1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第九章 复数、计数原理与概率、随机变量及其分布 第一节 数系的扩充与复数的引入 1复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如 a bi(a， b R)的数叫复数，其中 a， b 分别是它的实部和 虚部 若 b 0，则 abi 为实数；若 b0 ，则 a bi 为虚数；若 a 0 且 b0 ，则 a bi 为纯虚数 (2)复数相等： a bi c di?a c 且 b d(a， b， c， d R) (3)共轭复数： a bi 与 c di 共轭 ?a c， b d(a， b， c， d R) (4)复数的模： 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z a bi(a，
2、b R)的模，记作 |z|或 |a bi|，即 |z| |a bi| a2 b2. 2复数的几何意义 (1)复数 z a bi 复平面内的点 Z(a， b)(a， b R) (2)复数 z a bi(a， b R) 平面向量 OZ . 3复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， d R)，则 加法： z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d)i； 减法： z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d)i； 乘法： z1 z2 (a bi)( c di) (ac bd) (ad bc)i； 除法：
3、z1z2 a bic di a b c dc d c d ac bdc2 d2 bc adc2 d2 i(c di0) (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1， z2， z3 C，有 z1 z2 z2 z1， (z1 z2) z3 z1 (z2 z3) 小题体验 1复数 z 12 i(其中 i 为虚数单位 )的虚部为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 15 2若复数 z 满足 2z i，则 z _. 解析：由题意得， z 2i 3 4ii 4 3i. 答案： 4 3i 3 (教材习题改编 )四边形 ABCD 是复平面内的平行四边形， A， B， C
4、三点对应的复数分别是 1 3i， i,2 i，则点 D 对应的 复数为 _ 答案： 3 5i 1判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义 2两个虚数不能比较大小 3注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若 z1，z2 C， z21 z22 0，就不能推出 z1 z2 0； z20 在复数范围内有可能成立 小题纠偏 1设复数 z1 2 i， z2 a 2i(i 是虚数单位， a R)，若 z1 z2 R，则 a _. 解析：依题意，复数 z1z2 (2 i)(a 2i) (2a 2) (4 a)i 是实数，因此 4 a 0，a 4. 答案
5、： 4 2设 i 是虚数单位，若复数 (2 ai)i 的实部与虚部互为相反数，则实数 a 的值为_ 解析：因为 (2 ai)i a 2i， 又其实部与虚部互为相反数， 所以 a 2 0，即 a 2. 答案： 2 考点一 复数的有关概念 基础送分型考点 自主练透 题组练透 1复数 1 2i2 i 的实部与虚部之和为 ( ) A 1 B 0 C 1 D 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：选 A 1 2i2 i 1 2i i，所以实部与虚部之和为 1. 2已知 i 为虚数单位， a R，若 2 ia i为纯虚数，则复数 z 2a 2i 的模等于 ( ) A. 2 B. 11 C. 3 D.
6、 6 解析：选 C 由题意得， 2 ia i ti(t0) ， 2 i t tai， ? t 2，ta 1， 解得 ? t 2，a 12， z 2a 2i 1 2i， |z| 3，故选 C. 3 (2018 杭州高级中学月考 )已知方程 x2 (4 i)x 4 ai 0(a R)有实根 b，且 z a bi，则复数 z 的共轭复数为 ( ) A 2 2i B 2 2i C 2 2i D 2 2i 解析：选 B 方程 x2 (4 i)x 4 ai 0(a R)可化为 x2 4x 4 i(x a) 0， 由复数相等的意义得? x2 4x 4 0，x a 0， 解得 x 2， a 2， 方程 x2
7、(4 i)x 4 ai 0(a R)有实根 b，故 b 2， 所以复数 z 2 2i，所以复数 z 的共轭复数为 2 2i. 4已知复数 z1满足 (z1 2)(1 i) 1 i(i 为虚数单位 )，复数 z2的虚部为 2，且 z1 z2是实数，则 z2 _. 解析： (z1 2)(1 i) 1 i?z1 2 i. 设 z2 a 2i， a R， 则 z1 z2 (2 i)(a 2i) (2a 2) (4 a)i. z1 z2 R， a 4. z2 4 2i. 答案： 4 2i 谨记通法 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所
