1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 9 讲 函数模型及其应用 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x) ax b(a， b 为常数， a0) 二次函数型 f(x) ax2 bx c(a， b， c 为常数， a0) 指数函数型 f(x) bax c(a， b， c 为常数， a0 且 a1 ， b0) 对数函数型 f(x) blogax c(a， b， c 为常数， a0 且 a1 ， b0) 幂函数型 f(x) axn b(a， b 为常数， a0) 考点 2 指数、对数及幂函数三种增长型 函数模型的图象与性质 必会结论 “
2、 f(x) x ax(a 0)” 型函数模型 =【 ;精品教育资源文库 】 = 形如 f(x) x ax(a 0)的函数模型称为 “ 对勾 ” 函数模型： (1)该函数在 ( ， a和 a， ) 上单调递增，在 a， 0和 (0， a上单调递减 (2)当 x 0 时， x a时取最小值 2 a， 当 x 0 时， x a时取最大值 2 a. 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)函数 y 2x的函数值比 y x2的函数值大 ( ) (2)幂函数比一次函数增长速度快 ( ) (3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中 ( ) (
3、4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律 ( ) (5)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件商品仍能获利 ( ) (6)当 x 4 时 ，恒有 2x x2 log2x.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 2018 长沙模拟 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是 ( ) 答案 C 解析 出发时距学校最远，先排除 A，中途堵塞停留，距离没变，再排除 D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除 B. 3 课本改编 已知某矩形广场
4、的面积为 4 万平方米，则其周长至少为 ( ) A 800 米 B 900 米 C 1000 米 D 1200 米 答案 A 解析 设这个广场的长为 x 米，则宽为 40000x 米，所以其周长为 l 2? ?x 40000x 800 ，当且仅当 x 40000x ，即 x 200 时取等号 4 课本改编 某家具的标价为 132元，若降价以九折出售 (即优惠 10%)，仍可获利 10%(相=【 ;精品教育资源文库 】 = 对进货价 )，则该家具的进货价是 ( ) A 118 元 B 105 元 C 106 元 D 108 元 答案 D 解析 设进货价为 a 元，由题意知 132(1 10%)
5、a 10% a，解得 a 108. 5 2018 抚顺模拟 某种动物繁殖量 y(只 )与时间 x(年 )的关系为 y alog3(x 1)，设这种动物第 2 年有 100 只，则到第 8 年它们发展到的只数为 _ 答案 200 解析 alog33 100， a 100， y 100log39 200. 6调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 0.8 mg/mL， 在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 50%的速度减少，则至少经过 _小时他才可以驾驶机动车 (精确到小时 )
6、答案 2 解析 设 n 小时后才可以驾车，由题意得 0.8(1 50%)n 2,0.5n 14，即 n 2，即至少经过 2 小时后才可以驾驶机动车 板块二 典例探究 考向突破 考向 利用函数图象刻画实际问题 例 1 2017 全国卷 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量 (单位：万人 )的数据，绘制了下面的折线图 根据该折线图，下列结论错误的是 ( ) A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12
7、 月，波动性更小，变化比较平稳 答案 A 解析 对于选项 A，由图易知月接待游客量每年 7,8 月份明显高于 12 月份，故 A 错； =【 ;精品教育资源文库 】 = 对于选项 B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故 B 正确； 对于选项 C， D，由图可知显然正确故选 A. 触类旁通 用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律 (如增长的快慢、最大、最小等 )与函数的性质 (如单调性、最值等 )、图象 (增加、减少的缓急等 )相吻合即可 【变式训练 1】 2015 北京高考 汽车的 “ 燃油效率 ” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、
8、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是 ( ) A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米 /小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米 /小时相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更 省油 答案 D 解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米，所以 A 错误对于 B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少对于 C 选项，甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油
9、效率为 10 km/L，故行驶 1 小时的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误对于 D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以 D 正确 考向 已知函数模型解决实际问题 例 2 2015 四 川高考 某食品的保鲜时间 y(单位：小时 )与储藏温度 x(单位： )满足函数关系 y ekx b(e 2.718? 为自然对数的底数， k， b 为常数 )若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 ( ) A 16 小时 B 20 小时 =【 ;精
10、品教育资源文库 】 = C 24 小时 D 28 小时 答案 C 解析 由题意，得 (0,192)和 (22,48)是函数 y ekx b图象上的两个点， 则? 192 eb，48 e22k b， 解得 e11k 12.所以当储藏温度为 33 时，保鲜时间 y e33k b(e11k)3e b 18192 24(小时 ) 触类旁通 利用已知函数模型解决实际问题的步骤 若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题 【变式训练 2】 2014 北京高考 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称
11、为 “ 可食用率 ” 在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位： 分钟 )满足函数关系 p at2 bt c(a， b， c 是常数 )，下图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 ( ) A 3.50 分钟 B 3.75 分钟 C 4.00 分钟 D 4.25 分钟 答案 B 解析 由已知得? 9a 3b c 0.7，16a 4b c 0.8，25a 5b c 0.5，解得? a 0.2，b 1.5，c 2， p 0.2t2 1.5t 2 15? ?t 154 2 1316， 当 t 154 3.75 时 p 最大，即最佳加工时间为 3.75 分钟故选
12、 B. 考向 构建函数模型解决实际问题 例 3 2016 四川高考 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则该公司全年投入的研发资金开 始超过 200 万元的年份是 ( ) (参考数据： lg 1.120.05 ， lg 1.30.11 ， lg 20.30) A 2018 年 B 2019 年 C 2020 年 D 2021 年 答案 B 解析 设第 n(n N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元 根据题意得 130(1 12%)n 1
13、200， 则 lg 130 (n 1)lg 1.12lg 2 2， 2 lg 1.3 (n 1)lg 1.12lg 2 2， 0.11 (n 1)0.050.30 ，解得 n245 ， 又 n N*， n5 ， 该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 2019年故选 B. 触类旁通 构建数学模型一定要过好的三关 (1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口 (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系 (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型 【变式训练 3】
14、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建 造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元 )与隔热层厚度 x(单位： cm)满足关系 C(x) k3x 5(0 x10) ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 解 (1)由已知条件得 C(0) 8，则 k 40， 因此 f(x) 6x 20C(x) 6x 8003x 5(0 x10) (2)f(x) 6x 10 8003x 5 102 ?6x 10? 8003x 5 10 70(万元 )，当且仅当 6x 10 8003x 5，即 x 5 时等号成立 所以当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70 万元 核心规律 1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2.实际问题中往往涉及一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值 3.解函数应 用题的四个
