1、试卷第 1页广东省广州市八校联考2021-2022高一第二学期期末试题数 学本试卷共 3 页，22 小题，满分 150 分. 考试用时 120 分钟.注意事项：1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一一. .选选择择题题：本本题题共共 8 8 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 4 40 0 分分. . 在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项
2、项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的. .1.已知集合 A=y| = 2 1，xZ，B=x|5x24x10，则 AB（）A1B0，1C0，1，2D1，3，52.在ABC 中，“ =22”是“ =4”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3.已知复数1（21）+（2+ 2 3），2+3，其中为虚数单位，R，若1为纯虚数，则下列说法正确的是（）A 1B复数2在复平面内对应的点在第一象限C|2|2D 12224.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=4x+2（为常数），则 f（log48）的值为（）A4B4C7D75.
3、已知点 P 是ABC 所在平面内一点，若=23+13，则ABP 与ACP 的面积之比是（）A3：1B2：1C1：3D1：2页，共 3页6.已知 sin（ +3）=2 23，则 sin（2 +6）的值为（）A79B79C4 22D4 297.如图所示，ABC是水平放置的ABC 的斜二测直观图，其中 OCOA2OB2，则以下说法正确的是（）AABC 是钝角三角形BABC 的面积是ABC的面积的 2 倍CB点的坐标为(0，2)DABC 的周长是 4 + 4 28.已知函数 f（x）=ln + 1， 0+ 1， 0，g（x）x22x，若方程 f（g（x） =0 有 4 个不相等的实根，则实数的取值范围
4、是（）A（，1）B（0，1C（1，2D2，+）二二. .选选择择题题：本本题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分. . 在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求，全全部部选选对对的的得得 5 5 分分，部部分分选选对对的的得得 2 2 分分，有有选选错错的的得得 0 0 分分. .9.给已知，R，满足 2a+2b1，则（）A + 2B2a+b14C 2D22+ 221210. 若函数 f（x）=Asin（ + ）（A0，0，| ? ? ? ?，则? ?与? ?的夹角为锐角B.已知? ?,? ?,? ?为两两非共线向
5、量，若? ? ? ?= ? ? ? ?，则? ? (? ? ? ?)C.在三角形中，若 cos = cos，则三角形 ABC 是等腰三角形D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心三三. .填填空空题题：本本题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分. .13. 已知实数 a0，b0，1+2= 1，则41+32的最小值是14. 已知函数 f（x）2x+2x的图象关于原点对称，若 2 1 32，则 x 的取值范围为15. 设 P，E，F 分别是长方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB，A1D1，AA1的中点，且 = 1=
6、12 = 1，M 是底面 ABCD 上的一个动点，若 D1M平面 PEF，则线段 B1M 长度的最小值为16. 在ABC 中，记角 A，B，C 所对的边分别是，面积为 S，则2+2的最大值为页，共 3页四四. .解解答答题题：本本题题共共 6 6 小小题题，共共分分 7 70 0 分分. . 解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤. .17.（本题满分 10 分）已知非零向量，满足| = | = 2|+ |（1）求，的夹角的余弦值；（2）若|2+ | = 2 6，求|18.（本题满分 12 分）如图，把正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，点
7、E，F 分别为 AD，BC 的中点，点 O是原正方形 ABCD 的中心（1）求证：AB平面 EOF；（2）求直线 CD 与平面 DOF 所成角的大小试卷第 3页19.（本题满分 12 分）已知函数 f（x）sin2x+sinx+3，x0，（1）求 f（x）的最小值 g（）；（2）若 f（x）在0，上有零点，求的取值范围20.（本题满分 12 分）已知二次函数 f（x）x22x3，若不等式 f（x）0 的解集为（1，）（1）解关于 x 的不等式 2x24x+（+1）x1；（2）已知实数（0，1），且关于 x 的函数 yf（x）4x+1（x1，2）的最小值为4，求的值页，共 3页21.（本题满分
8、12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，acosB+bcosA2ccosC， =3（1）求角 C；（2）求ABC 的外接圆的半径 R，并求ABC 的周长的取值范围22.（本题满分 12 分） 如图所示，是的一条中线，点满足?= 2?，过点的直线分别与射线、射线交于,两点（1）求证：?=12?+12?；（2）设?= ?，?= ?， 0， 0，求1+1的值；（3）如果是边长为 2 的等边三角形，求2+ 2的取值范围试卷第 1页广东省广州市八校联考2021-2022高一第二学期期末试题数学 参考答案评分标准：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，
