1、成都七中20212022学年度（上）高三年级半期考试数学试卷（理科）(试卷总分:150分,考试时间:120分钟)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=0,1,2,3,4,5,6,集合A=1,2,4,B=1,3,5,则A(U B)=() A.0,6B.1,4C.2,4D.3,52.复数z=4-3i(其中i为虚数单位)的虚部为( )2+iA.-2B.-1C.1D.23.青少年视力被社会普遍关注,为了解他们的视力状况,经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值ai(i=1,2,3,12)(五分记录法)的茎叶图,其中茎表
2、示个位数,叶表示十分位数.如果执行右图所示的算法程序,那么输出的结果是( )A.4B.5C.6D.74.抛物线y2=2px(p0)上的一点P(-9,12)到其焦点F的距离|PF|等于( )A.17B.15C.13D.115.已知一个几何体的三视图如右,则它的表面积为() A.3B.4C.5D.66理科数学(第1 页,共4页)6.在x2 -1的展开式中,x项的系数为()3xA.-20B.-15C.15D.207.在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,BAD=60,E是BC 的中点,则ACAE=()A.3B.4C.5D.68.“为第二象限角”是“sina-3cosa1”的()A.充分不必要条
3、件B.必要不充分条件三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个题目考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.理科数学(第4页,共4页)17.(12分)已知nN*,数列an的首项a =1,且满足下列条件之一:a=an +1 ;12nan+1 =(n+1)an.(只能从中选择一个作为已知)（1）求an的通项公式;（2）若an的前n 项和Snb0)的短轴长为23,左顶点A到右焦点F的距离（1）求椭圆C的方程及离心率;（2）设直线l与椭圆C交于不同两点M,N(不同于A),且直线AM和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数,求
4、F在l上的射影H的轨迹方程.21.(12分)已知函数f(x)=ex-ksinx在区间(0, )内存在极值点.2（1）求实数k 的取值范围;（2）求证:在区间(0,)内存在唯一的,使f()=1,并比较与2的大小(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy中,伯努利双纽线C(如图)的普通方程为(x2+y2)2=2(x2-y2),直x=tcosa线l的参数方程为y=tsina(其中a(0,),t 为参数).4（1）以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 求C和l的极坐标方程;
5、（2）设A,B是C与x 轴的交点,M,N是C与l的交点(四点均不同于O),当变化时, 求四边形AMBN的最大面积.23.选修4-5:不等式选讲(10分)设M为不等式|x+1|+4|3x-1|的解集.（1）求M;（2）若a,bM,求|ab-a-b|的最大值.成都七中20212022学年度（上）半期考试高三数学试题参考答案及评分意见(理科)一、选择题:(每小题5分,共60分)CABCBADADCDB二、填空题:(每小题5分,共20分)13、xN,2xx2；14、(-,3)；15、1；16、0.4(2分);0.256(3分).23三、解答题:(共70分)高三(上)半期考试数学(理科)参考答案（第1页
6、,共4页）17、解:（1）若选择条件,则由已知得2nn+1nan+1 =2nan+2.(2分)所以2an是首项为2,公差为2的等差数列,故2an =2n.(4分)n*于是an的通项公式为an = n-1 ,nN.(5分)2或解：若选择条件,则由已知得a=1a+(n+1)-n,于是a-n+1=1(a -n ).(2分)n+12 n2nn+12n2n2n-11又a1-02=0,所以an-n2n-1为常数数列0.(4分)于是an-n2n-1=0,故an的通项公式为an= n2n-1,nN*.(5分)若选择条件,则由已知得an+1 =n+11an2 n.(2分)所以an是首项为1,公比为1的等比数列,
7、故an =1 .(4分)n2nn*2n-1于是an的通项公式为an = n-1 ,nN.(5分)2或解：若选择条件,则由已知得an+1 =an1n+12n.(2分)于是an =anan-1an-1an-2La2a1a1 =n12n-1nn-1*n-1n-2L21=1n2n-1 .(4分)于是an的通项公式为an = n-1 ,nN.(5分)2(注:如果选择两个条件作答,则以第一个计分;若两个条件同时使用,则不计分)（2）因为S=1+2+3+L+n-1+n ,n2021112322n-12n-2n2n-1所以Sn2= +2122+ +L+232n-1+ .(6分)2n11111n两式错位相减,得
