1、专题03一元二次方程专题综述课程要求1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分.4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.
2、而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.课程要求初中课程要求能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数，简单地介绍了韦达定理高中课程要求熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的处理能力，会灵活使用韦达定理解决各种问题知识精讲高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为因为a0，所以，4a20于是（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2；（2）当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1x2；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左
3、边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有(1)当0时，方程有两个不相等的实数根x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根x1x2；（3）当0时，方程没有实数根高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根，则有；所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2
4、这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2p，x1x2q，即p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20典例剖析高中必备知识点1：根的判别式【典型例题】关于x的一元二次方程x2(m1)x+2m1=0，其根的判别式为16，求m的值【答案】m1=11，m2=1【解析】由题意得，=(m1)24(2m1)=16，整理得，m210m11=0，解得：m1=11，m2=1【变式训练
5、】已知关于x的一元二次方程mx2(m+2)x+2=0(1)若方程的一个根为3，求m的值及另一个根；(2)若该方程根的判别式的值等于1，求m的值【答案】(1)m=23；即原方程的另一根是1；(2) m=1，m=3【解析】（1）设方程的另一根是x2一元二次方程mx2（m+2）x+2=0的一个根为3，x=3是原方程的解，9m（m+2）3+2=0，解得m=；又由韦达定理，得3x2=，x2=1，即原方程的另一根是1；（2）=（m+2）24m2=1m=1，m=3【能力提升】方程（x5）（2x1）=3的根的判别式b24ac= 【答案】105【解析】先把方程（x5）（2x1）=3化为一元二次方程的一般形式，再
6、求出根的判别式即可方程（x5）（2x1）=3化为一元二次方程的一般形式为：2x211x+2=0，故=b24ac=（11）2422=105高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）【典型例题】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”（1）请问一元二次方程x26x+80是倍根方程吗？如果是，请说明理由（2）若一元二次方程x2+bx+c0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时， b3，c2；当方程根为2，4时b6，c8【解析】（1）该方程是倍根
7、方程，理由如下：x26x+80，解得x12，x24，x22x1，一元二次方程x26x+80是倍根方程；（2）方程x2+bx+c0是倍根方程，且方程有一个根为2，方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，b1+2，解得b3，c122；当方程根为2，4时b2+4，解得b6，c248【变式训练】求方程x22x20的根x1，x2（x1x2），并求x12+2x2的值【答案】6【解析】方程x22x20的根x1，x2， 【能力提升】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m20有两根，(1)求m的取值范围；(2)若+0求m的值【答案】(1)m34；(2)m的值为3【解析】(1)由题意知，(2m+3)
8、241m20，解得：m34；(2)由根与系数的关系得：+(2m+3)，m2，+0，(2m+3)+m20，解得：m11，m13，由(1)知m34，所以m11应舍去，m的值为3对点精练1若直线yn截抛物线yx2+bx+c所得线段AB4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A1B2C25D4【答案】D解：抛物线与x轴只有一个交点，b24c0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2，x1、x2是方程x2+bx+cn的两个根，x1+x2b，x1x2cn，AB4，|x1x2|4，（x1x2）2（x1+x2）24x1x216，（b）24（cn）16，即b24c+4n16，4n16，n4，故选：D2若实数
