1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 9.8 曲线与方程 最新考纲 考情考向分析 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法研究曲线的简单性质 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程 . 以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在选择、填空题中出现 . 1曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x， y) 0 的实数解建立 如下的对应关系： 那么，这个方程叫做 曲线的方程 ，这条曲线叫做 方程的曲线 2求动点的轨迹方程的基本步
2、骤 =【 ;精品教育资源文库 】 = 知识拓展 1 “ 曲线 C 是方程 f(x， y) 0 的曲线 ” 是 “ 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x， y) 0 的解 ”的充分不必要条件 2曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)f(x0， y0) 0 是点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y) 0 上的充要条件 ( ) (2)方程 x2 xy x 的曲线是
3、一个点和一条直线 ( ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2 y2.( ) (4)方程 y x与 x y2表示同一曲线 ( ) (5)y kx 与 x 1ky 表示同一直线 ( ) (6)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的 ( ) 题组二 教材改编 2 P37T3已知点 F? ?14， 0 ，直线 l： x 14，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是 ( ) A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 答案 D 解析 由已知 |MF| |MB|，根据抛物线的定义知， 点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线
4、 l 为准线的抛物线 3 P35 例 1曲线 C： xy 2 上任一点到两坐标轴的距离之积为 _ 答案 2 解析 在曲线 xy 2 上任取一点 (x0， y0)，则 x0y0 2，该点到两 坐标轴的距离之积为 |x0|y0| |x0y0| 2. 题组三 易错自纠 4 (2017 广州调研 )方程 (2x 3y 1)( x 3 1) 0 表示的曲线是 ( ) A两条直线 B两条射线 C两条线段 D一条直线和一条射线 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 原方程可化为? 2x 3y 1 0，x 30 或 x 3 1 0， 即 2x 3y 1 0(x3) 或 x 4， 故原方程表示的曲线
5、是一条射线和一条直线 5已知 M( 1,0)， N(1,0)， |PM| |PN| 2，则动点 P 的轨迹是 ( ) A双曲线 B双曲线左支 C一条射线 D双曲线右支 答案 C 解析 由于 |PM| |PN| |MN|，所以 D 不正确，应为以 N 为端点，沿 x 轴正向的一条射线 6已知 M( 2,0)， N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是_ 答案 x2 y2 4(x2) 解析 连接 OP，则 |OP| 2， P 点的轨迹是去掉 M， N 两点的圆， 方程为 x2 y24(x2).题型一 定 义法求轨迹方程 典例 (2018 枣庄模拟 )已知圆 M： (
6、x 1)2 y2 1，圆 N： (x 1)2 y2 9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C，求 C 的方程 解 由已知得圆 M 的圆心为 M( 1,0)，半径 r1 1； 圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2 3.设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以 |PM| |PN| (R r1) (r2 R) r1 r2 42 |MN|.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆 (左顶点除外 )，其方程为 x24y23 1(x 2) 思维升华 应用定
7、义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且 |O1O2| 4.动圆 M 与圆 O1内切，又与圆 O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线 解 如图所示，以 O1O2的中点 O 为原点， O1O2所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 由 |O1O2| 4，得 O1( 2,0)， O2(2,0)设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1内切，有 |MO1| r 1
