1、微观经济学全册配套微观经济学全册配套完整课件完整课件3第一章第一章 最优化数学方法最优化数学方法学习目标学习目标n集合与函数 n单一变量函数的极大与及极小问题单一变量函数的极大与及极小问题n多变量函数在无限制条件下的最优化分析多变量函数在无限制条件下的最优化分析 n等式限制条件下的最优化方法：拉格朗日等式限制条件下的最优化方法：拉格朗日方法方法 n不等式限制条件下的最优化方法：不等式限制条件下的最优化方法：Kuhn-Tucker conditions 集合与函数集合与函数 n集合 (set) 就是一些元素 (element) 的集合，例如某校经济系教师的集合，或中国人的集合等等。 n序偶 (o
2、rdered pair)：例如两个消费组合 (consumption bundle) 分别为，两个苹果与两条香蕉：(2, 2)，及一个苹果与三条香蕉：(1, 3)，则消费组合的集合为 A = 。 n集合可以用来说明充分条件 (sufficient condition ) 与必要条件 (necessary condition) ： 3 , 1,2 , 2集合与函数集合与函数 图图1-1充分条件与必要条件充分条件与必要条件集合与函数集合与函数图图1-2不同的充分条件不同的充分条件 (A或或C或或D) 都可能使必要条件都可能使必要条件 (B) 成立成立集合与函数集合与函数 图图1-3(a)函数关系；
3、函数关系；(b)非函数关系非函数关系 集合与函数集合与函数 使用实数值函数 (real-value function) 时，必须要接受实数系的性质：任意两个实数 x, y 之间可以比较是大于 (x y)、小于 (x y 及 y z，则 x z)。 若某一个消费者的选择可以用实值函数来代表： 1 : uXR 则是假设了此消费者一定可以：(1) 比较任意两个消费组合的优劣；(2) 排列消费组合的优先次序时不会颠倒 (若觉得 A 优于 B，B 优于 C，则绝不会有 C 优于 A 的情形)；或称此人是具有理性的偏好 (rational preference)： (a) 完整性 (completenes
4、s)：任意两个 A 与 B 消费组合，下列三种情形至少有一种可以成立： AB， BA 或 AB (其中 代表至少如.那么好， 代表无差异)； (b) 递延性 (transitivity)： 任意三个 A， B 与 C 消费组合， 若 AB 及 BC，则 AC。 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题释例1 x 称为决策变数 (decision variable) 或内生变数 (endogenous variable)，参数3与2及6称为外生参数 (exogenous parameter)。内生变量是由目标函数 (objective function)： 得到的解，
5、因此它会是外生参数的函数 (亦即当给定的参数3或2或6改变时，问题的解会随之改变)。xxxfyMinMaxx63)(/2无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题 *( )0,x xfx或 1066)(*xxxf (1-1) 上式我们称为存在极值的必要条件 (一阶条件)：若是目标函数有极值 (有最大或最小值) 存在，则 ) 1(*xf 必定是该函数的极值；*x又称为稳定点 (stationary point) 。 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题 二阶条件 (充份条件)： *1( )60 x xfx (1-2) 亦即：当 1*x 时
6、，)(xf 有极小：3) 1 (6) 1 (3) 1 (2f。 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题二阶微分的导数可以判定由一阶条件 (式(1-1) 得到的解是极大或极小： 因为 *)()()(xxxxxxxdxxdfdxxf dxf 所以，如图 1-5(a)所示，0)(xdxxdf：由*x往右至0)()()(:*11xfxfxfx 0*1xxx 由*x往左至*22:( )()()0 xfxfxfx *20 xxx 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题如图 1-5(b)所示，0)(xdxxdf：由*x往右至0)()()(:*11x
7、fxfxfx 0*1xxx 由*x往左至*22:( )()()0 xfxfxfx *20 xxx 如图 1-5(c)所示，(?)(xdxxdf：由*x往右至0)()()(:*11xfxfxfx 0*1xxx 由*x往左至*22:( )()()0 xfxfxfx *20 xxx 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题图图 1-5 (a) xxxf63)(2 有极小值有极小值 ; (b) 2( )36g xxx 有极大值有极大值 (c) 3)(xxh 无极值无极值 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题规则： 若 )(xf 为一次与两次可
