1、试卷第 1 页，共 7 页 广东省东莞市广东省东莞市 20202020- -20212021 学年高一下学期期末数学试题学年高一下学期期末数学试题 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题一、单选题 1设复数z满足i2iz=+，其中i为虚数单位，则复数z对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知向量()1,1ex=，()22,3ex= 共线，则x的值为（ ） A-1 B0 C1 D2 3如图是水平放置的ABO的斜二测直观图A B O ，D是O B 的中点，则ABO中长度最长的线段为（ ） AOA BOB CAD DAB 4已知一组数据为 85，87，88，90，9
2、2，则这组数据的第 60 百分位数为（ ） A87 B87.5 C89 D91 5已知圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A5 56 B8 23 C20 53 D64 23 6“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得105OBA=，45OAB=，45mAB =，在点B处测得塔顶T的仰角为 30，则塔高OT为（ ） 试卷第 2 页，共 7 页 A15 6m B15 2m2 C45 6m D45 2m2 72021 年 3 月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝
3、中国共产党成立 100 周年”党史知识竞赛.经统计，得到前 200 名学生分布的饼状图（如图）和前 200 名中高一学生排名分布的频率条形图（如图） ，则下列命题错误的是（ ） A成绩前 200 名的 200 人中，高一人数比高二人数多 30 人 B成绩第 1-100 名的 100 人中，高一人数不超过一半 C成绩第 1-50 名的 50 人中，高三最多有 32 人 D成绩第 51-100 名的 50 人中，高二人数比高一的多 8在四边形ABCD中，/AB CD，=24ABCD =，4AC =，5BD =，则AD的长为（ ） A10 B11 C13 D15 二、多选题二、多选题 9袋子中有 1
4、 个红球，1 个黄球，1 个蓝球，从中取两个球，每次取一个球，取球后不放回，设事件A =第一个球是红球，B =第二个球是黄球，则下列结论正确的是（ ） AA与B互为对立事件 BA与B互斥 试卷第 3 页，共 7 页 C( )( )P AP B= D()12P AB = 10已知复数()0z z ，z是z的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A若zz=，则zR B若1z =，则1z z= C若zRz，则zR D若220zz+=，则0z = 11已知a与b均为单位向量，其夹角为，则下列结论正确的是（ ） A210,3ab+ B21,3ab+ C10,3ab D1,3ab 12如图，在正方体1111
5、ABCDABC D中，M，N，P分别为棱1BB，11BC，1CC的中点，则下列结论正确的是（ ） A1AC 平面1D MN B点P与点D到平面1D MN的距离相等 C平面1D MN截正方体1111ABCDABC D所得截面图形为等腰梯形 D平面1D MN将正方体1111ABCDABC D分割成的上、下两部分的体积之比为7:17 三、填空题三、填空题 13如图，由 A，B两个元件组成一个串联电路，元件 A，B正常工作的概率分别为0.9 和 0.8，则电路正常工作的概率为_. 14广场上的玩具石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.如果被截试卷第 4 页，共 7 页 正方体的棱长为2
6、2，那么玩具石凳的表面积为_. 15已知点1,0A，()0,1B，C为坐标平面内一点，且1AB AC= ，则满足条件的点C的一个坐标为_. 四、双空题四、双空题 16“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体（如图）.如图所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中APC与BPD为相互垂直且全等的半椭圆面，它们的中心为O，OP为 1.用平行于底面ABCD的平面去截“四脚帐篷”所得的截面图形为_；当平面经过OP的中点时，截面图形的面积为_. 五、解答题五、解答题 17设复
7、数zxy=+i，000zxy=+i，记复数z与0z分别对应复平面内的点(),Z x y和()000,Zxy. （1）根据复数及其运算的几何意义，求Z和0Z两点间的距离； 试卷第 5 页，共 7 页 （2）已知0zzr=（r为正实数）表示动点Z的集合是以点0Z为圆心，r为半径的圆.那么满足条件()11 i3z+的点Z的集合是什么图形？并求出该图形的面积. 18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.现有下列四个条件：3a =，2b =，()3cossinbaCaC=，2222 33acbac+= . （1）两个条件可以同时成立吗？请说明理由； （2）请在上述四个条件中选择使ABC有解的
8、三个条件，并求出ABC的面积. 19如图，四棱锥PABCD中，ABCD为正方形，E为PC中点，平面PAD 平面ABCD，4AB =，2 2PAPD=. （1）证明：/PA平面BDE； （2）证明：ABPD； （3）求三棱锥CBDE的体积. 20如图，斜坐标系xOy中，1e，2e 分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且1e，2e 的夹角为 120，定义向量12OPxeye=+ 在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对(), x y，在斜坐标系xOy中完成下列问题： （1）若向量OP 的坐标为（2，3） ，计算OP 的大小； （2）若向量OM 的坐标为()11,xy，向量ON的坐标为()22,xy，