8、Sn =0 +1 +2 +L+n-1 -n222222(7分)1-1=2n1-12-n =2-n+2.(9分)2n2n又b=3,所以a2-c2=3.(2分)2yx2解得a=2,c=1.故椭圆C的方程为+=1.(3分)43椭圆C的离心率e=1.(4分)2（2）当直线l垂直于y 轴时,直线AM,AN的斜率乘积为正,与已知矛盾.(5分)故可设l的方程为x=ty+m(m-2),代入3x2+4y2=12,并整理得(3t2+4)y2+6mty+3(m2-4)=0.(6分)设M(ty1+m,y1),N(ty2+m,y2),则y1+y2=-6mt3t2+4,y1y23(m2 -4)=3t2+4.()(7分)因
9、为A(-2,0),由kAMkAN=-1,得2(ty1y1y2+m+2)(ty2+m+2)=-1 .2整理得(t2+2)yy +(m+2)t(y+y)+(m+2)2=0.(8分)121 2将(*)式代入,得3(m2-4)(t2+2)-6m(m+2)t2+(m+2)2(3t2+4)=0.因为m-2,化简得3(m-2)(t2+2)-6mt2+(m+2)(3t2+4)=0.(9分)化简得3(m-2)+2(m+2)2=0,解得m=2(此时0恒成立),所以直线l经过定点P(2,0).(10分)55又因为PHFH,所以H的轨迹是以PF为直径的圆(除去点F).(11分)故点H的轨迹方程为(x-7)2+y2 =
10、109100(x1).(12分)(说明:未注明除去点F和x1,整体只扣1分)21、解：（1）求导,得f(x)=ex-kcosx.(1分)当k1时,因为x(0, ),于是kcosxcosx1-kcosx 0.(2分)2此时f(x)在区间(0, )内单调递增,故f(x)在区间(0, )内无极值点.(3分)22当k1时,易知f(x)在区间(0,)内单调递增.(4分)2又f(0)=1-k0,所以存在唯一的a(0,),使得f(a)=0.(5分)22综上可知,所求实数k 的取值范围是(1,+).(6分)或解：求导,得f(x)=ex-kcosx.(1分)1由f(x)=0,得=kcosxex(显然k0).(2
11、分)设函数k(x)=cosx(0x),则k(x)=-(sinx+cosx)0.(3分)ex2ex所以k(x)在区间(0, )内单调递减.(4分)21又k(0)=1,k( )=0,故01.(5分)2k于是所求实数k 的取值范围是(1,+).(6分)（2）由（1）知,当0x时,f(x)0;当ax 0.(7分)2又当x0恒成立,2所以f(x)在区间(0,)内单调递减,在区间(,)内单调递增.(8分) 故当0x时,f(x)1,所以在区间(0,)内存在唯一的,使得f()=1,且(,).(9分) 由f(a)=0,得kcosa=ea,所以f(2a)=e2a-2ksinacosa=ea(ea-2sina).(
12、10分)设函数g(a)=ea-e-a-2sina(0a2-2cosa0.2所以g()在区间(0, )内单调递增,故g()g(0)=0,即ea-2sinae-a,于是f(2)1.(11分)2又f()=1,所以f(2)f().因为f(x)在区间(,)内单调递增,且2,(,),所以2.(12分)22、解：（1）由(x2+y2)2=2(x2-y2)得4=2(2cos2-2sin2).(1分) 于是2=2(cos2-sin2),所以C的极坐标方程为2=2cos2.(2分)由直线l的参数方程可知,l经过坐标原点O,且倾斜角为a(0a),(3分)4所以l的极坐标方程为q=a(rR,0a).(4分)4（2）易
13、知曲线C关于点O对称,所以四边形AMBN为平行四边形.(5分)又OA=2, OM =2cos2a,其中a(0,).(6分)4所以AMBN的面积S=4SDOAM =2OAOMsina=4sina2cos2a.(7分)2于是S=2 22sin2a(1-2sin2a)222sina+(1-2sin2a)=2.(9分)故四边形AMBN的最大面积为2(当且仅当sina=1即a=时取得).(10分)2623、解：（1）当x-1,此时无解;(1分)1当-1x311时,原不等式化为(x+1)+4-(3x-1),得x-1,故-1x31;(2分)当x3时,原不等式化为(x+1)+43x-1,得x3,故3x3;(3分)所以原不等式的解集M=x|-1x3.(4分)（2）因为a,bM,所以|a-1|2,|b-1|2. 所以|ab-a-b|=|(a-1)(b-1)-1|(a-1)(b-1)|+1=|a-1|b-1|+122+1=5.(5分) (7分)(9分)故|ab-a-b|的最大值为2(当且仅当a=3,b=-1,或a=-1,b=3时取得).(10分)