9、a（a0）满足ab3，a+b+10，则方程ax2+bx+10根的情况是（ ）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C无实数根D有两个实数根【答案】B解：在方程ax2+bx+10中，=b24a，ab3，a3+b，代入a+b+10和b24a得，b2，b24（3+b）= b24b12= (b+2)(b6)b+20， b-60，(b+2)(b-6) 0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B3已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0x11，1x22，与y轴交于点（0，2）下列结论：2a+b1；3a+b0；ab2；a1其中正确结论的个数为（）A4B3C
10、2D1【答案】C解：如图：0x11，1x22，并且图象与y轴相交于点（0，2），可知该抛物线开口向下即a0，c2，当x2时，y4a+2b+c0，即4a+2bc；c2，4a+2b2，2a+b1，故结论错误；0x11，1x22，1x1+x23，又x1+x2，13，3a+b0，故结论错误；当x1时，yab+c0，c2，abc，即ab2，故结论正确；0x1x22，x1x22，又c2，a1故结论正确故选：C4如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第行有个点，前行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）A741B600C465D300【答案】B解：通过观察图形可知：第
11、一行有1个点，第二行有2个点第n行有n个点，则前5行共有（12345）个点，前10行共有（12345678910）个点，前n行共有12345nn（n1）个点，其中n为正整数，当n（n1）=741时，解得：（舍），当n（n1）=600时，解得： （舍），当n（n1）=465时，解得：（舍），当n（n1）=300时，解得：（舍），故选：B5如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC2OB则下列结论： ； ，其中正确的结论有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C解：观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴负半轴a0，b0，c0，abc0，所以正
12、确；当x1时，ya+b+c，不能说明y的值是否大于还是小于0，所以错误；设A（x1，0）（x10），B（x2，0）（x20），OC2OB，2x2c，B（，0）将点B坐标代入yax2+bx+c中，所以正确；当y0时，ax2+bx+c0，方程的两个根为x1，x2，根据根与系数的关系，得，即所以正确故选：C6对于函数，我们定义（，为常数）例如：，则已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）A0BCD1【答案】D解：由题意得：，即，方程有两个相等的实数根，此方程根的判别式，解得，故选：D7若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABC且D且【答案】D解：根据题意得k0且
13、=（-2）2-4k（-1）0，解得k-1且k0故选：D8已知、是关于的一元二次方程的两个根，且满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D一元二次方程的两个根，所以=，或，令y=，抛物线开口向上，且满足，解得，解得，的取值范围是故选择D9若关于x的一元二次方程x2+5x+m0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则符合条件的m有（）A5个B6个C7个D8个【答案】B解：关于x的一元二次方程x2+5x+m0有两个不相等实数根，5241m0，解得：m，m为正整数，m1，2，3，4，5，6，符合条件的m有6个，故选：B.10已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（ ）A或BCD【答案】C
14、解：根据题意得0，解得m，根据根与系数的关系的，整理得，解得，m，m的值为故选：C11如图，在矩形中，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿运动设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图所示，则边的长为_【答案】6如图，过点O作OMAB，垂足为M，四边形ABCD是矩形，OD=OB，DAAB，AD=BC，OMAB，OMAB，AM=BM，OM=，结合图像知，当运动到点B是三角形的面积最大，即ADAB=24，当点P运动到点C时，面积为0即AB+BC=10，AD+AB=10，AB，AD是方程的两个根，解得x=4或x=6，AB=6，故答案为：612在边长为4的正方形ABCD中，点E在A
15、B边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、BN，若DEMN，cosAED，则BN的长为_【答案】5或解：根据题意可分两种情况画图：如图1，取AD的中点G，连接MG， AGDGAD2，点M为正方形ABCD的边BC中点，MGAD，MGABAD，MGNA90，在RtADE和RtGMN中，RtADERtGMN（HL），GNMAED，cosGMNcosAED，设GNx，MN17x，x，x（舍去），GN1，AN1，BN；如图2，取AD的中点G， 同理可得RtADERtGMN（HL），GNMAED，cosGMNcosAED，设GNx，MN17x，x，x（舍去），GN1，AN3，BN5，故答案为
