1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五章 平面向量 第一节 平面向量的概念及线性运算 本节主要包括 2 个知识点： 1.平面向量的有关概念； 平面向量的线性运算 . 突破点 (一 ) 平面向量的有关概念 基本知识 名称 定义 备注 向量 既有 大小 又有 方向 的量叫做向量；向量的大小叫做向量的 长度 (或称模 ) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 长度为 0 的向量；其方向是 任意的 记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位 的向量 非零向量 a 的单位向量为 a|a| 平行向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量 0 与任一向量平行或共线 相等向量 长度 相等 且方向
2、相同 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 相等 且方向 相反 的向量 0 的相反向量为 0 基本能力 1判断题 (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量 ( ) (2) 若 a b， b c，则 a c.( ) (3)若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定不可能都是零向量 ( ) 答案： (1) (2) (3) 2填空题 (1)给出下列命题： 若 a b， b c，则 a c； 若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； a b 的充要条件是 |a| |b|且 a b； 其中正确命题
3、的序号是 _ 解析： 正确 a b， a， b 的长度相等且方向相同， 又 b c， b， c 的长度相等且方向相同， =【 ;精品教育资源文库 】 = a， c 的长度相等且方向相同，故 a c. 正确 AB DC ， | AB | | DC |且 AB DC ， 又 A， B， C， D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则 AB DC 且 | AB | | DC |，因此 ， AB DC . 不正确当 a b 且方向相反时，即使 |a| |b|，也不能得到 a b，故 |a| |b|且 a b 不是 a b 的充要条件，而是必要
4、不充分条件 综上所述，正确命题的序号是 . 答案： (2)若 a、 b 都为非零向量，则使 a|a| b|b| 0 成立的条件是 _ 答案： a 与 b 反向共线 全析考法 平面向量的有关概念 典例 (1)(2018 海淀期末 )下列说法正确的是 ( ) A长度相等的向量叫做相等向量 B共线向量是在同一条直线上的向量 C零向量的长度等于 0 D AB CD 就是 AB 所在的直线平行于 CD 所在的直线 (2)(2018 枣庄期末 )下列命题正确的是 ( ) A若 |a| |b|，则 a b B若 |a|b|，则 ab C若 a b，则 a b D若 |a| 0，则 a 0 解析 (1)长度相
5、等且方向相同的向量叫做相等向量，故 A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故 B 不正确；显然 C 正确；当 AB CD 时， AB 所在的直线与 CD 所在的直线可能重合，故 D 不正确 (2)对于 A，当 |a| |b|，即向量 a， b 的模相等时，方向不一定 相同，故 a b 不一定成立；对于 B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故 B 不正确； C 显然正确；对=【 ;精品教育资源文库 】 = 于 D，若 |a| 0，则 a 0，故 D 不正确，故选 C. 答案 (1)C (2)C 易错提醒 (1)两个向量不能比较大小，只可以判
6、断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上 全练题点 1给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定 是共线向量； a 0( 为实数 )，则 必为零； ， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线 其中错误的命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析：选 D 错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点 错误，当 a 0 时，不论 为何值， a 0. 错误，当 0 时， a b 0，此时， a 与 b 可以是任意向量错误的命题有 3 个，故选 D. 2关
7、于平面向量，下列说法正确的是 ( ) A零向量是唯一没有方向的向量 B平面内的单位向量是唯一的 C方向相反的向量是共线向量，共线向量不一 定是方向相反的向量 D共线向量就是相等向量 解析：选 C 对于 A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A 不正确；对于 B，单位向量的模为 1，其方向可以是任意方向，故 B 不正确；对于 C，方向相反的向量一定是共线向 量，共线向量不一定是方向相反的向量，故 C 正确；对于 D，由共线向量和相等向量的定义可知 D 不正确，故选 C. 3.如图， ABC 和 A B C 是在各边的 13处相交的两个全等的等边三角形，设 ABC 的边长为 a，图中列出了长度
8、均为 a3的若干个向量，则 (1)与向量 GH 相等的向量有 _； (2)与向量 GH 共线，且模相等的向量有 _； (3)与向量 EA 共线，且模相等的向量有 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：向量相等 ?向量方向相同且模相等 向量共线 ?表示有向线段所在的直线平行或重合 答案： (1) LB ， HC (2) EC ， LE ， LB ， GB ， HC (3) EF ， FB ， HA ， HK ， KB 突破点 (二 ) 平面向量的线性运算 基本知识 1向量的线性 运算 向量运算 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： a b b a；结合律
9、：(a b) c a (b c) 减法 求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算 a b a ( b) 数乘 求实数 与向量 a的积的运算 | a| | |a|，当 0 时， a 与a的方向 相同 ；当 0 时， a 与 a 的方向 相反 ；当 0时， a 0 ( a) ( )a； ( )a a a； (a b) a b 2.平面向量共线定理 向量 b 与 a(a 0)共线的充要条件是 有且只有一个实数 ，使得 b a. 基本能力 1判断题 (1)a b 是 a b( R)的充要条件 ( ) (2) ABC 中， D 是 BC 的中点，则 AD 12( AC AB ) ( ) 答案： (1)
10、 (2) 2填空题 (1)化简： =【 ;精品教育资源文库 】 = AB MB BO OM _. NQ QP MN MP _. 答案： AB 0 (2)若菱形 ABCD 的边长为 2，则 | AB CB CD | _. 解析： | AB CB CD | | AB BC CD | | AD | 2. 答案： 2 (3)在 ?ABCD 中， AB a， AD b， AN 3 NC ，则 AN _(用 a， b 表示 ) 答案： 34a 34b 全析考法 平面向量的线性运算 应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可注意加法的三角形法则要求 “ 首尾相接 ” ，加法的平行四边形法则要求 “ 起点相
11、同 ” ；减法的三角形法则要求 “ 起点相同 ” 且差向量指向 “ 被减向量 ” ；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算 例 1 (1)(2018 河南中原名校联考 )如图，在直角梯形 ABCD中， AB 2AD 2DC， E 为 BC 边上一点， BC 3 EC ， F 为 AE 的中点，则 BF ( ) A.23 AB 13 AD B.13 AB 23 AD C 23 AB 13 AD D 13 AB 23 AD (2)(2018 深圳模拟 )如图所示，正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点，若 AC AM BD ，则 ( ) A.43 B.53 C.158 D 2 解
12、析 (1) BF BA AF BA 12 AE =【 ;精品教育资源文库 】 = AB 12( AD 12 AB CE ) AB 12? ?AD 12 AB 13 CB AB 12 AD 14 AB 16( CD DA AB ) 23 AB 13 AD . (2)因为 AC AM BD ( AB BM ) ( BA AD ) ? ?AB 12 AD ( AB AD ) ( ) AB ? ?12 AD ，且 AC AB AD ，所以? 1，12 1，得? 43， 13，所以 53，故选 B. 答案 (1)C (2)B 方法技巧 1 平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算
13、法则求解 (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解 2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置 (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式 (3)比较、观察可知所求 平面向量共线定理的应用 求解向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线 (3)直线的向量式参数方程： A， P， B 三点共线 ? OP (1 t) OA
