1、=【 ;精 品教育资源文库 】 = 课时达标检测（四十八） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 一般难度题 全员必做 1已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的一个焦点为 F2(1,0)，且该椭圆过定点 M?1， 22 . (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)设点 Q(2,0)，过点 F2作直线 l 与椭圆 E 交于 A， B 两点，且 F2A F2B ， 2， 1，以 QA， QB 为邻边作平行四边形 QACB，求对角线 QC 长度的最小值 解： (1)由题易知 c 1， 1a2 12b2 1， 又 a2 b2 c2， 解得 b2 1， a2 2， 故椭圆 E 的标准方程为 x22
2、y2 1. (2)设直线 l： x ky 1，由? x ky 1，x22 y2 1 得 (k2 2)y2 2ky 1 0， 4k2 4(k2 2) 8(k2 1)0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则可得 y1 y2 2kk2 2， y1y2 1k2 2. QC QA QB (x1 x2 4， y1 y2) ? ? k2k2 2 ， 2kk2 2 ， | QC |2 | QA QB |2 16 28k2 2 8k2 2，由此可知， | QC |2的大小与 k2的取值有关 由 F2A F2B 可得 y1 y 2， y1y2， 1 y2y1(y1y20) 从而 1 y1y2 y2
3、y1 y1 y22 2y1y2y1y2 6k2 4k2 2 ， 由 2， 1得 ? ? 1 ? ? 52， 2 ，从而 52 6k2 4k2 2 2，解得 0 k2 27. 令 t 1k2 2，则 t ? ?716， 12 ， | QC |2 8t2 28t 16 8? ?t 74 2 172 ， 当 t 12时，|QC|min 2. 2 (2018 河南洛阳统考 )已知抛物线 C： x2 2py(p0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A， B=【 ;精 品教育资源文库 】 = 两点， D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点 (1)若 AB l，且 ABD 的面积为 1，求抛物线的方程； (
4、2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切 解： (1) AB l， |FD| p， |AB| 2p. S ABD p2 1. p 1，故抛物线 C 的方程为 x2 2y. (2)证明：显然直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y kx p2， A? ?x1，x212p ， B?x2，x222p . 由? y kx p2，x2 2py消去 y 整理得， x2 2kpx p2 0. x1 x2 2kp， x1x2 p2. M(kp， k2p p2)， N? ?kp， p2 . k ANx212pp2x1 kpx212pp2x1 x1 x22x2
5、1 p22px1 x22x21 x1x22px1 x22 x1p. 又 x2 2py， y xp. 抛物线 x2 2py 在点 A 处的切线斜率 k x1p. 直线 AN 与抛物线相切 3 (2018 合肥模拟 )已知中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆 C，其上一点 P 到两个焦点 F1， F2的距离之和为 4，离心率为 32 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 y kx 1 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 OAB 面积的取值范围 解： (1)设椭圆的标准方程为 y2a2x2b2 1(ab0)， 由条件知，? 2a 4，e ca 32 ，a2 b2 c2，解得 a 2， c 3
6、， b 1， 故椭圆 C 的方程为 y24 x2 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， =【 ;精 品教育资源文库 】 = 由? x2 y24 1，y kx 1得 (k2 4)x2 2kx 3 0， 故 x1 x2 2kk2 4， x1x2 3k2 4， 设 OAB 的面积为 S， 由 x1x2 3k2 40， y t 1t在 t 3， ) 上单调递增， t 1t 103 ， 0b0)的右焦点 F(1,0)作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，设 |FA| |FB|， T(2,0) (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 1 2 ，求 ABT 中 AB 边上中线