8、微分，并且 , 0)(*xxxf (A)： 则 0)(* xxxf 代表 )(*xf 为极小； 0)(0 xxf 代表 )(*xf 为极大。 若)(xf为一次与两次可微分，并且0)(*xxxf 及 (B)： )(*xf 为极大，则 0)(* xxxf； )(*xf 为极小，则 0)(* xxxf。 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题图图1-6 在求极值时函数正转换后的决策变量值仍不变在求极值时函数正转换后的决策变量值仍不变无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 ),(/21,21xxfyMinMaxxx (1-4) 一阶条件可以表
9、示为： 11210 ()fxx xx (1-4a) 22120 ()fxx xx (1-4b) 其中 )(211xxx 代表 1x 为 2x 的函数；)(122xxx 代表 2x 为 1x 的函数 (注意并不是代表 1x 与 2x 相乘)。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 式(1-4a)的意义为：在固定不同的 2x 之下，求出 f 函数与这些固定的1200 xycx 平面的截面的极值 (其中 c 为一常数)， 0tan112tconsxdxdfxf 如图 1-7(a)所示， 当固定 2x 为 22xx 时，),(21xxfy 与 12200 xyxx 的截
10、面为： ),(21xxfy 12 ( ,)yf x x 12200 xyxx 对 ),(21xxfy 中的 1x 微分，并令其导数为零： 22121211211( ,)( ,)0 ()xxdf x xf x xxx xdxx 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题我们也可以将式(1-4a)代入 ),(21xxfy 中，这就相当于求出 )(211xxx 与 ),(21xxfy 的截面，这时 f 函数将只是 2x 的函数，然后再求解下列最优化的问题： ),(/2212xxxfyMinMaxx (1-5) 由式(1-5)的一阶条件： 0),(2221xxxxf 得到的
11、*2x 及由 )(*21*1xxx 求得的 *1x 会等于由式(1-4a)及式(1-4b)同时求解得到的 *1x 及 *2x。也就是说，一次性求解(式(1-4a)及式(1-4b)与两步骤求解(式(1-5)所得到的答案会相同。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 图图1-7 一阶条件的几何意义一阶条件的几何意义 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题由二阶条件来判定由一阶条件得到的解到底是极大还是极小。 令 ),(21xxfy ，则2211dxfdxfdy，而一阶条件的 0)(11xff 及 0)(22xff 使得 *1122112
12、2,0 xxxxdyf dxf dx 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 若是 10dx 则 22222()d yfdx (若是 20dx 则22111()d yfdx)， 等于又回到如何判定单一变量函数有极大或极小的问题，因此引用同样的判定规则： *1111*22222()0 xxxxxxxxd dyd y 为极大存在的充分条件； *1111*22222()0 xxxxxxxxd dyd y 为极小存在的充分条件。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 )()()(221122112dxfddxfddxfdxfdyd )()(
13、)()(22221111dxdfdxfddxdfdxfd 因为 1dx 与 2dx 为常数 (它们不是函数)，因此 0)()(21dxddxd， 2222211221112)()(2)(dxfdxdxfdxfyd 212212121121dxdxffffdxdx 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 如何判定 *2x xd y 的正或负。我们先来看下面的一个二次函数： 22212121883),(zzzzzzQ 21218443zzzz 22212243 84(3) ()() ()33zzz 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题
14、221211 112 1 2222( ,)2Q z za za z za z 111211212222aazzzaaz 22112122211221112111)()()()(zaaaazaaza (1) 011a 并且 0112122211aaaa，则不论 1z 与 2z 为何值， 0),(21zzQ； (2) 011a 并且 2112212110a aaa，则不论 1z 与 2z 为何值， 0),(21zzQ。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 令 1122111112122222, , , , zdxzdxafafaf，并将 *11xx 及 *22xx