16、：5或13如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：BE+DFEF；CECF；AEB75；四边形面积2+，其中正确的序号是_【答案】四边形ABCD为正方形，ABAD，BD90，AEF为等边三角形，AEAFEF2，EAF60， ABEADF，BEDF，BAEDAF，EAF60，BAEDAF15，AEB90-BAE75，即正确CBCD，CBBECD-DF，CECF，即正确；CEF为等腰直角三角形，CECFEF 设正方形的边长为：x，则BEx-，RtABE中，AB2+BE2AE2， 解得：x1，x2（舍去），BE+DF2（x-）2（-）-2，即错误
17、；四边形面积x2，即正确故答案为：14已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则下列说法在确的有：_（填序号）该二次函数的图象一定过定点；若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：；当且时，y的最小值为；当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为：【答案】解：y=（m-2）x2+2mx+m-3=m（x+1）2-2x2-3，当x=-1时，y=-5，故该函数图象一定过定点（-1，-5），故错误；若该函数图象开口向下，则m-20，且0，=b2-4ac=20m-240，解得：m，且m2，故m的取值范围为：m2，故正确；当m2，函数的对称轴在y轴左侧，当0x2时，y的最小值在x=0处取得，故y
18、的最小值为：（m-2）0+2m0+m-3=m-3，故正确；当m2，x=-4时，y=9m-35，x=-3时，y=4m-21，x=0时，y=m-3，当x=-1时，y=-5，当-4x1-3时，则（9m-35）（4m-21）0，解得：；同理-1x20时，m3，故m的取值范围为：，故正确；故答案为：15已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则_，_【答案】； ； 解：，为有理数，也为有理数，故当时候，只有，故答案是：，；16关于的方程有两个相等的实数根，其中是锐角的一个内角；关于的方程的两个根恰好是的两边长，则的周长是_【答案】16或方程有两个相等的实数根，sinA=，sinA=-（舍去），方程有两
19、个根，m-2=0，方程有两个相等的实数根，当A为等腰三角形的顶角时，过点B作BDAC，垂足为D，如图1:AB=AC=5，sinA=，BD=ABsinA=4，AD=3，DC=2，BC=，的周长是10+；当A为等腰三角形的底角时，过点B作BEAC，垂足为E，如图2:AB=BC=5，sinA=，BE=ABsinA=4，AE=3，AE=CE=3，AC=6，的周长是10+6=16；故答案为：16或10+17若实数a、b满足a28a+50，b28b+50，则a+b的值_【答案】8或解：当ab时，由a28a+50解得a4，a+b82；当ab时，a、b可看作方程x28x+50的两根，a+b8故答案为8或821
20、8已知、是方程x22x10的两个根，则22_【答案】5解：由题意可得： 、是方程x22x10的两个根 22=5故答案是：519若，且，则（1）的值为_；（2）的值为_【答案】4 1 （1），且，a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，a+b=4,故答案为：4；利用根与系数关系定理求解即可；（2），=，且，a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，a+b=4,ab=1，=1，故答案为：120关于x的一元二次方程x2+（k3）x+1k0的根的情况是_【答案】有两个不相等的实数根解：（k3）24（1k）k26k+94+4kk22k+5（k1）2+4，（k1）2+40，即0，方程总有两个不相等的实数
21、根故答案为：有两个不相等的实数根21已知抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）过点作y轴的垂线，与抛物线交于不同的两点M，N（不妨设点M在点N的左侧）当时，求线段的长；当时，若，求a的值；当时，若，直接写出a的取值范围【答案】（1）；（2）2；或解：（1）抛物线的对称轴为；（2）过点作y轴的垂线，与抛物线交于不同的两点M，N，设，当时，则、是的两个根，a0，；=2；当时，、是的两个根，a0，即，解得，经检验是原方程的根，当时，方程的判别式，符合题意，；当时，、是的两个根，a0，即，解得或，若（M、N都不在y轴左侧），则总成立，或，或，或，或；若（M在y轴左侧，N不在y轴左侧），解得，变形为，在y
22、轴上，故舍去；若（M、N都在y轴左侧），这与、是的两个根，矛盾，这种情况不存在；综上所述，则或22在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在yx的图象上运动（不与O重合），连接AP过点P作PQAP，交x轴于点Q，连接AQ（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由（3）当OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标【答案】（1）；（2）是，30；（3）点Q的坐标为（2+4，0）或（24，0）或（2，0）或（，0）解：（1）如图1，作AHOP，则APAH，点P在yx的图象上，HOQ30，HOA60A（0，2）AHAOsin
