )某食品的保鲜时间 y(单位 :小时 )与储藏温度 x(单位 :) 满足函数关系y=ekx+b(e=2.718? 为自然对数的底数 ,k,b为常数 ).若该食品在 0 的保鲜时间是 192小时 ,在 22 的保鲜时间是 48 小时
6、 ,则该食品在 33 的保鲜时间是 小时 . 答案 24 8.(2014湖北 ,14,5分 )设 f(x)是定义在 (0,+) 上的函数 ,且 f(x)0,对任意 a0,b0,若经过点 (a, f(a),(b,-f(b)的直线与 x轴的交点为 (c,0),则称 c为 a,b关于函数 f(x)的平均数 ,记为 Mf(a,b).例如 ,当f(x)=1(x0)时 ,可得 Mf(a,b)=c= ,即 Mf(a,b)为 a,b的算术平均数 . (1)当 f(x)= (x0)时 ,Mf(a,b)为 a,b的几何平均数 ; (2)当 f(x)= (x0)时 ,Mf(a,b)为 a,b的调和平均数 . (以上
7、两空各只需写出一个符合要求的函数即可 ) 答案 (1) (2)x 教师用书专用 (9 10) 9.(2014辽宁 ,12,5分 )已知定义在 0,1上的函数 f(x)满足 : f(0)= f(1)=0; 对所有 x,y0,1, 且 xy, 有 |f(x)-f(y)|0,g(t)是增函数 . 从而 ,当 t=10 时 ,函数 g(t)有极小值 ,也是最小值 ,所以 g(t)min=300,此时 f(t)min=15 . 答 :当 t=10 时 ,公路 l的长度最短 ,最短长度为 15 千米 . 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点 函数模型及其综合应用 1.(2017浙江名
8、校协作体期初 ,8)已知函数 f(x)=x+ex-a,g(x)=ln(x+2)-4ea-x,其中 e为 自然对数的底数 ,若存在实数 x0,使 f(x0)-g(x0)=3成立 ,则实数 a的值为 ( ) A.-ln 2-1 B.ln 2-1 C.-ln 2 D.ln 2 答案 A 2.(2018浙江镇海中学阶段性测试 ,12)定义 :若存在常数 k,使得对定义域 D内的任意 x1,x2(x1x 2),均有|f(x1)-f(x2)|k|x 1-x2|成立 ,则称函数 f(x)在定义域 D上满足利普希茨条件 .若函数 f(x)= (x1) 满足利普希茨条件 ,则常数 k的最小值为 . 答案 3.(
9、2017浙江 “ 超级全能生 ” 联考 (3 月 ),17)若两个函数 y=f(x),y=g(x)在给定的相同的定义域上恒有f(x)g(x)0, 则称这两个函数是 “ 和谐函数 ”, 已知 f(x)=ax-20,g(x)=lg (aR) 在 xN *上是 “ 和谐函数 ”,则 a的取值范围是 . 答案 4,5 4.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四 ,17)已知函数 f(x)=x(x -x),x为 x的整数部分 ,则f(f(5.68)= ; 当 0x2 017 时 , f(x)x -1的解集为 . 答案 1.2;x|1x2 017 5.(2016浙江衢州质量检测 (4月卷 ),12)已知函数
10、f(x)=x2-2,对任意的 x11,2, 存在 x23,4, 使得f(x2)+a|f(x 1)|恒成立 ,则实数 a的取值范围是 . 答案 -12,+) B组 2016 2018 年模拟 提升题组 一、选择题 1.(2016四川德阳一诊 ,5)将甲桶中的 a L水缓慢注入空桶乙中 ,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过 5 min后甲桶和乙桶的水量相等 ,若再过 m min甲 桶中的水只有 L,则 m的值为 ( ) A.5 B.8 C.9 D.10 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 二、填空题 2.(2018浙江镇海中学阶段性检测 ,13)某商场国庆期间
