1、 10.3 抛物线及其性质 高考数学 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.抛物线的定义 到一定点 F和定直线 l(F?l) 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线 .定 点叫做抛物线的焦点 ,定直线叫做抛物线的准线 . 2.抛物线的标准方程 焦点在 x轴上 ,标准方程为 y2=2px(p 0). 焦点在 y轴上 ,标准方程为 x2=2py(p 0). 要根据一次项来判断焦点的位置 ,若 x为一次项 ,则焦点在 x轴上 ,若 y为一 次项 ,则焦点在 y轴上 .一次项系数大于 0时 ,焦点在正半轴上 ,系数小于 0 时 ,焦点在负半轴上 . 知识清单 考点二 抛物线的几何性质 1.双基表 2.点 P(x
2、0,y0)和抛物线 y2=2px(p0)的关系 (1)P在抛物线内 (含焦点 )? 2px0. 3.焦点弦 :F为抛物线的焦点 ,AB为抛物线 y2=2px(p0)的焦点弦 ,A(x1,y1), B(x2,y2). (1)x1x2= ; (2)y1y2= -p2 ; (3)弦长 l=x1+x2+p,x1+x2 2 =p,即当 x1=x2时 ,弦长最短 ,为 2p; 20y20y20y24p12xx(4)弦长 l= (为 AB的倾斜角 ); (5) + = ; (6)以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切 ; (7)焦点 F对 A,B在准线上射影的张角为 90. 4.AB为抛物线 y2=2px(p
3、0)的弦 ,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点 M(x0,y0),设弦所在 直线斜率存在 ,为 k(k 0). (1)弦长 l= |x1-x2|= | y1-y2| ; (2)k= ; 22sinp1|FA1|FB2p21 k? 211k?0py(3)直线 AB的方程 :y-y0= (x-x0); (4)线段 AB的垂直平分线方程 :y-y0=- (x-x0). 0py0yp抛物线的定义和标准方程的解题策略 1.抛物线定义的应用 抛物线是到定点和定直线的距离相等的点 (点不在定直线上 )的轨迹 ,利 用该定义 ,可有效地实现抛物线上到焦点和到准线的距离的转化 ,有利 于问题的解决 .
4、2.抛物线标准方程的求法 (1)定义法 :根据条件确定动点满足的几何特征 ,从而确定 p的值 ,得到抛 物线的标准方程 . (2)待定系数法 :由焦点位置设出标准方程 ,确定 p的值 .注意抛物线标准 方程有四种形式 ,从简单化角度出发 ,焦点在 x轴上 ,设为 y2=ax(a 0),焦 点在 y轴上 ,设为 x2=ay(a 0). 方法技巧 方法 1 例 1 (2017浙江温州十校期末联考 ,14)若 OAB的垂心 H(1,0)恰好为抛 物线 y2=2px的焦点 ,O为坐标原点 ,点 A、 B在该抛物线上 ,则此抛物线的 方程是 , OAB的面积是 . 解析 由 H(1,0)为抛物线的焦点
5、,得 =1,所以 p=2,所以抛物线的方程是 y2=4x.由已知条件可知 A、 B关于 x轴对称 ,可设 A ,B ,y0 0且 y0 2.由 AH OB,得 =-1,解得 y0=2 ,故 OAB的面积 S= 4 5=10 . 2p20 0,4y y?20 0,4y y?020 14yy ?0204yy? 512 5 5答案 y2=4x;10 5评析 本题考查抛物线的定义和标准方程 ,抛物线的对称性 ,三角形垂 心的性质 ,面积的计算等基础知识 ,考查推理运算能力 . 抛物线的几何性质的解题策略 1.焦半径 :抛物线 y2=2px(p0)上一点 P(x0,y0)到焦点 F 的距离 |PF|=x0 + . 2.通径 :过焦点 F 且与 x轴垂直的弦 PQ叫通径 ,|PQ|=2p,是所有焦点 弦中最短的 . 3.焦点弦的性质 :斜率存在时 ,过点 F 的直线方程为 y=k ;斜率 不存在时为通径 ,一般焦点弦长通过焦半径公式来计算 . 例 2 (2017浙江金华十校调研 ,15)已知抛物线 y2=4x的焦点为 F,过焦点 的直线与抛物线交于 A,B两点 ,则直线的斜率为 时 ,|AF|+4|BF| 取得最小值 . ,02p?2p,02p?,02p? 2px?方法 2
