1、2022年中考压轴题型(三)规律探索一解答题（共6小题）1如图，在RtABC中，ACB90，在CB上截取CDCA，连接AD，过点C作CEAB于点E，交AD于点F（1）如图1，若D为BC边的中点，且CE2，BE4，求线段AD的长度；（2）如图2，过点C作CGAD于点G，延长CG交AB于点H，连接BG若12，求证：CF+BHBG（3）如图3，过点C作CGAD于点G，把AGC绕点C顺时针旋转，记旋转后的AGC为AGC，过点A作直线AMGC交直线AC于点M，连接BM当ACDB时，直接写出线段BM的最小值2数学课上，有这样一道探究题如图，已知ABC中，ABACm，BCn，BAC=（0180），点P为平面
2、内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为，探究的值和的度数与m、n、的关系请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：【问题发现】（1）小明研究了60时，如图1， ， ；小红研究了90时，如图2， ， ；【类比探究】他们又共同研究了120时，如图3，也求出了的值和的度数；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律： （用含m、n的式子表示）； （用含的式子表示）（2）求出120时的值和的度数3（1）【探究发现】如图1，正方形ABCD两条对角线相交于点O，正方形A1B1C1O
3、与正方形ABCD的边长相等，在正方形A1B1C1O绕点O旋转过程中，边OA1交边AB于点M，边OC1交边BC于点N则线段BM、BN、AB之间满足的数量关系是 四边形OMBN与正方形ABCD的面积关系是S四边形OMBN S正方形ABCD；（2）【类比探究】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“含60的菱形ABCD”，即B1OD1DAB60，且菱形OB1C1D1与菱形ABCD的边长相等当菱形OB1C1D1绕点O旋转时，保持边OB1交边AB于点M，边OD1交边BC于点N请猜想：线段BM、BN与AB之间的数量关系是 ；四边形OMBN与菱形ABCD的面积关系是S四边形OMBN S菱形ABCD；请
4、你证明其中的一个猜想（3）【拓展延伸】如图3，把（2）中的条件“B1OD1DAB60”改为“DABB1OD1”，其他条件不变，则 ；（用含的式子表示） （用含的式子表示）4如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEBC，垂足为点E，GFCD，垂足为点F（1）证明与推断：求证：四边形CEGF是正方形；推断：的值为 （2）探究与证明：将正方形的CEGF绕点C顺时针方向旋转（045），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H，若AG4，GH，则BC 5（1）【探
5、究发现】如图1，EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，EOF90，将EOF绕点O旋转，旋转过程中，EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）则CE，CF，BC之间满足的数量关系是 （2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“BCD120的菱形ABCD”，其他条件不变，当EOF60时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由（3）【拓展延伸】如图3，BOD120，OD，OB4，OA平分BOD，AB，且OB2OA，点C是OB上一点，CAD60，求OC的长6（1）【问题发现】如图，正方形AEFG
6、的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF填空：线段CF与DG的数量关系为 ；直线CF与DG所夹锐角的度数为 （2）【拓展探究】如图，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图进行说明（3）【解决问题】如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC10，O为AC的中点若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为 （直接写出结果）2022年中考压轴题型(三)规律探索参考答案与试题解析一解答题（共6小题）1如图，在RtABC中，ACB90，在CB上截取CDCA，连接AD，过点C作CEAB于点E
7、，交AD于点F（1）如图1，若D为BC边的中点，且CE2，BE4，求线段AD的长度；（2）如图2，过点C作CGAD于点G，延长CG交AB于点H，连接BG若12，求证：CF+BHBG（3）如图3，过点C作CGAD于点G，把AGC绕点C顺时针旋转，记旋转后的AGC为AGC，过点A作直线AMGC交直线AC于点M，连接BM当ACDB时，直接写出线段BM的最小值【解答】解：（1）CE2，BE4，且CEAB，CB2，D为BC的中点，CDCB，在RtACD中，ACB90，CDCA，AD；（2）ACCD，且CGAD，AGGCGD，AGH90，1+CHEDAB+CHE90，1DAB，又AGHCGF90，AGCG