7、长的取值 范围 解： (1) e 22 ， c 1， a 2， b 1， 即椭圆 C 的方程为 x22 y2 1. (2) 当直线的斜率为 0 时，显然不成立 设直线 l： x my 1， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立? x2 2y2 2 0，x my 1 得 (m2 2)y2 2my 1 0， =【 ;精 品教育资源文库 】 = 则 y1 y2 2mm2 2， y1y2 1m2 2， 由 |FA| |FB|，得 y1 y 2， 1 y1y2 y2y1， 1 2 y1 y22y1y2 4m2m2 2， m2 27， 又 AB 边上的中线长为 12 | TA TB | 12
8、x1 x2 2 y1 y2 2 4m4 9m2 4m2 2 2m2 2 7m2 2 4 ? ?1， 13 216 . 2 (2018 武昌调研 )已知椭圆的中心在坐标原点， A(2,0)， B(0,1)是它的两个顶点，直线 y kx(k0)与直线 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E， F 两点 (1)若 ED 6 DF ，求 k 的值； (2)求四边形 AEBF 面积的最大值 解： (1)由题设条件可得，椭圆的方程为 x24 y2 1，直线 AB 的方程为 x 2y 2 0.设D(x0， kx0)， E(x1， kx1)， F(x2， kx2)，其中 x10)，即 k 12时，等号成立 故四
9、边形 AEBF 面积的最大值为 2 2. 较高难度题 学霸做 1 (2018 石家庄市质量检测 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右顶点分别为 A， B，且长轴长为 8， T 为椭圆上任意一点，直线 TA， TB 的斜率之积为 34. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 O 为坐标原点，过点 M(0,2)的动直线与椭圆 C 交于 P， Q 两点，求 OP OQ MP MQ 的取值范围 解： (1)设 T(x， y)，由题意知 A( 4,0)， B(4,0)， 设直线 TA 的斜率为 k1，直线 TB 的斜率为 k2，则 k1 yx 4， k2 yx 4. 由 k1k2 3
10、4，得 yx 4 yx 4 34， 整理得 x216y212 1. 故 椭圆 C 的方程为 x216y212 1. (2)当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y kx 2，点 P， Q 的坐标分别为 (x1，y1)， (x2， y2)，直线 PQ 与椭圆方程联立， =【 ;精 品教育资源文库 】 = 得? x216y212 1，y kx 2，消去 y，得 (4k2 3)x2 16kx 32 0. 所以 x1 x2 16k4k2 3， x1x2 324k2 3. 从而 ， OP OQ MP MQ x1x2 y1y2 x1x2 (y1 2)(y2 2) 2(1 k2)x1x22k(
11、x1 x2) 4 80k2 524k2 3 2084k2 3. 所以 20 OP OQ MP MQ 523. 当直线 PQ 的斜率不存在时， OP OQ MP MQ 的值为 20. 综上， OP OQ MP MQ 的取值范围为 ? ? 20， 523 . 2 (2018 沈阳质量监测 )已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2，且|F1F2| 6，直线 y kx 与椭圆交于 A， B 两点 (1)若 AF1F2的周长为 16，求椭圆的标准方程； (2)若 k 24 ，且 A， B， F1， F2四点共圆，求椭圆离心率 e 的值； (3)在 (2)的条件下，设
12、 P(x0， y0)为椭圆 上一点，且直线 PA 的斜率 k1 ( 2， 1)，试求直线 PB 的斜率 k2的取值范围 解： (1)由题意得 c 3，根据 2a 2c 16，得 a 5. 结合 a2 b2 c2，解得 a2 25， b2 16. 所以椭圆的方程为 x225y216 1. (2)法一：由? x2a2 y2b2 1，y 24 x，得 ? ?b2 18a2 x2 a2b2 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)所以 x1 x2 0， x1x2 a2b2b2 18a2， 由 AB， F1F2互相平分且共圆， 易知， AF2 BF2，因为 F2A (x1 3， y1)， F2
13、B (x2 3， y2)， 所以 F2A F2B (x1 3)(x2 3) y1y2 =【 ;精 品教育资源文库 】 = ? ?1 18 x1x2 9 0. 即 x1x2 8， 所以有 a2b2b2 18a2 8， 结合 b2 9 a2， 解得 a2 12(a2 6 舍去 )， 所以离心率 e 32 . 法二 ： 设 A(x1， y1)， 又 AB， F1F2互相平分且共圆 ， 所以 AB， F1F2是圆的直径，所以 x21 y21 9， 又由椭圆及直线方程综合可得：? x21 y21 9，y1 24 x1，x21a2y21b2 1.由前两个方程解得 x21 8， y21 1， 将其代入第三个方程并结合 b2 a2 c2 a2 9， 解得 a2 12，故 e 32 . (3)由 (2)的结论知，椭圆方程为 x212y23 1， 由题可设 A(x1， y1)， B( x1， y1)， k1 y0 y1x0 x1， k2 y0 y1x0 x1， 所以 k1k2 y20 y21x20 x21， 又 y20 y21x20 x213? ?1 x2012 3?1 x2112x20 x21 14， 即 k2 14k1，由 2 k1 1 可知， 18 k2 14. 即直线 PB 的斜率 k2的取值范围是 ? ?18， 14 .