15、 代入 ijf 中，则判断极值的规则 (充分条件) 为： 令 22121211ffffH，),(*2*1*xxx ，以及 *111()x xH xf (或 *22x xf)，*1112*21222()()x xffHxH xff (1) 若 *1()0H x 并且*()0H x，则 *20 x xd y，),(*2*1xxf 为极小； (2) 若 *1()0H x 并且 *()0H x，则 *20 x xd y，),(*2*1xxf 为极大。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 二阶条件是检验极值是否存在的充分条件，但不是必要条件，并且一阶 (必要) 条件得到
16、的只是相对于 *x 附近点的极值 (是 local minimum 或 local maximum)。 我们若由一阶条件能得到 *x，并且也确定目标函数的图形是类似于图 1-6、图1-7、图 1-9，则就不需要检验二阶条件，而一阶条件就成为函数极值存在的充分且必要条件，此时函数的极值 )(*xf 也是全面性的极值 (global minimum 或 global maximum)。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 定义凹函数 (concave function)： ( ), yf xx 为一向量，令 10 及函数 f 定义域中的任意两点：v, u 若 (1
17、) )( )(1)( )fvuf vf u 其意义为： 函数上任意两点的连线 (类似弓的弓弦) 要小于函数的本身 (类似弓的弓背)。 定义凸函数 (convex function)： ( ), yf xx 为一向量，令 01 及函数 f 定义域中的任意两点：v, u 若 (1) )( )(1)( )fvuf vf u 其意义为： 函数上任意两点的联机 (类似弓的弓弦) 要大于函数的本身 (类似弓的弓背)。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 1. 线性函数同时是凸函数也是凹函数 (但不为严格凸或凹函数)； 2. 若 f 函数为凹函数，则 f 为凸函数；反之亦然
18、 (见图 1-5a 及图 1-5b)； 3. 若 f 与 g 函数为凹 (凸) 函数，则 fg 亦为凹 (凸) 函数；若 f 为严格凹 (凸) 函数，而 g 为凹 (凸) 函数，则 fg 为严格凹 (凸) 函数。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 释例 7 一厂商以两种生产投入：劳动 (L) 及资本 (K) 来生产产量 q = q(L, K)，面对的是固定的产品价格 p，雇用劳动的单位价格为 w，雇用资本每单位价格为 r，则厂商的利润最大化问题为： KrLwKLqpKLMaxKL),(),(, 一阶条件：*0 ( , ,), ( , ,)0LKp qwLLL
19、 p r wKK p r wp qrK 二阶条件：LLLKLLLKKLKKLKKKp qp qHp qp q 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题*L 与 *K 都是齐次函数 (homogenous function)，并且是对 “wrp,” 零次的齐次函数： 若 0,t 则 0*(,)( , , )( , , )L t p tw trtL p w rL p w rL 0*(,)( , , )( , , )K t p tw trtK p w rK p w rK 利润函数是对 ),(wrp 的一次齐次函数 (homogenous in , ,p r and w o
20、f degree one)： 0, (,. ),(,)()(,),(,)tL t p twtr K t p tw trt pq L t p tw tr K t p tw tr ),()(),()(trtwptKtrtrtwptLtw ),()(),()(),(),()(rwpKtrrwpLtwrwpKrwpLqpt ),(),(*rwptKLt 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 定理 1-1),(321nxxxxfy 是对 123,nx xxx 的 次的齐次函数 1 12212 (,)nnnf xf xf xf x xx 证明： 这个定理又称为 Euler
21、定理，我们在此仅证明 ()： () 设若 12120, (,)(,),nntf tx txtxtf x xx 则等式两边对 t 偏微分并在 t = 1 衡量之： 11112121(,)(,)(,)()()()()()()nnnnntf txtxf txtxf txtxtxtxtxtxttxttxt 1121(,)nttf x xx 或 111121212(,)(,)(,)(,)nnnnnnf xxf xxf xxxxxf x xxxxx 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 定理 1-2),(321nxxxxfy 是对 123,nx x xx 的 次的齐次函数
22、12 , , , nfff 是对 12,nx xx 的 1 次齐次函数。 证明： 设若 12120, (,)( ,),nntf tx txtxtf x xx 则等式两边对 ix 偏微分： 11(,)()( ,)()( )niniiif txtxtxf xxttxxx 或 111(,)( ,)()( )nniif txtxf xxttxx 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题比较静态 (comparative static)：想要知道外生参数 (, ,p r w) 其中之一变动时，对内生变量 ),(*KL 的影响。 由一阶条件分析： *()()00()()10LK