8、，AGHCGF（AAS），CFAH，AD2AC2+CD22CD2，GDAD，CD2DGAD，ADCD，DAB12，且ADBGDB，ADBBDG，BD2DGADCD2，BDCD，BABG，BABH+AH，AHCF，BH+CFBG；（3）GCAM，AMCACG45CDA，A、C、D、M四点共圆，M在以AD为直径，G为圆心的圆上运动，当M在BG上时，MB最小，ACCD，AD2，AGDG1，如图3，延长BG交圆G于N，连接CN、DM，MNAD2，N+CDM180，BDM+CDM180，NBDM，又DBMDBM，DBMBNC，即BM（BM+2），解得BM或1（舍去），故线段BM的最小值为12数学课上，有
9、这样一道探究题如图，已知ABC中，ABACm，BCn，BAC（0180），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为，探究的值和的度数与m、n、的关系请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：【问题发现】小明研究了60时，如图1，求出了的值和的度数分别为，60；小红研究了90时，如图2，求出了的值和的度数分别为，45；【类比探究】他们又共同研究了120时，如图3，也求出了的值和的度数；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：（用含m、n的式子表示）
10、；（用含的式子表示）（2）求出120时的值和的度数【解答】解：（1）如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，当60时，ABC和PDC都是等边三角形，PCDACB60，PCCD，ACCB，F、E分别是CD、BC的中点，又ACPECF，ACPECF，CEFCAP，QACB60，当90时，ABC和PDC都是等腰直角三角形，PCDACB45，PCCD，ACCB，F、E分别是CD、BC的中点，又ACPECF，ACPECF，CEFCAP，QACB45，由此，可归纳出，ACB；（2）当120，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，ABAC，E为BC的中点，AEBC，CAE60sin60，同理可得：
11、，又ECFACP，PCAFCE，CEFCAP，QACB303（1）【探究发现】如图1，正方形ABCD两条对角线相交于点O，正方形A1B1C1O与正方形ABCD的边长相等，在正方形A1B1C1O绕点O旋转过程中，边OA1交边AB于点M，边OC1交边BC于点N则线段BM、BN、AB之间满足的数量关系是 ABBN+BM四边形OMBN与正方形ABCD的面积关系是S四边形OMBNS正方形ABCD；（2）【类比探究】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“含60的菱形ABCD”，即B1OD1DAB60，且菱形OB1C1D1与菱形ABCD的边长相等当菱形OB1C1D1绕点O旋转时，保持边OB1交边AB
12、于点M，边OD1交边BC于点N请猜想：线段BM、BN与AB之间的数量关系是 BN+BMAB；四边形OMBN与菱形ABCD的面积关系是S四边形OMBNS菱形ABCD；请你证明其中的一个猜想（3）【拓展延伸】如图3，把（2）中的条件“B1OD1DAB60”改为“DABB1OD1”，其他条件不变，则sin；（用含的式子表示）sin2（用含的式子表示）【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD是正方形，ACBD，OABOBC45，OAOB，A1OC1AOB90，AOMBON，在AOM和BON中，AOMBON（ASA），AMBN，ABAM+BM，ABBN+BM，SAOMSBON，S四边形OMBNSAOB
13、S正方形ABCD，故答案为：ABBN+BM，；（2）猜想：BM+BNAB，S四边形OMBNS菱形ABCD理由：如图2中，连接MN四边形ABCD是菱形，B1OD1DAB60，ABC120，MON+MBN180，O，M，B，N四点共圆，OMNOBN60，MON60，MON是等边三角形，OMON，将OBN绕点O顺时针旋转60得到OHM，OMON，OMB+ONB180，边BN刚好落在AB上，即为MH，BM+BNBHOBOH，BOH60，OBH是等边三角形，BHOBAB，BM+BNAB，S四边形OMBNSOBHSOBAS菱形ABCD故答案为：BM+BNAB，；（3）如图3中，在AB上取一点的H，连接OH
14、，使得OHOB，OHOB，OBHOHB，ABDADB，DABBOH，BOHMON，MOHNOB，MON+MBN180，OMB+ONB180，OMB+OMH180，ONBOMH，OBNOHM（AAS），HMBN，BN+BMBH，BADBOH，sin，sin，sin2故答案为：sin，sin24如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEBC，垂足为点E，GFCD，垂足为点F（1）证明与推断：求证：四边形CEGF是正方形；推断：的值为 （2）探究与证明：将正方形的CEGF绕点C顺时针方向旋转（045），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CE
