1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.3 二项式定理 最新考纲 考情考向分析 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 . 以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档 . 1二项式定理 二项式定理 (a b)n C0nan C1nan 1b1 ? Cknan kbk ? Cnnbn(n N*) 二项展开式 的通项公式 Tk 1 Cknan kbk，它表示第 k 1 项 二项式系数 二项展开式中各项的系数 Ckn(k0,1,2 ， ? ， n) 2.二项式系数的性质 (
2、1)C0n 1， Cnn 1. Cmn 1 Cm 1n Cmn. (2)Cmn Cn mn . (3)当 n 是 偶数时，12nT?项的二项式系数最大；当 n 是奇数时，12nT?与112nT? 1 项的二项式系数相等且最大 (4)(a b)n展开式的二项式系数和： C0n C1n C2n ? Cnn 2n. 知识拓展 二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n 1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按 降幂 排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按 升幂 排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. =【
3、 ;精品教育资源文库 】 = (4)二项式的系数从 C0n， C1n，一直到 Cn 1n ， Cnn. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)Cknan kbk是二项展开式的第 k 项 ( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 ( ) (3)(a b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a， b 无关 ( ) (4)(a b)n的展开式第 k 1 项的系数 为 Cknan kbk.( ) (5)(x 1)n的展开式二项式系数和为 2n.( ) 题组二 教材改编 2 P31 例 2(1)(1 2x)5的展开式中， x2的系数等于 (
4、) A 80 B 40 C 20 D 10 答案 B 解析 Tk 1 Ck5(2x)k Ck52kxk，当 k 2 时， x2的系数为 C252 2 40. 3 P31 例 2(2)若 ? ?x 1x n展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为 ( ) A 10 B 20 C 30 D 120 答案 B 解析 二项式系数之和 2n 64，所以 n 6， Tk 1 Ck6 x6 k ? ?1x k Ck6x6 2k，当 6 2k 0，即当 k 3 时为常数项， T4 C36 20. 4 P41B 组 T5若 (x 1)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，则 a0 a2 a4
5、的值为 ( ) A 9 B 8 C 7 D 6 答案 B 解析 令 x 1，则 a0 a1 a2 a3 a4 0，令 x 1，则 a0 a1 a2 a3 a4 16，两式相加得 a0 a2 a4 8. 题组三 易错自纠 5 (x y)n的二项展开式中，第 m 项的系数是 ( ) A Cmn B Cm 1n C Cm 1n D ( 1)m 1Cm 1n =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 (x y)n二项展开式第 m 项的通项公式为 Tm Cm 1n ( y)m 1xn m 1， 所以系数为 Cm 1n ( 1)m 1. 6已知 (x 1)10 a1 a2x a3x2 ? a11x
6、10.若数列 a1， a2， a3， ? ， ak(1 k11 ， k N*)是一个单调递增数列，则 k 的最大值是 ( ) A 5 B 6 C 7 D 8 答案 B 解析 由二项式定理知， an Cn 110 (n 1,2,3， ? ， 11) 又 (x 1)10展开式中二项式系数最大项是第 6 项， 所以 a6 C510，则 k 的最大值为 6. 7 (x y y x)4的展开式中， x3y3项的系数为 _ 答案 6 解析 二项展开式的通项是 Tk 1 Ck4(x y)4 k( y x)k ( 1)kCk4 4222kkxy?，令 4 k2 2 k2 3，解得 k 2，故展开式 中 x3y
7、3的系数为 ( 1)2C24 6. 题型一 二项展开式 命题点 1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数 典例 (1)(2017 全国 ) ? ?1 1x2 (1 x)6的展开式中 x2项的系数为 ( ) A 15 B 20 C 30 D 35 答案 C 解析 因为 (1 x)6的通项为 Ck6xk，所以 ? ?1 1x2 (1 x)6的展开式中含 x2的项为 1C 26x2和 1x2C 46x4. 因为 C26 C46 2C26 2 6521 30， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 ? ?1 1x2 (1 x)6的展开式中 x2项的系数为 30. 故选 C. (2)(x2 x y)5
8、的展开式中， x5y2项的系 数为 ( ) A 10 B 20 C 30 D 60 答案 C 解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解 (x2 x y)5 (x2 x) y5， 含 y2的项为 T3 C25(x2 x)3 y2. 其中 (x2 x)3中含 x5的项为 C13x4 x C13x5. 所以 x5y2项的系数为 C25C13 30.故选 C. 方法二 利用组合知识求解 (x2 x y)5为 5 个 x2 x y 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2的系数为 C25C23C11 30.故选 C. 命题点 2 已知二项展开式某项的系数求参数 典例 (1
