1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（四十一） 圆的方程 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 圆的方程 1已知圆 C 的圆心是直线 x y 1 0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x y 3 0 相切，则圆 C 的方程是 ( ) A (x 1)2 y2 2 B (x 1)2 y2 8 C (x 1)2 y2 2 D (x 1)2 y2 8 解析：选 A 直线 x y 1 0 与 x 轴的交点为 ( 1,0) 根据题意，圆 C 的圆心坐标为 ( 1,0) 因为圆与直线 x y 3 0 相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 r d | 1 0 3|12 12 2， 则圆的方程为
2、(x 1)2 y2 2.故选 A. 2 (2018 河北唐山模拟 )圆 E 经过三点 A(0,1)， B(2,0)， C(0， 1)，且圆心在 x 轴的正半轴上，则圆 E 的标准方程为 ( ) A.? ?x 32 2 y2 254 B.? ?x 34 2 y2 2516 C.? ?x 34 2 y2 2516 D.? ?x 34 2 y2 254 解析：选 C 根据题意，设圆 E 的圆心坐标为 (a,0)(a0)，半径为 r，即圆的标准方程为 (x a)2 y2 r2， 则有? a 2 12 r2， a 2 r2， a 2 2 r2，解得 a 34， r2 2516， 则圆 E 的标准方程为
3、? ?x 34 2 y2 2516.故选 C. 3 (2018 河北邯郸联考 )以 (a,1)为圆心，且与两条直线 2x y 4 0 与 2x y 6 0同时相切的圆的标准方程为 ( ) A (x 1)2 (y 1)2 5 B (x 1)2 (y 1)2 5 C (x 1)2 y2 5 =【 ;精品教育资源文库 】 = D x2 (y 1)2 5 解析：选 A 因为两平行直线 2x y 4 0与 2x y 6 0的距离为 d | 6 4|5 2 5.故所求圆的半径为 r 5，所以圆心 (a,1)到直线 2x y 4 0 的距离为 5 |2a 3|5 ，即a 1 或 a 4.又因为圆心 (a,1
4、)到直线 2x y 6 0 的距离也为 r 5，所以 a 1.因此所求圆的标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 5.故选 A. 4已知直线 l： x my 4 0，若曲线 x2 y2 6x 2y 1 0 上存在两 点 P， Q 关于直线 l 对称，则 m 的值为 ( ) A 2 B 2 C 1 D 1 解析：选 D 因为曲线 x2 y2 6x 2y 1 0 表示的是圆，其标准方程为 (x 3)2 (y 1)2 9，若圆 (x 3)2 (y 1)2 9 上存在两点 P， Q 关于直线 l 对称，则直线 l： x my4 0 过圆心 ( 3,1)，所以 3 m 4 0，解得 m 1. 5已知 A
5、BC 的三个顶点的坐标分别为 A( 2,3)， B( 2， 1)， C(6， 1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为 _ 解析：依题意，直线 AC 的方程为 y 13 1 x 6 2 6，化为一般式方程为 x 2y 4 0.点 O到直线 x 2y 4 0 的距离 d | 4|5 4 55 1.又因为 |OA| 2 32 13， |OB| 2 2 5， |OC| 62 2 37，所以原点为圆心的圆若与 ABC有唯一的公共点，则公共点为 (0， 1)或 (6， 1)，故圆的半径为 1 或 37，则圆的方程为x2 y2 1 或 x2 y2 37. 答案： x2 y2 1 或 x
6、2 y2 37 6 (2016 天津高考 )已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x y 0 的距离为 4 55 ，则圆 C 的方程为 _ 解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a 0，所以圆心到直线 2xy 0 的距离 d 2a5 4 55 ，解得 a 2， 所以圆 C 的半径 r |CM| 4 5 3， 所以圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 9. 答案： (x 2)2 y2 9 对点练 (二 ) 与圆的方程有关的综合问题 1 (2018 湖南长沙模拟 )圆 x2 y2 2x 2y 1 0 上的点到直线 x
7、y 2 距离的最大=【 ;精品教育资源文库 】 = 值是 ( ) A 1 2 B 2 C 1 22 D 2 2 2 解析：选 A 将圆的方程化为 (x 1)2 (y 1)2 1，圆心坐标为 (1,1)，半径为 1，则圆心到直线 x y 2 的距离 d |1 1 2|2 2，故圆上的点到直线 x y 2 距离的最大值为d 1 2 1. 2 (2018 广东七校联考 )圆 x2 y2 2x 6y 1 0 关于直线 ax by 3 0(a0， b0)对称，则 1a 3b的最小值是 ( ) A 2 3 B.203 C 4 D.163 解析：选 D 由圆 x2 y2 2x 6y 1 0 知其标准方程为
8、(x 1)2 (y 3)2 9， 圆 x2 y2 2x 6y 1 0 关于直线 ax by 3 0(a0， b0)对称， 该直线经过圆心 ( 1,3)，即 a 3b 3 0， a 3b 3(a0， b0)， 1a 3b 13(a 3b)? ?1a 3b 13? ?1 3ab 3ba 9 13?10 2 3ab 3ba 163 ，当且仅当3ba 3ab ，即 a b34时取等号，故选 D. 3 (2018 安徽安庆模拟 )自圆 C： (x 3)2 (y 4)2 4 外一点 P(x， y)引该圆的一条切线，切点为 Q， PQ 的长度等于点 P 到原点 O 的距 离，则点 P 的轨迹方程为 ( )