15、GF在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H，若AG4，GH，则BC2【分析】（1）由GEBC、GFCD结合BCD90可得四边形CEGF是矩形，再由ECG45即可得证；由正方形性质知CEGB90、ECG45，据此可得、GEAB，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG，只需证ACGBCE即可得；（3）证明AHGCHA，由相似三角形的性质得出，设BCCDADa，则ACa，求出a的值，则可得出答案【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，BCD90，BCA45，GEBC、GFCD，CEGCFGECF90，四边形CEGF是矩形，CGEECG45，EGEC，
16、四边形CEGF是正方形；由知四边形CEGF是正方形，CEGB90，ECG45，GEAB，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知BCEACG，在RtCEG和RtCBA中，cos45、cos45，ACGBCE，线段AG与BE之间的数量关系为AGBE；（3）由（2）知BCEACG，AGCBEC135，CGF45，AGC+CGF180，A、G、F三点共线CEF45，点B、E、F三点共线，BEC135，ACGBCE，AGCBEC135，AGHCAH45，CHAAHG，AHGCHA，设BCCDADa，则ACa，则由得，AH，则DHADAH，CHa，解得：a2，即BC2，故答案为：25（1）【探究发现】如
17、图1，EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，EOF90，将EOF绕点O旋转，旋转过程中，EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）则CE，CF，BC之间满足的数量关系是CE+CFBC（2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“BCD120的菱形ABCD”，其他条件不变，当EOF60时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由（3）【拓展延伸】如图3，BOD120，OD，OB4，OA平分BOD，AB，且OB2OA，点C是OB上一点，CAD60，求OC的长【解答】解：（1）如图1中，结论：CE
18、+CFBC理由如下：四边形ABCD是正方形，ACBD，OBOC，OBEOCF45，EOFBOC90，BOECOF，BOECOF（ASA），BECF，CE+CFCE+BEBC故答案为CE+CFBC（2）如图2中，结论不成立CE+CFBC理由：连接EF，在CO上截取CJCF，连接FJ四边形ABCD是菱形，BCD120，BCOOCF60，EOF+ECF180，O，E，C，F四点共圆，OFEOCE60，EOF60，EOF是等边三角形，OFFE，OFE60，CFCJ，FCJ60，CFJ是等边三角形，FCFJ，JFCOFE60，OFJCFE，OFJEFC（SAS），OJCE，CF+CECJ+OJOCBC，
19、（3）如图3中，由OB2OA可知BAO是钝角三角形，BAO90，作AHOB于H，设OHx在RtABH中，BH，OB4，+x4，解得x或，OH或，OA2OH1或3（舍弃），COD+CAD180，A，C，O，D四点共圆，OA平分COD，AOCAOD60，ADCAOC60，CAD60，ACD是等边三角形，由（2）可知：OC+ODOA，OC16（1）【问题发现】如图，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF填空：线段CF与DG的数量关系为 CFGD；直线CF与DG所夹锐角的度数为 45（2）【拓展探究】如图，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否
20、仍然成立，请利用图进行说明（3）【解决问题】如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC10，O为AC的中点若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为 （直接写出结果）【解答】解：（1）连接AF，四边形AEFG、ABCD是正方形，GAF45，点A、F、C三点共线，AC，AFAG，CFGD，故答案为：CFGD，45；（2）仍然成立，连接AF，AC，CADFAG45，CAFDAG，CAFDAG，CFDG，ACFADG，CODCAD45，（1）中的结论仍然成立；（3）连接CE，BACDAE90，BADCAE，ABAC，ADAE，BADCAE（SAS），ABDACE45，DCE90，当OECE时，OE最小，AC10，O为AC的中点OC5，OCE45，OEOC，故答案为：
