全国通用2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理和余弦定理学案.doc

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1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4.6 正弦定理和余弦定理 最新考纲 考情考向分析 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 . 以利用正弦、余弦定理解三角形为主,常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查,加强数形结合思想的应用意识题型多样,中档难度 . 1正弦定理、余弦定理 在 ABC 中,若角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, R 为 ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1) asin A bsin B csin C 2R (2)a2 b2 c2 2bccos_A; b2 c2 a2 2cacos_B; c2

2、 a2 b2 2abcos_C 变形 (3)a 2Rsin A, b 2Rsin_B, c 2Rsin_C; (4)sin A a2R, sin B b2R, sin C c2R; (5)a b c sin_Asin _Bsin _C; (6)asin B bsin A, bsin C csin B, asin C csin A (7)cos A b2 c2 a22bc ; cos B c2 a2 b22ac ; cos C a2 b2 c22ab 2.在 ABC 中,已知 a, b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 =【 ;精品教育资源文库 】 = 关系式 a bsi

3、n A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用面积公式 (1)S 12a ha(ha表示边 a 上的高 ); (2)S 12absin C 12acsin B 12bcsin A; (3)S 12r(a b c)(r 为三角形内切圆半径 ) 知识拓展 1三角形内角和定理 在 ABC 中, A B C ; 变形: A B2 2 C2. 2三角形中的三角函数关系 (1)sin(A B) sin C; (2)cos(A B) cos C; (3)sin A B2 cos C2; (4)cos A B2 sin C2. 3三角形中的射影定理 在 ABC 中, a bcos C

4、 ccos B; b acos C ccos A; c bcos A acos B. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 ( ) (2)在 ABC 中,若 sin A sin B,则 A B.( ) (3)当 b2 c2 a20 时,三角形 ABC 为锐角三角形 ( ) (4)在 ABC 中, asin A a b csin A sin B sin C.( ) (5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积 ( ) 题组二 教材改编 2 P10B 组 T2在 ABC 中, acos A bcos B,则这

5、个三角形的形状为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 由正弦定理,得 sin Acos A sin Bcos B, 即 sin 2A sin 2B,所以 2A 2B 或 2A 2B, 即 A B 或 A B 2 , 所以这个三 角形为等腰三角形或直角三角形 3 P18T1在 ABC 中, A 60 , AC 4, BC 2 3,则 ABC 的面积等于 _ 答案 2 3 解析 2 3sin 60 4sin B, sin B 1, B 90 , AB 2, S ABC 1222 3 2 3. 题组三 易错自纠 4在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别

6、为 a, b, c,若 c0, cos B1. 角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在 6 (2018 包头模拟 )设 ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c.若 b c 2a,3sin =【 ;精品教育资源文库 】 = A 5sin B,则角 C _. 答案 23 解析 由 3sin A 5sin B,得 3a 5b.又因为 b c 2a, 所以 a 53b, c 73b, 所以 cos C a2 b2 c22ab ?53b2 b2?73b22 53b b 12. 因为 C(0 , ) ,所以 C 23 . 题型一 利用正、余弦定理解三角形 1 (2016 山东

7、) ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c,已知 b c, a2 2b2(1 sin A),则 A 等于 ( ) A.34 B. 3 C. 4 D. 6 答案 C 解析 在 ABC 中,由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A, b c, a2 2b2(1 cos A),又 a2 2b2(1 sin A), cos A sin A, tan A 1, A(0 , ) , A 4 ,故选 C. 2在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c.已知 8b 5c, C 2B,则 cos C 等于 ( ) A.725 B 725 C 725 D.24

8、25 答案 A 解析 8 b 5c, 由正弦定理,得 8sin B 5sin C. 又 C 2B, 8sin B 5sin 2B, 8sin B 10sin Bcos B. sin B0 , cos B 45, =【 ;精品教育资源文库 】 = cos C cos 2B 2cos2B 1 725. 3设 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.若 a 3, sin B 12, C 6 ,则 b _. 答案 1 解析 因为 sin B 12且 B(0 , ) , 所以 B 6 或 B 56 . 又 C 6 , B C2,x 2 2x,解得 2 2 20, sin A 1,

9、即 A 2 , ABC 为直角三角形 引申探究 1本例 (2)中,若将条件变为 2sin Acos B sin C,判断 ABC 的形状 解 2sin Acos B sin C sin(A B), 2sin Acos B sin Acos B cos Asin B, sin( A B) 0. 又 A, B 为 ABC 的内角 A B, ABC 为等腰三角形 2本例 (2)中,若将条件变为 a2 b2 c2 ab,且 2cos Asin B sin C,判断 ABC 的形状 解 a2 b2 c2 ab, cos C a2 b2 c22ab 12, =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 0C ,

10、C 3 , 又由 2cos Asin B sin C 得 sin(B A) 0, A B, 故 ABC 为等边三角形 命题点 2 求解几何计算问题 典例 (1)如图,在 ABC中, B 45 , D是 BC边上一点, AD 5, AC 7, DC 3,则 AB _. 答案 5 62 解析 在 ACD 中,由余弦定理可得 cos C 49 9 25273 1114, 则 sin C 5 314 . 在 ABC 中,由正弦定理可得 ABsin C ACsin B, 则 AB ACsin Csin B 7 5 31422 5 62 . (2)(2018 吉林三校联考 )在平面四边形 ABCD 中,

11、A B C 75 , BC 2,则 AB 的取值范围是 _ 答案 ( 6 2, 6 2) 解析 如图所示,延长 BA 与 CD 相交于点 E,过点 C 作 CF AD 交 AB 于点 F,则 BFABBE. 在等腰三角形 CBF 中, FCB 30 , CF BC 2, BF 22 22 222cos 30 6 2. 在等腰三角形 ECB 中, CEB 30 , ECB 75 , BE CE, BC 2, BEsin 75 2sin 30 , BE 212 6 24 6 2. 6 2AB 6 2. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 化边:通过因式分解、配方

12、等得出边的相应关系 化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,此时要注意应用 A B C 这个结论 (2)求解几何计算问题要注意: 根据已知的边角画出图形并在图中标示; 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 跟踪训练 (1)(2018 安徽六校联考 )在 ABC 中, cos2B2 a c2c (a, b, c 分别为角 A, B, C的对边 ),则 ABC 的形状为 ( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 答案 B 解析 cos 2B2 1 cos B2 , cos2B2 a c2c , (1 cos B) c a c, a cos B c a2 c2 b22a , 2 a2 a2 c2 b2, a2 b2 c2, ABC 为直角三角形 (2)如图,在 ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, AD AC, sin BAC 2 23 , AB 3 2, AD 3,则 BD 的长为 _ 答案 3 解析 因为 sin BAC 2 23 ,且 AD AC, 所以 sin? ? 2 BAD 2 23 , 所以 cos BAD 2 23 ,在 BAD 中,由余弦定理, 得 BD AB2 AD2 2AB ADcos BAD

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