9、可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该试题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.题题号号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91 10 01 11 11 12 2答答案案ABCDDADCABDABDBDBD题题号号1 13 31 14 41 15 51 16 6答答案案7+ 4 3x|x13 55312一一. .选选择择题题：本本题
10、题共共 8 8 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 4 40 0 分分. . 在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的1.已知集合 A=y| = 2 1，xZ，B=x|5x24x10，则 AB（）A1B0，1C0，1，2D1，3，5【答案】A.【解析】集合 Ay|y2x1，xZ，Bx|5x24x1015，1，则 AB12.在ABC 中，“ =22”是“ =4”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】在ABC 中，当 =22时，则 A=4或34，充分性不成立，当 =4时，则 =22
11、，必要性成立， =22是 =4的必要不充分条件.3.已知复数1（21）+（2+ 2 3），2+3，其中为虚数单位，R，若1为纯虚数，则下列说法正确的是（）页，共 6页A 1B复数2在复平面内对应的点在第一象限C|2|2D 1222【答案】C.【解析】解：z1（m21）+（m2+2m3）i 为纯虚数，2 1 = 02+ 2 3 0，解得 m1，故 A 错误，z14i，z21+3，复数 z2在复平面内对应的点（1， 3）在第二象限，故 B 错误，|z2|=( 1)2+ ( 3)2= 2，故 C 正确，|1|2= 16，|2|2= 4，故 D 错误故选：C4.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函
12、数，当 x0 时，f（x）=4x+2（为常数），则 f（log48）的值为（）A4B4C7D7【答案】D.【解析】根据题意，函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）4x+2，必有 f（0）1+20，解可得3，则当 x0 时，f（x）4x1，有 f（log48）817，又由函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，则 f（log48）f（log48）7.5.已知点 P 是ABC 所在平面内一点，若=23+13，则ABP 与ACP 的面积之比是（）A3：1B2：1C1：3D1：2【答案】D .【解析】：ABP 与ACP 的面积之比点 P是ABC 所在平面上一点，过 P 作 PE
13、AC，PFAB，如下图所示：由=23+13= + ，故 AE：EB2：1PC：PB，所以ABP 与ACP 的面积之比为 BP：PC1：2.试卷第 2页6.已知 sin（ +3）=2 23，则 sin（2 +6）的值为（）A79B79C4 22D4 29【答案】A.【解析】因为 sin（ +3）=2 23，所以 cos（2 +23）12sin2（ +3）12 (2 23)2=79，所以 sin（2 +6）cos（2 +6+2）=79.7.如图所示，ABC是水平放置的ABC 的斜二测直观图，其中 OCOA2OB2，则以下说法正确的是（）AABC 是钝角三角形BABC 的面积是ABC的面积的 2 倍
14、CB 点的坐标为(0，2)DABC 的周长是 4 + 4 2【答案】D.【解析】根据题意，将ABC还原成原图，如图，依次分析选项：对于 A，ABC 中，有 OCOAOB2，易得 BCAB2 2，AC4，故ABC 是等腰直角三角形，A 错误；对于 B，ABC 的面积是ABC的面积的 2 2倍，B 错误；对于 C，B 的坐标为（0，2），C 错误；对于 D，ABC 的周长为 BC+AB+AC4+4 2，D正确8.已知函数 f（x）= + 1， 0+ 1， 0，g（x）x22x，若方程 f（g（x） =0 有 4 个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A（，1）B（0，1C（1，2D2，+）【答案】
15、C.【解析】函数 g（x）x22x（x+1）2+11，令 g（x）t，则 t1，要使方程 f（g（x）0 有 4 个不相等的实根，则关于 t 的方程为 f（t）0 有两个小于 1 的实数根，画出函数 f（t）= + 1， 0+ 1， 0的图象如图：页，共 6页由图可知，实数的取值范围是（1，2.二二. .选选择择题题：本本题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分. . 在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求，全全部部选选对对的的得得 5 5 分分，部部分分选选对对的的得得 2 2 分分，有有选选错错的的得得 0 0
16、 分分. .9.给已知，R，满足 2a+2b1，则（）A + 2B2a+b14C 2D22+ 2212【答案】ABD.【解析】A，12a+2b2 2+，2a+b14，a+b2，当且仅当 ab1 时等号成立，AB 正确，C，当 ab1 时，则 ab1，C 错误，D，由（2a+2b）212（22a+22b），当且仅当 ab1 时取等号，22a+22b12，D正确10. 若函数 f（x）=Asin（ + ）（A0，0，| ? ? ? ?，则? ?与? ?的夹角为锐角B.已知? ?,? ?,? ?为两两非共线向量，若? ? ? ?= ? ? ? ?，则? ? (? ? ? ?)C.在三角形中，若 co
17、s = cos，则三角形 ABC 是等腰三角形D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心【答案】BD.【解析】A. 由 ? ?+ ? ? ? ? ? ?得 4 ? ? ? ? 0 ,则? ?与? ?的夹角为锐角或同向共线，故 A 错误;B. 由? ? ? ?= ? ? ? ?得， ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?= 0,因为? ?,? ?,? ?为两两非共线向量，故? ? (? ? ? ?)，B 正确；C. 由 cos = cos得sin cos = sin cos即sin2 = sin2，得 = 或 + =2，三角形 ABC 为等腰
