1、2021-2022 学年度第二学期期末检测试题学年度第二学期期末检测试题 高二数学高二数学 2022.6 （全卷满分（全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）分钟） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 若全集1,2,3,4,5U =，集合1,3A=，2,3,4B =，则()UAC B =（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 1,3 2. 已知aR，则“0a ”是“21a ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 甲、乙分别从扬
2、州民间艺术 、 扬州盐商文化 、 扬州评话和大运河的前世今生4 门课程中选修 1 门，且 2 人选修的课程不同，则不同的选法有（ ）种. A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 4. 如图，平行六面体1111ABCDABC D的底面ABCD是边长为 1 的正方形，且1160A ADA AB= =，12AA =，则线段1AC的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 11 D. 2 3 5. 某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 m 50 70 已知y关于x的线性回归方程6.5yxa=+，现有四个命题： 甲：根
3、据模型预测当3x =时，y的估计值为 35；乙：60m =； 丙：这组数据的样本中心为()5,50；丁：17.5a =. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 已知函数( )( )32 1f xfxx=+，则( )( ) 22ff+=（ ） A. 12 B. 12 C. 26 D. 26 7. 已知过原点的直线与函数( ),0ln ,0 xexf xx x=的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（ ） A. ()1, ee B. 10,ee C. 1, ee D. ()1,0,ee 8. 托马斯贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率
4、”的问题中得到了一个公式：()()()() ()1iiinjjjP A P B AP A BP AP B A=，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理） ，其中() ()1njjjP AP B A=称为B的全概率.假设甲袋中有 3 个白球和 3 个红球，乙袋中有 2 个白球和 2 个红球.现从甲袋中任取 2 个球放入乙袋，再从乙袋中任取 2 个球.已知从乙袋中取出的是 2 个红球，则从甲袋中取出的也是 2 个红球的概率为（ ） A. 513 B. 1675 C. 38 D. 35 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
5、的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分） 9. 已知奇函数( )f x与偶函数( )g x的定义域、值域均为R，则（ ） A. ( )( )f xg x+是奇函数 B. ( )( )fx g x是奇函数 C. ( ) ( )f x g x是偶函数 D. ( )()f g x是偶函数 10. 现有 2 名男同学与 3 名女同学排成一排，则（ ） A. 女生甲不在排头的排法总数为 24 B. 男女生相间的排法总数为 12 C. 女生甲、乙相邻的排法总数为 48 D. 女生甲、乙不相邻的排法总数为 72 11. 已知正方体1111ABCDABC D、的棱长为 1，点P是对角线BD、上
6、异于B、1D的动点，则（ ） A. 当P是1BD的中点时，异面直线AP与BC所成角的余弦值为33 B. 当P是1BD的中点时，A、1B、C、P四点共面 C. 当AP平面11AC D时，113BPBD= D. 当AP平面11AC D时，1APBD 12. 若过点()1,Pt最多可以作出()*n nN条直线与函数( )1xxf xxe+=+的图像相切，则（ ） A. tn可以等于 2022 B. n不可以等于 3 C. 3ten+ D. 1n =时， 40,te+ 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 如果随机变量()2100,XN，且()901000.2PX=，
7、则()110P X =_. 14. 已知()1, 1,1n =是平面a的一个法向量，点()1,1,0A在平面a内，则点()2,2,2P到平面a的距.离为_. 15. 已知( )2ln xf xx=，( )2xg xa=+，若对12, 3x ，21,2x，使得( )()12f xg x，则实数a的最小值为_. 16. 正四棱柱1111ABCDABC D中，14AA =，3AB =，点N为侧面11BCC B上一动点（不含边界） ，且满足1D NCN.记直线1D N与平面11BCC B所成的角为，则tan的取值范围为_. 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过
8、程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 设p：213x+，q：()210 xa+. （1）若1a =，且p、q均为真命题，求满足条件的实数x构成的集合； （2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 18.（本小题满分 12 分） 已知212nxx的展开式中，_. 现在有以下三个条件： 条件：第 4 项和第 2 项的二项式系数之比为12:1； 条件：只有第 6 项的二项式系数最大； 条件：其前三项的二项式系数的和等于 56. 请在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中的常数项. 19.（本小题满分 12 分）
9、 甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一-场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为X，且每场比赛双方获胜的概率都为12. （I）求()2P X =和()3P X =； （2）求X的标准差. 20.（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥SABCD的底面ABCD是直角梯形，且ABCD，ADDC，24CDAB=，ADa=，正三角形SAD所在平面与平面ABCD相互垂直，E、O分别为SD、AD的中点. （1）求证：SOBC； （2）若二面角EACD的余弦值为2 35，求a的值.