23、LLKKKLKLp qp qrrKLp qp qrr *2*2; ()()LKLLKKLLLKKKLLLKqqLKrrp qqqp qqq 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 Hotelling 引理是包络定理 (Envelope theorem) 的一个例子。将 ),(*pwrKK 及 ),(*pwrLL 代入目标函数 ),(KL 中，再对 r, w 及 p 偏微分： *( , , )( , , ),( , , )( , , )( , , )p r wp q L r w p K r w pw L r w pr K r w prrr *qLqKLKppwKrL
24、rKrrr *qLqKpwprKLrKr*K (其中 *, KL 满足一阶条件：*0, 0qqpwprLK) 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 *( , , )p r wqLqKLKqppwrLKpppppp *qLqKpwprqqLKpp 由 Young 定理：rwwr*2*2，因此 rLwK* 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 释例 81222121212,/( ,)242064x xMax Min zf x xxxxx 其中 125xx 上式可表示为： 1222121212,12/( ,)242064 5x xMax Min zf x
25、xxxxxSubject toxx 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 将 215xx 代入 ),(21xxfz 中，这就相当于找出 ),(21xxfz 与 1205xzx 的截面： 2212121224206405zxxxxxzx 所得到的 2222222()(5)24(5)2064zf xxxxx 即为图 1-11 的截面投影在 z 与 2x 的平面上，亦即式(1-8)可改写为： )(22xfMaxx222222(5)24(5)2064xxxx 一阶条件：*2122120 4, 533dfxxxdx (为图 1-11 的 B 点) 。 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最
26、优化问题图图1-11 无限制条件与等式限制条件下的极值无限制条件与等式限制条件下的极值等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题以一般式表示为： cxxgtsxxfzMinMaxxx),(. .),(/2121,21 (1-9) 其中 c 为常数。目标函数 12( ,)zf x x 与限制条件 cxxg),(21 的截面是下列联立方程式的解： cxxgxxfz),(),(2121 (1-10) 我们是要在此截面上找出最优解。 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 亦即找出 *1x 与 *2x 使得02211dxfdxfdz，但其中的 1dx 与 2dx 必须要满足：1122(
27、 )0dgg dxg dxd c (换言之，1dx 与 2dx 之中只有一个可以为自由变量 ：2121()gdxdxg 或 1212()gdxdxg)，并且 *1x 与 *2x 必须要满足0, 0dzdg 及 cxxg),(21，这就是下列联立方程式的解： 02*21*1*dxfdxfdz (1-11a) 02*21*1*dxgdxgdg (1-11b) cxxg),(*2*1 (1-11c) 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 1dx 与 2dx 同时为零可以满足式(1-11a)与式(1-11b)， 但这并没有意义 (因为代表没有改变 1x 与 2x 来寻找最适解)， 因此这两
28、式子在 *11xx 及 *22xx 时应为相依方程式： *2*2*1*1*2*1*2*10gfgfggff或 其中 * 为一常数。因此式(1-11a)至式(1-11b)可整理为： 11*22121200 , , (,)fgfgxxg x xc (1-12) 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 这就相当于将等式限制下的最优化问题式(1-9)改写为无条件限制下的最优化问题： 121212,/( ,)( ,)x xMax MinLf x xg x xc (1-13) 它的一阶条件就是式(1-12)(只是其中的 12( ,)0g x xc 成为 0),(21cxxg)，式(1-13)又称
29、为拉格朗日方法 (Lagrange-Multiplier method)， 其中的 称为拉氏乘数。 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 式(1-9)的二阶充份条件也是需要检验 *20 xd z 或 *20 xd z (前者表示)(*xf 为极小，后者表示 )(*xf 为极大)， 此时：(1) 1dx 与 2dx 只有一个可以为自由变量；(2) 1dx 与 2dx 必须满足 02211dxgdxgdg 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题若设 1dx 为自由变数而 12112)()(dxggdxhdx，则： 21122111222120d gg dxg dxdxg dx