18、三角形或直角三角形，故 C 错误；D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心，故 D 正确.页，共 6页三三. .填填空空题题：本本题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分. .13. 已知实数 a0，b0，1+2= 1，则41+32的最小值是【答案】7 + 4 3.【解析】1+2= 1， 1 =2， 2 =，且 a0，b0，41+32= 4 +41+ 3 +62= 7 +2+6 7 + 212 = 7 + 43，当且仅当2=6，即 =1 +2 33， =3 + 2 时取等号，41+32的最小值是 7 + 4 3.14
19、. 已知函数 f（x）2x+2x的图象关于原点对称，若 2 1 32，则 x 的取值范围为【答案】x|x1.【解析】解：因为 f（x）2x+2x的图象关于原点对称且定义域为 R，所以 f（0）1+0，所以1，f（x）2x2x在 R 上单调递增，由(2 1)32=f（1）得 2x11，所以 x1.15. 设 P，E，F 分别是长方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB，A1D1，AA1的中点，且 = 1=12 = 1，M 是底面 ABCD 上的一个动点，若 D1M平面 PEF，则线段 B1M 长度的最小值为【答案】3 55.【解析】如图所示，分别取 CC1，C1D1，BC 的中点 Q，R，G，连
20、接 PG，QG，QR，ER，易知 E，F，P，G，Q，R 六点共面连接 AD1，AC，CD1，试卷第 4页因为 APPB，BGGC，PGAC，又 PGER，ERAC，因为 AC平面 AD1C，ER平面 AD1C，所以 ER平面 AD1C，同理可证 EF平面 AD1C，因为 EREFE，ER，EF平面 EFPGQR，所以平面 AD1C平面 EFPGQR，故 M 在线段 AC 上运动，要使线段 B1M 长度最小，需使 BMAC，此时 BM ACAB BC，得 =2 55，所以1 =12+ (2 55)2=3 55.即线段 B1M 长度的最小值为3 5516. 在ABC 中，记角 A，B，C 所对的
21、边分别是，面积为 S，则2+2的最大值为【答案】312.【解析】由已知可得2+2142，令 sinAy，cosAx，可得2+2142，数形结合可知 =2 33，0)，又2+2142，可得2+214 ( 33) =312，当且仅当 A60，bc，取得最大值.四四. .解解答答题题：本本题题共共 6 6 小小题题，共共分分 7 70 0 分分. . 解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤. .17.（本题满分 10 分）已知非零向量，满足| = | = 2|+ |（1）求，的夹角的余弦值；（2）若|2+ | = 2 6，求|【解析】（1）根据题意，设，的夹角为，
22、再设|2t，则|2t，|+ |t，则有|+ |2= 2+2+ 28t2+8t2cost2，变形可得 cos=78；（2）因为 2|+ |2= 42+ 4 + 2= 42+ 4 ( 78)2+ 2= 24，所以2= 16，即| = 418.（本题满分 12 分）如图，把正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，点 E，F 分别为 AD，BC 的中点，点 O 是原正方形 ABCD 的中心页，共 6页（1）求证：AB平面 EOF；（2）求直线 CD 与平面 DOF 所成角的大小【解析】（1）证明：点 O 是原正方形 ABCD 的中心，O 为 AC 的中点，点 F 为 BC 的中点，OFAB
23、，又OF平面 EOF，AB平面 EOF，AB平面 EOF（2）解：ABBC，OFAB，ABOF，ADDC，ODAC，把正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，OD平面 ABC，又BC平面 ABC，ODBC，ODOFO，BC平面 DOF，直线 CD 与平面 DOF 所成的角为CDF，CF=12BC=12CD，在 RtCDF 中，sinCDF=12，CDF30，即直线 CD 与平面 DOF 所成角的大小为 30.19.（本题满分 12 分）（本题满分 12 分）已知函数 f（x）sin2x+sinx+3，x0，（1）求 f（x）的最小值 g（）；（2）若 f（x）在0，上有零点，求的取
24、值范围【解析】（1）函数 f（x）sin2x+asinx+3a= ( +2)224+3a，x0，sinx0，1，当21 时，即 a2 时，则 sinx1 时，f（x）取得最小值 g（a）4综上可得，g（a）=3 ， 024+ 3 ， 2 04， 0， 0，求1+1的值；（3）如果是边长为 2 的等边三角形，求2+ 2的取值范围【解析】 （1）证明：因为是的中点，所以?= ?+ ?= ?+12?= ?+12(? ?) =12?+12?；（2）因为,三点共线，故存在实数使得：?= ?，即? ?= (? ?)，整理可得：?=11+?+1+?=1+?+1+?，试卷第 6页由（1）可知?=12?+12?
25、，?=12?+12?，由平面向量基本定理，1+=131+=13，所以1+1=31+31+= 3；（3）因为三角形为边长为 2 的等边三角形，故 = 2， =2 33，在中，由余弦定理可得：2= 2+ 2 2 cos30 = 4(2 +13)，在中，同理可得：2= 4(2 +13)，故2+ 2= 4(2+ 2 +23) = 4( + )2 ( + ) 2 +23，由（2）知1+1= 3，则 =+3，故2+ 2= 4( + )2 ( + ) 23( + ) +23= 4( + 56)2136，由基本不等式，+3= (+2)2可得： + 43，当且仅当 + =43，即 = =23时，2+ 2取得最小值为49，故2+ 2的取值范围为49, + ).