8、以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a bi(a， b R)的形式，再根据题意求解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 考点二 复数的几何意义 基础送分型考点 自主练透 题组练透 1 (2018 金华模拟 )复平面内表示复数 i(1 2i)的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析：选 A i(1 2i) 2i2 i 2 i 其在复平面内对应的点为 (2,1)，位于第一象限 2 (2018 河北 “ 五校联盟 ” 质检 )在复平面内与复数 z 2i1 i所对应的点关于实轴对称的点为 A，则 A 对应的复数为 ( ) A 1 i B 1 i
9、C 1 i D 1 i 解析：选 B 因为 z 2i1 i i(1 i) 1 i，所以 A 点坐标为 (1， 1)，其对应的复数为 1 i. 3已知复数 z1 1 2i， z2 1 i， z3 3 4i，它们在复平面上对应的点分别为 A， B，C，若 OC OA OB ( ， R)，则 的值是 _ 解析：由条件得 OC (3， 4)， OA ( 1,2)， OB (1， 1)， 根据 OC OA OB 得 (3， 4) ( 1,2) (1， 1) ( ， 2 )， ? 3，2 4， 解得? 1， 2. 1. 答案： 1 谨记通法 对复数几何意义的理解及应用 (1)复数 z、复平面上的点 Z 及
10、向量 OZ 相互联系，即 z a bi(a， b R)?Z(a， b)? OZ . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 考点三 复数的代数运算 基础送分型考点 自主练透 题组练透 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 (2017 山东高考 )已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi 1 i，则 z2 ( ) A 2i B 2i C 2 D 2 解析：选 A zi 1 i， z 1 ii 1i 1 1 i. z2 (1 i)2 1 i2 2i 2i. 2 (2018 嘉兴模拟 )设复数 z
11、 1 i(i 是虚数单位 )，则 2z z 等于 ( ) A 2 B 2 C 2i D 2i 解析：选 A 2z z 21 i 1 i 1 i 1 i 1 i 2. 3已知 i 是虚数单位，复数 z 12 i，则 z? z ( ) A 25 B 5 C.125 D.15 解析：选 D z 12 i 2 i 25 15i， z? z |z|2 ? ?25 2 ? ? 15 2 15. 4 (2018 海宁模拟 )i 是虚数单位，复数 7 i3 4i _. 解析： 7 i3 4i 25 25i32 42 1 i. 答案： 1 i 谨记通法 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法：复数的乘
12、法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可 (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式 提醒 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度 (1)(1i) 2 2i ； 1 i1 i i； 1 i1 i i； (2) b ai i(a bi)； (3)i4n 1， i4n 1 i， i4n 2 1， i4n 3 i， =【 ;精品教育资源文库 】 = i4n i4n 1 i4n 2 i4n 3 0， n N*. 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1 (2017 全国卷
13、)(1 i)(2 i) ( ) A 1 i B 1 3i C 3 i D 3 3i 解析：选 B (1 i)(2 i) 2 i2 3i 1 3i. 2 (2018 湖州模拟 )已知复数 a 2i1 i(i 是虚数单位 )是纯虚数，则实数 a ( ) A 2 B 1 C 0 D 2 解析：选 A a 2i1 i a a a2 是纯虚数，所以 a 2 0，解得 a 2. 3 (2018 杭州质检 )设复数 12 32 i(其中 i 是虚数单位 )，则 1 ( ) A B 2 C 1 D. 1 2 解析：选 C 由题意可得， 1 12 32 i， 12 32 i，故 A 项错误； 2 ? ? 12
14、32 i 2 12 32 i，故 B 项错误； 1 1 12 32 i 12 32 i，故 C 项正确； 1 21 12 32 i 12 32 i，故 D 项错误 4 (2018 金丽衢十二校联考 )设 a R，若复数 z a i1 i(i 为虚数单位 )的实部和虚部相等，则 a _， | z | _. 解析： a i1 i a a a2 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 a 1 1 a，解得 a 0. 所以 z 12 12i，所以 | z | ? ?12 12i 22 . 答案： 0 22 5设复数 a bi(a， b R)的模为 3，则 (a bi)(a bi) _. 解析： |a bi| a2 b2 3， (a bi)(a bi) a2 b2 3. 答案： 3 二保高考，全练题型做到高考达标 1 (2018 杭州质检 )设 z i1 i(i 为虚数单位 )，则