30、g dxdxxx 1221111121212111()()()()()dxdxgdxgdxgdxdxgdxxx1221212122222222()()()()()dxdxgdxdxgdxgdxgdxxx (因为 1dx 为常数，1112()()0dxdxxx，而且2222122212()()()()()dxdxgdxdxgd xxx) 22221111212222220()2()()()()d ggdxgdxdxgdxgd x 或 22211122221122222()2()()()gggd xdxdxdxdxggg (1-14) 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 211221
31、1122212d zf dxf dxdxf dxf dxdxxx 222111121222222()2()()()()fdxfdxdxfdxfd x 将式(1-14)代入上式： 2222221111112121222222222()2() ()()fffd zfgdxfgdxdxfgdxggg 2211111212221122221212222222 fffgfgggdxdxdxdxfffgfggg (1-15) 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题检验 *2xd z 是否大于或小于零： 2*(,)(,)121222* * * *21111112121222222*01122d z
32、xxxxfgdxfgdxdxfgdxg dxg dx其中 (1-15) 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 221211 112 1 22,2Q z za za z zz, 其中 1 1220b zb z 将 1 122b zzb 代入 12 ,Q z z 中： 22211211 212 1 222 12,2 zQ z za ba bba bb 而 12111212211 212 1 222 111112122222122212020bbaaba ba bba bbaaaabAbaabb 因此 1212,0 0 or 0,0 0 0Q z zAAQ z zAAor 等式限制条件下
33、最优化问题等式限制条件下最优化问题 令 11,zdx 22 ,zdx *11,bg *22,bg *111111- ,afg *121212 - ,afg *222222- ,afg 及支配黑塞矩阵（boarded Hessian matrix） _*()H x 为： *12*22111111212*22*22212122222*220()()()()()ggffH xgfgfgggffgfgfggg *12*12*11111111212111111212*11*212122222*11212122222*1100()()()()()()()()ggggffgfgfggfgfggggfgfgf
34、fgfgfggg 因此式(1-9)(或式(1-13)的二阶充分条件的判断规则为： (I) 若*_*2()0 ( 0) ,xH xd z 则 *12(,)f x x 为极小； (II) 若*_*2()0 ( d0) ,xH xz 则 *12(,)f x x 为极大。 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 二阶条件也只是充分而非必要条件 (也就是说即使 )( , 0*2*xfzdx 也有可能是极值)，并且 )(*xf 只是相对于 *x 附近的点的极值 (relative constrained maximum or minimum)。 若能确定式(1-9)的目标函数是拟凹函数 (qua
35、siconcave function)，则式(1-13)的一阶条件就会是极值存在的充分与必要条件。 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 定义 ), . ,(1nxxfz 为拟凹函数，则： 令 10 及 v 与 u 为 f 函数定义域中任意两向量， 则 ( ) ( ) ( (1) ) ( )f vf ufuvf u (1-16) (将改为即为严格拟凹函数)。拟凹函数还有下列的性质： 令 10，则对任意常数 c ， : ( ) Sxf xc为凸集合 (convex set) (1-16) 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 (i) 线性函数是拟凹函数；(ii) 若 f
36、为凹函数，令 0 1 及 u 与 v 为 f 函数定义域中任意两向量： ( (1) ) ( )(1) ( ) fuvf uf v (若 ( )( )f vf u) ( )(1) ( )( ) f uf uf u 因此这个 f 函数亦是拟凹函数。 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 图图1-12(a) 拟凹函数；拟凹函数；(b) 凹函数；凹函数；(c) 严格凹函数严格凹函数 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题因为 *1x 与 *2x 为常数 c 的函数 (内生变量是外生参数的函数)，因此 *121212( ), ( )( ), ( )( )( ), ( )ff x c