9、A 8x 6y 21 0 B 8x 6y 21 0 C 6x 8y 21 0 D 6x 8y 21 0 解析： 选 D 由题意得，圆心 C 的坐标为 (3， 4)，半径 r 2，如图因为 |PQ| |PO|，且 PQ CQ， 所以 |PO|2 r2 |PC|2，所以 x2 y2 4 (x 3)2 (y 4)2，即 6x 8y 21 0，所以点 P 的轨迹方程为 6x 8y 21 0，故选 D. 4已知 A(0,3 3)， B? ?32， 3 32 ， P 为圆 C： x2 y2 2x 上的任意一点，则 ABP 面积的最大值为 ( ) A.3 3 32 B. 3 C 2 D.2 3 23 =【
10、;精品教育资源文库 】 = 解析：选 A 化圆为标准方程得 (x 1)2 y2 1，因为 A(0， 3 3)， B? ?32， 3 32 ，所以 |AB| ? ?32 0 2 ? ?3 32 3 3 2 3，直线 AB 的方程为 3x y 3 3，所以圆心到直线 AB 的距离 d | 3 3 3|4 3.又圆 C的半径为 1，所以圆 C上的点到直线 AB 的最大距离为 31，故 ABP 面积的最大值为 Smax 12( 3 1)3 3 3 32 . 5已知 A， B 是圆 O： x2 y2 16 上的两点，且 |AB| 6，若以 AB 的长为直径的圆 M 恰好经过点 C(1， 1)，则圆心 M
11、 的轨迹方程是 _ 解析：设圆心 M 坐标为 (x， y)，则 (x 1)2 (y 1)2 ? ?|AB|2 2，即 (x 1)2 (y 1)29. 答案： (x 1)2 (y 1)2 9 6 (2018 北京东城区调研 )当方程 x2 y2 kx 2y k2 0 所表示的圆的 面积取最大值时，直线 y (k 1)x 2 的倾斜角 _. 解析：由题意知，圆的半径 r 12 k2 4 4k2 12 4 3k21 ，当半径 r 取最大值时，圆的面积最大，此时 k 0， r 1，所以直线方程为 y x 2，则有 tan 1，又 0， ) ，故 34 . 答案： 34 7已知平面区域? x0 ，y0
12、，x 2y 40恰好被面积最小的圆 C： (x a)2 (y b)2 r2 及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为 _ 解析：由题意知，此平面区域表示的是以 O(0,0)， P(4,0)， Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的面积最小的圆是其外接圆 OPQ 为直角三角形， 圆心为斜边 PQ 的中点 (2,1)，半径 r |PQ|2 5， 因此圆 C 的方程为 (x 2)2 (y 1)2 5. 答案： (x 2)2 (y 1)2 5 大题综合练 迁移贯通 1已知以点 P 为圆心的圆经过点 A( 1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于=【 ;精品教育资源文库 】 =
13、 点 C 和 D，且 |CD| 4 10. (1)求直线 CD 的方程； (2)求圆 P 的方程 解： (1)由题意知，直线 AB 的斜率 k 1，中点坐标为 (1,2)则直线 CD 的方程为 y 2 (x 1)，即 x y 3 0. (2)设圆心 P(a， b)，则由点 P 在 CD 上得 a b 3 0. 又 直径 |CD| 4 10， |PA| 2 10， (a 1)2 b2 40. 由 解得? a 3，b 6 或 ? a 5，b 2. 圆心 P( 3,6)或 P(5， 2) 圆 P 的方程为 (x 3)2 (y 6)2 40 或 (x 5)2 (y 2)2 40. 2在平面直角坐标系
14、xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为 2 2 的圆 C 与直线 y x相切于坐标原点 O. (1)求圆 C 的方程； (2)试探求 C上是否存在异于原点的点 Q，使 Q到定点 F(4,0) 的距离 等于线段 OF的长？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 解： (1)设圆 C 的圆心为 C(a， b)， 则圆 C 的方程为 (x a)2 (y b)2 8. 因为直线 y x 与圆 C 相切于原点 O， 所以 O 点在圆 C 上，且 OC 垂直于直线 y x， 于是有? a2 b2 8，ba 1，解得? a 2，b 2 或 ? a 2，b 2. 由于点 C(a， b)在第二象限，
15、故 a0， 所以圆 C 的方程为 (x 2)2 (y 2)2 8. (2)假设存在点 Q 符合要求，设 Q(x， y)， 则有? x 2 y2 16，x 2 y 2 8， 解得 x45或 x 0(舍去 ) 所以存在点 Q? ?45， 125 ，使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长 3已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M： (x 2)2 (y 2)2 r2(r 0)关于直线 x y 2 0对称 (1)求圆 C 的方程； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 PQ MQ 的最小值 解： (1)设圆心 C(a， b)，由已知得 M( 2， 2)， 则? a 22 b 22 2 0，b 2a 2 1，解得? a 0，b 0， 则圆 C 的方程为 x2 y2 r2，将点 P 的坐标代入得 r2 2，故圆 C 的方程为 x2 y2 2. (2)设 Q(x， y)，则 x2 y2 2， PQ MQ (x 1， y 1)( x 2， y 2) x2 y
