1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 11.2 用样本估计总体 最新考纲 考情考向分析 1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点 2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差 3.能从样本数据中提取基本的数字特征 (如平均数，标准差 )，并做出合理的解释 4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 . 主要考查平均数，方差的计算以及茎叶图与 频率分布直方图的简单应用；题型以选择题和填空题为主，出现解答
2、题时经常与概率相结合，难度为中低档 . 1作频率分布直方图的步骤 (1)求极差 (即一组数据中 最大值 与 最小值 的差 ) (2)决定 组距 与 组数 (3)将数据 分组 (4)列 频率分布表 (5)画 频率分布直方图 2频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点 ，就得到频率分布折线图 (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的 组数 增加， 组距 减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑 曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指
3、中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数 4标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离 (2)标准差： s 1n?x1 x ?2 ?x2 x ?2 ? ?xn x ?2. (3)方差： s2 1n(x1 x )2 (x2 x )2 ? (xn x )2(xn是样本数据， n 是样本容量， x是样本平均数 ) 知识拓展 1频率分布直方图的特点 (1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示 频率组距 ，频率组距 频率组距 . (2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于 1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比 (3)频率
4、分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观 2平均数、方差的公 式推广 (1)若数据 x1， x2， ? ， xn的平均数为 x ，那么 mx1 a， mx2 a， mx3 a， ? ， mxn a 的平均数是 m x a. (2)数据 x1， x2， ? ， xn的方差为 s2. 数据 x1 a， x2 a， ? ， xn a 的方差也为 s2； 数据 ax1， ax2， ? ， axn的方差为 a2s2. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 ( ) (2)一组
5、数据的众数可以是 一个或几个，那么中位数也具有相同的结论 ( ) (3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了 ( ) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数 ( ) (6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的 ( ) 题组二 教材改编 2 P100A 组 T2(1)一个容量为 32 的样本，已知某组样本的频率 为 0.25，则该组样本的频数为 ( ) A 4
6、B 8 C 12 D 16 答案 B 解析 设频数为 n，则 n32 0.25， n 32 14 8. 3.P81A 组 T1若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 ( ) A 91.5 和 91.5 B 91.5 和 92 C 91 和 91.5 D 92 和 92 答案 A 解析 这组数据由小到大排列为 87,89,90,91,92,93,94,96， 中位数是 91 922 91.5， 平均数 x 87 89 90 91 92 93 94 968 91.5. 4 P71T1如图是 100 位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为
7、2,2.5)范围内的居民有 _人 答案 25 解析 0.50.5100 25. 题组三 易错自纠 5若数据 x1， x2， x3， ? ， xn的平均数 x 5，方差 s2 2，则数据 3x1 1,3x2 1,3x3 1， ? ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 3xn 1 的平均数和方差分别 为 ( ) A 5,2 B 16,2 C 16,18 D 16,9 答案 C 解析 x1， x2， x3， ? ， xn的平均数为 5， x1 x2 x3 ? xnn 5， 3x1 3x2 3x3 ? 3xnn 1 35 1 16， x1， x2， x3， ? ， xn的方差为 2， 3 x1 1,3x
8、2 1,3x3 1， ? ， 3xn 1 的方差是 322 18. 6为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分 (十分制 )如图所示，假设得分的中 位数为 m，众数为 n，平均数为 x ，则 m， n， x 的大小关系为 _ (用 “0.5. 而前 4 组的频率之和为 0 04 0.08 0.15 0.21 0.48s2乙 ，可知乙的成绩较稳定 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不 断提高，而乙的成绩则无明显提高 思维升华 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，
9、平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小 跟踪训练 (2018 福建漳平模拟 )某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： (a， b)， (a， b )， (a， b)， ( a ， b)，=【 ;精品教育资源文库 】 = ( a ， b )， (a， b)， (a， b)， (a， b )， ( a ， b)， (a， b )， ( a ， b )， (a， b)， (a， b )，( a ， b)， (a， b)，其中 a， a 分别表示甲组研发成功和失败； b， b 分别表示乙组研发成功和失败 (1)若某组成
10、功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙 两组的研发水平； (2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率 解 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数 x 甲 1015 23； 方差为 s2甲 115? ? ?1 23 210 ? ?0 23 25 29. 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数 x 乙 915 35； 方差为 s2乙 115? ? ?1 35 29 ? ?0 35
11、 26 625. 因为 x 甲 x 乙 ， s2甲 s2乙 ，所以甲组的研发水平优于乙组 (2)记恰有一组研发成功为事件 E，在所抽得的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是 (a，b )， ( a ， b)， (a， b )， ( a ， b)， (a， b )， (a， b )， ( a ， b)，共 7 个因此事件 E发生的频率为 715.用频率估计概率，即得所求概率为 P(E) 715. 高考中频率分布直方图的应用 考点分析 频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题，填空题，也有解答题，难度为中低档用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用在计数和计算时一定 要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计频率分布直方图的纵坐标为频率 /组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误 典例 (12 分 )某城市 100 户居民的月平均用电量 (单位：度 )，以 160,180)， 180,200)，200,220)， 220,240)， 240,260)， 260,280)， 280,300分组的频率分布直方图如图