9、)(2018 届海口调研 )若 (x2 a)? ?x 1x 10的展开式中 x6的系数为 30，则 a 等于 ( ) A.13 B.12 C 1 D 2 答案 D 解析 由题意得 ? ?x 1x 10的展开式的通项公式是 Tk 1 Ck10 x10 k ? ?1x k Ck10x10 2k， ? ?x 1x 10的展开式中含 x4(当 k 3 时 )， x6(当 k 2 时 )项的系数分别为 C310， C210，因此由题意得 C310 aC210120 45a 30，由此解得 a 2，故选 D. (2)(2016 山东 )若 ? ?ax2 1x 5项的展开式中 x5项的系数为 80，则实数
10、a _. 答案 2 解析 Tk 1 Ck5(ax2)5 k? ?1x k a5 kCk5 5102kx? ， 10 52k 5，解得 k 2， a3C25 80，解得 a 2. 思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求 (求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等 )，解出项数 k 1，代回通项公式即可 跟踪训练 (1)(2017 全国 )( x y)(2x y)5的展开式中 x3y3的系数为 ( ) A 80 B 40 C 40 D 80 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 因为 x3y3 x( x2y3)，其系数为 C352 2 40，
11、 x3y3 y( x3y2)，其系数为 C252 3 80. 所以 x3y3的系数为 80 40 40. 故选 C. (2)(x a)10的展开式中， x7项的系数为 15，则 a _.(用数字填写答案 ) 答案 12 解析 设通项为 Tk 1 Ck10x10 kak，令 10 k 7， k 3， x7项的系数为 C310a3 15， a3 18， a 12. 题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题 典例 (1)(a x)(1 x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a _. 答案 3 解析 设 (a x)(1 x)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，
12、 令 x 1，得 16(a 1) a0 a1 a2 a3 a4 a5， 令 x 1，得 0 a0 a1 a2 a3 a4 a5. ，得 16(a 1) 2(a1 a3 a5)， 即展开式中 x 的奇数次 幂的系数之和为 a1 a3 a5 8(a 1)，所以 8(a 1) 32，解得 a3. (2)(2018 汕头质检 )若 (x 2 m)9 a0 a1(x 1) a2(x 1)2 ? a9(x 1)9，且 (a0 a2 ? a8)2 (a1 a3 ? a9)2 39，则实数 m 的值为 _ 答案 1 或 3 解析 令 x 0，则 (2 m)9 a0 a1 a2 ? a9， 令 x 2，则 m9
13、 a0 a1 a2 a3 ? a9， 又 (a0 a2 ? a8)2 (a1 a3 ? a9)2 (a0 a1 a2 ? a9)(a0 a1 a2 a3 ? a8 a9) 39， (2 m)9 m9 39， m(2 m) 3， m 3 或 m 1. (3)若 ? ?x2 1x n的展开式中含 x 的项为第 6 项，设 (1 3x)n a0 a1x a2x2 ? anxn，则 a1a2 ? an的值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 255 解析 ? ?x2 1x n展开式的第 k 1 项为 Tk 1 Ckn(x2)n k ? ? 1x k Ckn( 1)kx2n 3k， 当 k 5
14、 时， 2n 3k 1， n 8. 对 (1 3x)8 a0 a1x a2x2 ? a8x8， 令 x 1，得 a0 a1 ? a8 28 256. 又当 x 0 时， a0 1， a1 a2 ? a8 255. 思维升华 (1)“ 赋值法 ” 普遍适用于恒等式，对形如 (ax b)n， (ax2 bx c)m (a， b， c R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法 (2)若 f(x) a0 a1x a2x2 ? anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0 a2 a4 ? f?1? f? 1?2 ，偶数项系数之和为 a1 a3 a5 ? f?1?
15、 f? 1?2 . 跟踪训练 (1)(2017 岳阳模拟 )若二项式 ? ?3x2 1x n 的展开式中各项系数的和是 512，则展开式中的常数项为 ( ) A 27C39 B 27C39 C 9C49 D 9C49 答案 B 解析 令 x 1，得 2n 512，所以 n 9，故 ? ?3x2 1x 9的展开式的通项为 Tk 1 Ck9(3x2)9 k? ? 1xk ( 1)kCk939 kx18 3k，令 18 3k 0，得 k 6. 所以常数项为 T7 ( 1)6C693 3 27C39. (2)(2017 绵阳模拟 )(1 3x)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，则 |a0| |a1| |a2| |a3| |a4| |a5|等于 ( ) A 1 024 B 243 C 32 D 24 答案 A 解析 令 x 1，得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 |a0| |a1| |a2| |a3| |a4| |a5| 1 (3)5 45 1 024. 题型三 二项式定理的应用 典例 (1)设 a Z 且 0 a 13，若 512 012 a 能被 13 整除，则 a 等于 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 0 B 1 C 11 D 12 答案 D 解析 512 012