11、 搞促销活动 ,规定 :顾客购物总金额不超过 500元 ,不享受任何折扣 ,如果顾客购物总金额超过 500元 ,则超过 500元部分享受一定的折扣优惠 ,按下表折扣分别累计计算 : 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过 200元的部分 5% 超过 200元的部分 10% 某人在此商场购物获得的折扣金额为 35元 ,则他购物实际所付金额为 元 . 答案 915 3.(2016浙江名校 (柯桥中学 )交流卷四 ,14)已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数 ,当 x0 时 ,f(x)=|x-1|+|x-2|-3,若对任意实数 x,恒有 f(x-a)f(x), 则非零实数 a的取值范围为 . 答案
12、 6,+) 三、解答题 4.(2018 浙江镇海中学阶段性检测 ,18)某地区的农产品 A 第 x(1x20) 天的销售价格 (元 百斤 )p=50-|x-6|,一农户在第 x(1x20) 天的农产品 A的销售量 (百斤 )q=40+|x-8|. (1)求该农户在第 7天销售农产品 A的收入 ; (2)问这 20天中该农户在哪一天的销售收入最大 ? 解析 (1)由已知得第 7天的销售价格 p=49,销售量 q=41. 第 7天的销售收入为 4941=2 009( 元 ). (3分 ) (2)设第 x天的销售收入为 Wx元 , 则 Wx= (6分 ) 当 1x6 时 ,Wx=(44+x)(48-
13、x) =2 116(当且仅当 x=2时取等号 ).(9分 ) 当 8x20 时 ,Wx=(56-x)(32+x) =1 936(当且仅当 x=12时取等号 ).(12分 ) 综上可知 ,第 2天该农户的销售收入最大 .(13分 ) 5.(2017浙江名校 (杭州二中 )交流卷三 ,20)定义函数 f(x)=(1-x2)(x2+bx+c). (1)如果 f(x)的图象关于直线 x=2对称 ,求 2b+c的值 ; (2)若 x -1,1,记 |f(x)|的最大值为 M(b,c),当 b,c 变化时 ,求 M(b,c)的最小值 . 解析 (1)易得 x=1 是函数的零点 ,由于函数图象关于直线 x=
14、2对称 ,故 3,5也是函数的零点 ,因此 x2+bx+c=0的两根分别为 3,5,由根与系数的关系知 b=-8,c=15,所以 2b+c=-1. (2)对任意的 x -1,1,|f(x)|M(b,c), 取 x=,0 得 所以 2|(1- 2)( 2+c)|2M(b,c), 因此 |(1- 2)( 2+c)|M(b,c), 所以 |(1- 2) 2|(1 - 2)( 2+c)|+|(1- 2)|c|(2 - 2)M(b,c), 因此 M(b,c) =3-2 (当且仅当 2=2- 时 ,取得最大值 ),此时 b=0,c=2 -3, 经验证 ,(1-x2)(x2+2 -3)3 -2 满足题意 .
15、 =【 ;精品教育资源文库 】 = 故当 b=0,c=2 -3时 ,M(b,c)取得最小值 ,且最小值为 3-2 . C组 2016 2018 年模拟 方法题组 方法 建立确定性函数模型解决实际问题 1.(2016辽宁锦州期末 ,9)国家规定个人稿费纳税办法为 :不超过 800元的不纳税 ;超过 800元而不超 过 4 000元的按超过 800元部分的 14%纳税 ;超过 4 000元的按全部稿酬的 11.2%纳税 ,已知某人出版一本书共纳税 420元 ,则这个人应得稿费 (扣税前 )为 ( ) A.2 800元 B.3 000元 C.3 800元 D.3 818 元 答案 C 2.围建一个面
16、积为 360 m2的矩形场地 ,要求矩形场地的一面利用旧墙 (需维修 ),其他三面围墙要新建 ,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m的进出口 ,如图所示 .已知旧墙的维修费用为 45 元 /m,新墙的造价为 180元 /m.设 利用的旧墙长度为 x m,修建此矩形场地围墙的总费用为 y元 . (1)将 y表示为 x的函数 ; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少 ,并求出最少总费用 . 解析 (1)设矩形的 与旧墙垂直的边长为 a m, 则 y=45x+180(x-2)+1802a=225x+360a -360. 由已知得 xa=360,得 a= . y=225x+ -360(x0). (2)x0,225x+ 2 =10 800. y=225x+ -36010 440. 当且仅当 225x= 时 ,等号成立 . 即当 x=24时 ,修建围墙的总费用最少 ,最少总费用是 10 440元 .