10、 21.（本小题满分 12 分） 随着科技的发展，看电子书刊的人越来越多在某市随机选出 200 人进行采访，经统计这 200 人中看电子书刊的人数占总人数的14（假设被采访者只给出“看电子书刊”或“看纸质书刊”两种结果）.将这 200 人按年龄（单位：岁）分成五组：第 1 组)15,25，第 2 组)25,35，第 3 组)35,45，第 4 组)45,55，第 5组55,65.这 200 人中看纸质书刊的人的年龄的频数分布表如下： 年龄 )15,25 )25,35 )35,45 )45,55 55,65 频数 15 22 58 42 13 （1）年龄在)15,45内的称为青壮年，年龄在45,
11、65内的称为中老年.若选出的 200 入中看电子书刊的中老年有 10 人. 请完成下面的2 2列联表，并判断能否有 95%的把握认为看书刊的方式与年龄层有关. 看电子书刊 看纸质书刊 合计 青壮年 中老年 合计 200 将频率视为概率，现从该市所有青壮年和中老年人群中随机采访三人，求这三人中恰有两人为中老年且看电子书刊的概率； （2）该市倡议：书香战“疫” ，以“读”攻毒，同时许多人呼吁“回归纸质书刊”该市现有报刊亭每天早上从报刊发行处购进某报纸后零售，且规定的零售价格是 1.5 元/份.若晚上报纸卖不完，则可再退回发行处，此时退回的价格是 0.4 元/份.有一报刊亭根据市场调研，每天的需求量
12、及其概率情况如下： 每天的需求量（单位：份） 300 400 500 600 概率 0.1 0.3 0.4 0.2 报刊发行处每 100 份报纸为一包，并规定报刊亭只能整包购进，每包价格为 100 元.请为该报刊亭筹划一下，应该如何确定每天购进报纸的包数X（36X，且*XN） ，使得日收益Y的数学期望最大. 附参考公式：()()()()()22n adbcxabcdacbd=+（其中nabcd=+ +）. 参考数据： 22.（本小题满分 12 分） 已知函数( )22lnf xaxxx=，aR. （1）令( )( )f xg xx=上，求( )g x的单调区间； （2）若对于任意的()0,x+
13、，( )10f xa+恒成立，试探究( )f x是否存在极大值?若存在，求极大值点0 x的取值范围；若不存在，请说明理由. ()20P xx 0.10 0.05 0.025 0.010. 0.005 0.001 0 x 2.706 3.841 5.024. 6.635 7.879 10.828 20212022 学年度第二学期期末检测学年度第二学期期末检测 高二数学参考答案高二数学参考答案 1. B 2. D 3. C 4. B 5. A 6. A 7. B 8. C 9. BD 10. BCD 11. ACD 12. AD 13. 0.3 14. 233 15. 142e 16. 3 13,
14、422+ 17.【答案】 （1）因为p：21x ，q：30 x，即3x ， 所以p、q均为真命题，即取公共部分得实数x构成的集合为21xx； （2）因为p是q的充分条件，且p：21x ，q：21xa+，所以()()2,1,21a +， 所以211a+ ，解得0a ，故实数a的取值范围是)0,+. 18.【答案】 （1）选条件：由题可知31:12:1nnCC =，即(1)(2):12:13 2 1n nnn= ， 即()()1272nn=，即23700nn=，即(10)(7)0nn+=， 所以7n = （舍）或10n =. 所以展开式中所有二项式系数的和为1021024=. 选条件：因为只有第
15、6 项的二项式系数最大，所以n为偶数，且52n=，则10n =. 所以展开式中所有二项式系数的和为1021024=. 选条件：因为其前三项的二项式系数的和等于 56，则01256nnnCCC+=， 即(1)1562n nn+=，即21100nn+=，即(11)(10)0nn+=， 所以11n = （舍）或10n =. 所以展开式中所有二项式系数的和为1021024=. （2）()52010210211010122( 1)rrrrrrrrTCxCxx+= ， 令52002r=，则8r =， 所以展开式中的常数项为8289102( 1)180TC= =. 19.【答案】 （1）2X =：甲胜乙，甲
16、胜丙，结果甲胜；乙胜甲，乙胜丙，结果乙胜. 11111(2)22222P X =+=； 3X =：甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，结果丙胜；乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，结果丙胜. 1111111(3)2222224P X =+=. （2）4X =：甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，结果甲胜； 甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，乙胜甲，结果乙胜； 乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，结果甲胜； 乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，乙胜甲，结果乙胜； 11111(4)422224P X =. 11111()2342444E X = + + =， 22221111111()234244416D X=+=，所以标准差为11()4D X=.