37、x cLf x cx ccg x cx cc*1212121212(, )1xxxxfLffggg xxcccxcxccxcxc *12112212(, )xxfgfgg xxcccc 因为 *12 , , xx 是由一阶条件得到，因此： *fc 0* 则代表当限制条件 cxxg) , (21 中的常数项 c 增加时，极值会上升。若是 0* 则代表 c 若微量上升，目标函数的值会下降。 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题释例 10 1222121212,12 ( , )242064. . 5x xMaxf xxxxxxstxx (1-17) 由于 1222121212, 24
38、20645x xMaxLxxxxxx 一阶条件： , 0 38 , 313 , 32 0)5(0204042*2*1212211xxxxLxxLxxL 0 *cf 代表微量放宽限制条件：由 5 21 xx 改为 cxx5 21 (其中 c 为非常小的正值)，拉格朗日方法的解会使得 f 函数值上升，因此 如图 1-13 所示，)313 , 32(f 是式(1-17)的最优解 (极大值) 。 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 图图 1-13 由由 * 的的正正负负号号判判定定拉拉格格朗朗日日方方法法的的解解是是否否为为极极大大值值 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优
39、化问题 1222121212,12 ( , )242064. . 8x xMaxf xxxxxxstxx (1-18) 由拉格朗日方法： 1222121212, 2420648x xMaxLxxxxxx 一阶条件： 11*21221224021-44200 2 , 5 , 0 , 333(8)0LxxLxxxxLxx 0 *cf 代表此时若微量放宽 8 21 xx 限制， 会使得 f 函数值下降 (见图 1-13)。因此，此时应去掉式(1-18)的限制条件，以无限制条件下最优化方法求解。 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 在不等式限制条件下最大化的一阶条件的规则： 11,.
40、,1 z(, . , ). . g( , . , ) nnxxnMaxf xxstxxc 改写为： 1211,., ( , . , ) ( , . , )nnnx xxMaxLf xxg xxc (i) 若一阶条件的 0 *，则得到的 ) , . ,(*1*nxxx 为最优解； (ii) 若一阶条件的 0 *，则去除限制条件：1(, . , )ng xxc，再求解最大化问题。 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 不等式限制下的最小化问题的一阶条件规则为： 11,.,1 (, . , ). . (, . , ) nnxxnMinzf xxstg xxc 改写为： 1211,.,
41、 (, . , ) (, . , )nnnx xxMinLf xxg xxc (i) 若一阶条件的 0 *，则得到的 ) , . ,(*1*nxxx 为最优解； (ii) 若一阶条件的 0 *，则去除限制条件：cxxgn) , . , (1，再求解最小化问题。 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 Kuhn-Tucker conditions 的方法：设 ),(21xxf 为拟凹函数： 1212,12 z( , ). . g( , ) x xMaxf xxstxxc 令 0),(),(2121cxxgxxh，再令 s 为某一实数使得 212( ,)0h x xs： 1212,2
42、12 ( , ). . ( , )0 x xsMaxzf xxsth xxs (1-21) 因此可以以拉格朗日方法表示： 1221212, , ( , ) ( , )x xsMaxLf xxh xxs 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 1221212, , ( , ) ( , )x xsMaxLf xxh xxs 一阶条件： 0111hfxL (1-22a) 0222hfxL (1-22b) 0) , (221sxxhL (1-22c) 02ssL (1-22d) 由式(1-22c)及式(1-22d)得知：若 0*，则 0*s (亦即 0),(*2*1xxh)；若0*s (
43、亦即 *12(,)0h x x)，则 0*，因此式(1-22)极大化的充分与必要条件为： *1122*12*12* (I) 0; 0(II) (, )0(III) (, )0(IV) 0fhfhh xxh xx 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题极小化问题： 1212,12 (, ). . (, ) x xMinzf xxstg xxc (1-23) 令 0),(),(2121cxxgxxh，再令 s 为某一实数使得 212(,)0h x xs： 1212,212 (, ). . (, )0 x xsMinzf xxsth xxs 以拉格朗日方法表示： 1221212, ,