8、； 由动圆 M 与圆 O2外切，有 |MO2| r 2. | MO2| |MO1| 3b0)的一个焦点为 ( 5， 0)，离心率为53 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动点 P(x0， y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程 解 (1)由题意，得 c 5， e ca 53 ， 因此 a 3， b2 a2 c2 4， 故椭圆 C 的标准方程是 x29y24 1. (2)若两切线的斜率均存在，设过点 P(x0， y0)的切线方程是 y k(x x0) y0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则由? y k?x x0? y0，x29y2
9、4 1，得 x29k?x x0? y024 1， 即 (9k2 4)x2 18k(y0 kx0)x 9(y0 kx0)2 4 0， 18k(y0 kx0)2 36(9k2 4)(y0 kx0)2 4 0， 整理得 (x20 9)k2 2x0y0k y20 4 0. 又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为 k1， k2， 于是有 k1k2 1，即 y20 4x20 9 1， 即 x20 y20 13(x03) 若两切线中有一条斜率不存在， 则易得? x0 3，y0 2 或 ? x0 3，y0 2 或 ? x0 3，y0 2 或? x0 3，y0 2， 经检验知均满足 x20 y20 1
10、3. 因此，动点 P(x0， y0)的轨迹方程是 x2 y2 13. 题型三 相关点法求轨迹方程 典例 (2017 合肥质检 )如图所示，抛物线 E： y2 2px(p0)与圆 O： x2 y2 8 相交于 A， B两点，且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0， y0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C， D 两点，分别以 C， D 为切点作抛物线 E 的切线 l1， l2， l1与 l2相交于点 M. (1)求 p 的值； (2)求动点 M 的轨迹方程 解 (1)由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为 (2,2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 代入 y2 2
11、px，解得 p 1. (2)由 (1)知抛物线 E： y2 2x. 设 C? ?y212， y1 ， D?y222， y2 ， y10 ， y20 ，切线 l1的斜率为 k，则切线 l1： y y1 k?x y212 ，代入 y2 2x， 得 ky2 2y 2y1 ky21 0，由 0，解得 k 1y1， l1的方程为 y 1y1x y12， 同理 l2的方程为 y 1y2x y22. 联立? y 1y1x y12，y 1y2x y22，解得? x y1 y22 ，y y1 y22 .易知 CD 的方程为 x0x y0y 8，其中 x0， y0满足 x20 y20 8， x02,2 2， 由?
12、 y2 2x，x0x y0y 8， 得 x0y2 2y0y 16 0， 则? y1 y2 2y0x0，y1 y2 16x0，代入? x y1 y22 ，y y1 y22 ，可得 M(x， y)满足? x 8x0，y y0x0，可得? x0 8x，y0 8yx ，代入 x20 y20 8，并化简，得 x28 y2 1， 考虑到 x0 2,2 2，知 x 4， 2 2， 动点 M 的轨迹方程为 x28 y2 1， x 4， 2 2 思维升华 “ 相关点法 ” 的基本步骤 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)设点：设被动点坐标为 (x， y)，主动点坐标为 (x1， y1)； (2)求关系式：求
13、出两个动点坐标之间的关系式 ? x1 f?x， y?，y1 g?x， y?； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程 跟踪训练 (2018 安阳调研 )如图，动圆 C1： x2 y2 t2,114，即 12时，得到 x23 2 14 y23 2 1. 此轨迹表示长轴在 x 轴上的椭圆满足 x 2,2的部分 12 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 (2017 衡水模拟 )若方程 x2 y2a 1(a 是常数 )，则下列结论正确的是 ( ) A任意实数 a 方程表示椭圆 B存在实数 a 方程表示椭圆 C任意实数 a 方程表示双曲线 D存在实数 a 方程表示抛物
14、线 答案 B 解析 当 a0 且 a1 时，方程表示椭圆，故选 B. 2设点 A 为圆 (x 1)2 y2 1 上的动点， PA 是圆的切线，且 |PA| 1，则点 P 的轨迹方程 是( ) A y2 2x B (x 1)2 y2 4 C y2 2x D (x 1)2 y2 2 答案 D 解析 如图，设 P(x， y)，圆心为 M(1,0)，连接 MA， 则 MA PA，且 |MA| 1， 又 | PA| 1， | PM| |MA|2 |PA|2 2， 即 |PM|2 2， ( x 1)2 y2 2. 3 (2018 湛江模拟 )在平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)， B( 1,3)，若点 C 满足 OC 1OA 2OB (O 为原点 )，其中 1， 2 R，且 1 2 1，则点 C 的轨迹是 ( ) A直线 B椭圆 C圆 D双曲线 答案 A 解析 设 C(x， y)，则 OC (x， y)， OA (3,1)， OB ( 1,3)， OC 1OA 2OB ， ? x 3 1 2，y 1 3 2， 又 1 2 1， 化简得 x 2y 5 0，表示一条直线 4 (2017 宜春质检 )设定点 M1(0， 3)， M2(0,3)，动点 P 满足条件 |PM1| |PM2| a 9a(其中 a 是正常数 )，则点 P 的轨迹是 ( )