17、20.【答案】 （1）因为SAD是正三角形，O是AD的中点，所以SOAD， 又因为平面SAD 平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD=，SO 平面SAD， 所以SO 平面ABCD， 又因为BC 平面ABCD，所以SOBC. （2）取BC的中点M，连结OM. 因为底面ABCD为直角梯形且ABCD，O、M分别为AD、BC的中点， 所以OMDC，又因为ADDC，所以OMAD， 由（1）知SO 平面ABCD，又AD、OM 平面ABCD， 所以SOAD，SOOM. 以O为原点，OA，OM，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则()0,0,0O，30,0,2Sa，,0,02aA，,0,
18、02aD，,4,02aC. 因为E为SD的中点，则3,0,44aEa，所以33,0,44aAEa= ，(),4,0ACa= . 设平面EAC的一个法向量(), ,nx y z=，则00AE nAC n=，所以3304440axazaxy+=+=，则34zxayx=. 不妨取4x =，则平面EAC的一个法向量()4, ,4 3na=， 又由（1）知SO 平面ABCD，所以30,0,2OSa=是平面ACD的一个法向量. 所以2264 336o4c s642,n OSn OSn OaaaSa+=+=， 因为二面角EACD的余弦值为2 35，则24 32 3564a=+， 又0a ，解得6a =. 2
19、1.【答案】 （1）填写2 2列联表如下： 看电子书刊 看纸质书刊 合计 青壮年 40 95 135 中老年 10 55 65 合计 50 150 200 假设0H：看书刊的方式与年龄层没有关系. 根据列联表中的数据可以求得 ()()()()()22n adbcabcdacbd+=222200(40 5595 10)200 50(44 19)135 65 150 50135 65 150 50= 22200 5025200 2550004.75135 65 150 5027 13 31053=， 由于24.753.841，且当0H成立时，()23.8410.05P，所以有 95%的把握认为看书
20、刊方式与年龄层有关. （2）随机采访的一人为中老年且看电子书刊的概率为10120020=，且每次采访相互独立， 所以这三人中恰有两人为中老年且看电子书刊的概率为2231195720208000PC=. （3）3X =时，( )300 (1.5 1)150E Y =（元） ； 4X =时，( )400 0.5 (0.30.40.2)300 0.5(1 0.4) 1000.1 189E Y =+=（元） ； 5X =时，( )500 0.5 (0.40.2)(400 0.5 100 0.6) 0.3E Y =+ (300 0.5200 0.6) 0.1 195+=（元） ； 6X =时，( )60
21、0 0.5 0.2(500 0.5 100 0.6) 0.4E Y =+ (400 0.5200 0.6) 0.3(300 0.5 300 0.6) 0.1 157+=（元）. 综上所述，当5X =时，利润Y的数学期望最大. 22.【答案】 （1）由题可知，( )2lng xaxx=，( )12gxax=. 若0a 时，( )0gx ，( )g x的单调递减区间是()0,+，无增区间； 若0a 时， 当102xa时，( )0gx ；当12xa时，( )0gx . 所以( )g x的单递减区间是10,2a，单调增区间是1,2a+. （2）法一：因为对于任意的()0,x+，( )10f xa+恒成
22、立， 所以11(1)20faaa+=+，所以0a . 因为( )()41 lnfxaxx=+，记( )( )xfx=，则( )140 xax=，所以( ) fx单调递减. 又( ) 1410fa= ，()()41414144410aaafeaeaa e=，且( ) fx的图像连续不间断， 所以存在()410,1axe，使得()()00041 ln0fxaxx=+=，即001 ln4xax+=. 当()00,xx时，( )0fx ，( )f x在()00,x上单调递增；当()0,xx+时，( )0fx ，( )f x在()0,x +上单调递. 所以当0 xx=时，( )f x取极大值. 令1(
23、)( )h xf xa=+， 则()20000maxmax111( )( )2lnh xf xf xaxxxaaa=+=+=+ 000000000000ln4ln4ln21 ln21 lnxxxxxxxxxxxx+=+=+， 又对于任意的()0,x+，( )0h x 恒成立，所以00000ln4021 lnxxxxx+.（*） 又因001 ln040 xaxx+=，所以010 xe，所以化简不等式（*） ，可得330exe. 又010 xe，所以0311xee. 法二：因为对于任意的()0,x+，( )10f xa+恒成立， 所以11( )( )2ln0h xg xaxxaxax=+=+恒成立
24、. 由题可知0a ，若0a ，则当()0,1x时，( )0h x ，不符合，故0a . 因为222221121(21)(1)( )2a xaxaxaxh xaxaxaxax+=， 所以当10,2xa时，( )0h x ，( )h x单调递增；当1,2xa +时，( )0h x ，( )h x单调递减. 所以max1111( )2ln012222h xhaaaaaa= + ， 即13ln2a ，即312ea，所以32ea ，故a的取值范围是3,02e 因为( )4(1 ln )fxaxx=+，记( )( )xfx=，则1( )40 xax=，所以( ) fx单调递减. 又( ) 1410fa=
25、，()()41414144410aaafeaeaa e=，且( ) fx的图像连续不间断， 所以存在()410,1axe，使得()()00041 ln0fxaxx=+=，即001 ln4xax+=. 又当()00,xx时，( )0fx ，( )f x在()00,x上单调递增；当()0,xx+时，( )0fx ，( )f x在()0,x +上单调递. 所以当0 xx=时，( )f x取极大值， 由302ea，001 ln4xax+=，得3001 ln024xex+， 又00 x ，所以30021 ln0e xx +， 由01 ln0 x+，得010 xe. 设300( )1 ln2h xxe x= +，()3001120hxex= +，所以( )h x单调递增， 又()30h e=，所以由30021 lne xx +，得30 xe， 故0311xee.