23、60AP（2）当点P在第三象限时，如图2，由QPAQOA90，可得Q、P、O、A四点共圆，PAQPOQ30当点P在第一象限的线段OH上时，如图3由QPAQOA90可得Q、P、O、A四点共圆PAQ+POQ180，又此时POQ150PAQ180POQ30当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由QPAQOA90可得APQ+AOQ180Q、P、O、A四点共圆PAQPOQ30（3）当OPQ为等腰三角形时，若点Q在x轴的正半轴上，设OQm（m0），则AQ2m2+22（2PQ）2，PQ2，过点Q作QNOP于点N，如图：POQ30， NQOQm，在RtPQN中，OPOQ时，则m2解得m24（负值不符合题意，
24、舍去）m2+4当POPQ时，则解得：m0或m2，都不符合题意；当QOQP时，则解得：m（负值不符合题意，舍去）m若点Q在x轴的负半轴上，则OQm，同理可得：m24或m综上所述：点Q的坐标为（2+4，0）或（24，0）或（2，0）或（，0）23在二次函数的复习课中，关于x的二次函数（），师生共同探讨得到以下4条结论：（1）这个二次函数与x轴必有2个交点；（2）二次函数的图象向左平移2个单位后经过点，则；（3）当时，y随x的增大而减小；（4）当时，则，；请判断上述结论是否正确，并说明理由【答案】（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误解：（1）=故时，=0，方程只有一个根即此时抛物线与x轴只
25、有一个交点，故（1）说法错误；（2）抛物线的解析式为：向左平移2个单位后的解析式为，即把（-1，0）代入上式中得即，解得，由于，故此说法正确；（3），二次函数的对称轴：又二次函数的对称轴且二次函数开口向上二次函数在对称轴左边递减，当，y随x的增大而减小，此说法正确；（4）即当， 时，若，即时函数有最小值即又故当时，则，这种说法不正确；综上所述：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误24已知关于x的一元二次方程（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，和和，试求的值【答案】（1）见解析；（2）解：（1）证明：设方程的两根是，则
26、，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2），对于，2，3，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，和，和，25阅读如下材料，完成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2材料二：对于实数a，b，若，则完成问题：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若实数m，n满足求的最大值【答案】（1）-5；（2）（3）解：（1），因为，所以，所以，当时，原式的最小值为-5（2），当取最小值时，原式最大，由（1）可知，最小值为2，此时的最大值为；（3），或，或，=，最大值是，的最大值为；或=，最大值是，的最大值为；综上，的
27、最大值为26已知关于的方程有两个实数根、（1）求的取值范围（2）若、满足等式，求的值【答案】（1）且；（2）-1解：（1）关于的方程有两个实数根、，解得：且（2）由题意可得：，由（1）可得，解得：（不合题意舍去），k的值为-127已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求a的取值范围；（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解【答案】（1）；（2）此题答案不唯一，解：（1）关于x的一元二次方程一般式为，方程有两个不相等的实数根，；（2）此题答案不唯一如，一元二次方程为，因式分解得，当时，方程的根为，28已知关于x的方程有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数
28、时，求此时方程的根【答案】（1）且；（2）解：（1）关于x的方程有两个实数根，且且且 （2）当k取最大整数时，此时，方程为，解得当时，方程的根为29解方程（1）（2）（3）解方程：【答案】（1）；（2），；（3）无解解（1）移项，合并同类项得：因式分解得：所以（2），所以此方程有两个不相等的实数根，（3）方程两边乘得：去括号得：解一元一次方程得：检验：当时，所以，是增根，原方程无解30已知x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a0的两个实数根（1）求a的取值范围；（2）求使代数式（x1+1）（x2+1）值为负整数的实数a的整数值；（3）如果实数a，b满足b+50，试求代数式x13+10
29、x22+5x2b的值【答案】（1）a0且a6；（2）a7，8，9，12；（3）1100解：（1）关于x的一元二次方程（a6）x2+2ax+a0有两个实数根，解得：a0且a6.（2）x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a0的两个实数根，x1+x2，x1x2，（x1+1）（x2+1）x1+x2+x1x2+1+1为负整数，6a1，2，3，6，a7，8，9，12.（3）b，a5，b50，方程x2+10x+50，x1+x210，x1x25，x1210x1+5，原式x12x1+10x22+5x2b，（10x1+5）x1+10x22+5x250，10（x12+x22）+5（ x1+x2）50，10（x1+x2）220x1x2+5（ x1+x2）50，1010220（5）+51050，1100