44、(, ) (, )x xsMinLf xxh xxs 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 一阶条件： 0111hfxL (1-24a) 0222hfxL (1-24b) 212 ( , )0Lh xxs (1-24c) 20Lss (1-24d) 同样地，由式(1-24c)及式(1-24d)可以得到：*12(,)0h x x，因此式(1-23)极小化的充分与必要条件为： *1122*12*12* (I) 0 ; 0(II) (, )0(III) (, )0(IV) 0fhfhh xxh xx 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 非线性规划 (Nonlinea
45、r Programming) 的极大化问题为： 1212,1212 ( , )( , ) 0. . , 0 x xMaxzf xxh xxstxx (1-25) 可以改写为： 121212, ,212211222 ( , )( , )=0 . . 00 x xss sMaxzf xxh xxsstxsxs 以拉格朗日方法表示： 1212122221212111222, , ( , ) ( , )x xs sMaxLf xxh xxsxsxs 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题一阶条件： 111111122222222121221111 11 112222220 0 ( ,)0
46、 ( ,)020()0 020()02LfhfhxLfhfhxLh x xsh x xLssLxsxLssLxsLs 222 00 xs 因为 *12, , 0，因此式(1-25)极大化的充分与必要条件为： *1122*111222*12*12*1212( ) 0 ; 0 ( ) 0 ; 0 () (,)0( V) (,)0(V) , , 0 ; , 0fhfhfhxfhxh x xh x xx x (1-26) 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 极小化问题： 1212,1212 ( , )( , ) 0. . , 0 x xMinzf xxh xxstxx (1-27)
47、上式可改写为： 121212, ,212211222 ( , )( , ) 0. . 00 x xs s sMinzf xxh xxsstxsxs 以拉格朗日方法表示： 1212122221212111222, , , ( , ) ( , )x xss sMinLf xxh xxsxsxs 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 一阶条件： 111111122222222121221111 11 1122222 220 0 ( ,)0 ( ,)020()0 020()020LfhfhxLfhfhxLh x xsh x xLssLxsxLssLxsLss 22 0 x 因为 *12
48、, , 0，因此式(1-27)极小化的充分与必要条件为： *1122*111222*12*12*1212( ) 0; 0 ( ) 0; 0 () (,)0( V) (,)0(V) , , 0; , 0fhfhfhxfhxh x xh x xx x (1-28) 第二章第二章消费者理论消费者理论 学习目标学习目标n显示性偏好、理性偏好与效用函数 n效用极大化的数学模型 n马歇尔需求函数与希克斯需求函数马歇尔需求函数与希克斯需求函数 n消费者福利消费者福利 n机会成本与沉没成本机会成本与沉没成本 显示性偏好、理性偏好与效用函数显示性偏好、理性偏好与效用函数定义 2.1设 x 与 y 两个消费组合，
49、xy 表示：x 至少像 y 一样好； yx 表示：x 比 y 好， xyxy 但并不成立 yx； yx 表示：x 与 y 同样好， xyxy 并且 yx。 显示性偏好、理性偏好与效用函数显示性偏好、理性偏好与效用函数 张三、李四与王五三位女士从 x、y、z 三位男士中挑选舞会的舞伴： 张三：,),(1zyzyxc ),(1yyxc 李四：,),(2yxzyxc ),(2xyxc 王五：,),(3yxzyxc ),(3yyxc 李四对 x 的选择没有矛盾：曾经有一次 x 与 y 可供选择时，李四有选择 x，则以后只要 x 与 y 可供选择而 y 有被选取，则 x 也要被同时选取(亦即),(yxc
50、x，则若 ),(),(22zyxcxzyxcy)。 但是李四对 y 的选择却有矛盾：曾有一次 x 与 y 可供选择时，李四有选 y，但下一次 x 与 y 可供选择时，李四选了 x 却没有同时也选取 y(亦即 ),(2zyxcy，但是 ),(2yxcx 时，),(2yxcy)。 显示性偏好、理性偏好与效用函数显示性偏好、理性偏好与效用函数 显示性偏好的弱公理 (Weak Axiom of Revealed Preference)： 定义 2.2设观察到的某人第 i 次的可选择的集合为 iB，共有 n 次选择 (i = 1, , n)。若此人的选择符合了下列条件，则我们称他的行为符合了显示性偏好弱