9、判断下列两个命题的真假，并说明理由. 试卷第 6 页，共 7 页 命题：若/OM ON ，则12210 x yx y=；命题：若OMON ，则12120 x xy y+=. 214 月 23 日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为 100 的样本，其中男生 40名，女生 60 名.经调查统计，分别得到 40 名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和 60 名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图： （以各组的区间中点值代表该组的各个值） 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 )0,2 9 )2,
10、4 25 )4,6 3 )6,8 3 （1）从一周课外阅读时间为)4,6的学生中按比例分配抽取 6 人，从这 6 人中任意抽取 2 人，求恰好一男一女的概率； （2）分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数x，y； （3）估计总样本的平均数z和方差2s. 参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为22.4s=男和试卷第 7 页，共 7 页 23s=女.()()()()404060602222211111100iiiiiisxxxzyyyz=+，()040ixi 和()060iyi 分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中iZ. 22如图，“雪糕筒”为校园中常见的交通标识，
11、其可以近似的看成一个圆锥，如图，放置在水平地面上的某型号“雪糕筒”底面直径20AB =，母线60PB =，该“雪糕筒”绕点B被放倒后A、B、P在同一条直线上. （1）求“雪糕筒”被放倒后最高点离水平地面的距离； （2）求直线PB与圆面O所成的角的余弦值； （3）若放倒后的“雪糕筒”绕点P沿水平地面旋转一周，请说明旋转一周形成的曲面所围成的旋转体的特征（不用说明理由）. 答案第 1 页，共 14 页 参考答案：参考答案： 1D 【解析】 【分析】 利用复数的除法计算出z后可得其对应的点所处的象限. 【详解】 21 2izii+= ，该复数对应的点为()1, 2，它在第四象限中.故选 D. 【点睛
12、】 如果复数( ,)zabi a bR=+，那么它对应的复平面上的点为(), a b，复平面上的点与复数之间是一一对应的. 2A 【解析】 【分析】 由向量共线的坐标表示可得3(2)0 xx=，即可求x的值. 【详解】 由题意，3(2)0 xx=，解得1x = . 故选：A 3D 【解析】 【分析】 根据斜二测法，判断ABO的形状，进而确定其最长线段. 【详解】 由斜二测直观图A B O 知：ABO是直角三角形且OAOB， 斜边AB是ABO中长度最长的线段. 故选：D 4C 【解析】 【分析】 根据一组数的百分位数的定义直接计算即可. 答案第 2 页，共 14 页 【详解】 该组数据从小到大排
13、序为 85，87，88，90，92，共 5 个数据，而5 60%3=， 所以这组数据的第 60 百分位数为8890892+=. 故选：C. 5B 【解析】 【分析】 作出示意图，求出外接球半径，再根据体积公式即可解得. 【详解】 如图，O为外接球球心，母线 BB1长度为 2，底面半径 r=O2B=1，易得外接球半径22222ROBOOO B=+=， 外接球体积()3482233V=. 故选：B. 6A 【解析】 【分析】 先在AOB中利用正弦定理求45 2OB =，再在BOT中求tan30OTOB=即可. 【详解】 依题意，AOB中，30AOB=，sinsinABOBAOBOAB=，即45si
14、n30sin45OB=， 解得45 2OB =. 答案第 3 页，共 14 页 在BOT中，tantan30OTOBTOB=，即3tan3045 215 6m3OTOB= =. 故选：A. 7D 【解析】 【分析】 根据饼状图和条形图提供的数据判断 【详解】 由饼状图，成绩前 200 名的 200 人中，高一人数比高二人数多200 (45%30%)30=，A正确； 由条形图知高一学生在前 200 名中，前 100 和后 100 人数相等，因此高一人数为1200 45%45502=和1ab，等价于21ab+，即2221aba b+ ，即22cos1+，即1cos2 ，而0，故1ab+20,3，即
15、 A 正确，B 错误； 1ab，等价于21ab，即2221aba b+ ，即22cos1，而0，故10,3ab ，即 C 正确，D 错误. 故选：AC. 12BCD 【解析】 【分析】 假设1AC 平面1D MN，证得111D NAC，显然不成立，即得 A 错误；证明1,A M N D四点共面，即得截面四边形，再结合平行关系和长度关系即判断 C 正确；利用线面平行的判定定理证明/DP平面1D MN，即证 B 正确；计算分割的上面部分棱台的体积和正方体体积，即得下面部分体积，证得 D 正确. 【详解】 正方体1111ABCDABC D中，不妨设棱长为 2. 假设1AC 平面1D MN，则11AC
16、D N，而1C C 底面1111DCBA，则11C CD N，1AC与1CC相交于平面1AC C内，所以1D N 平面1AC C，则111D NAC，显然不成立，即选项 A 错误； 连接1AD，AM，由11/MN BCAD知，1,A M N D四点共面，即为平面1D MN截正方体答案第 6 页，共 14 页 1111ABCDABC D所得截面图形，而1MNAD，15D NAM=，故截面图形为等腰梯形，C 正确； 由/AD MP,=AD MP知四边形ADPM是平行四边形，所以/DP AM，且DP 平面1D MN，AM 平面1D MN，故/DP平面1D MN，所以点P与点D到平面1D MN的距离相
17、等，选项 B 正确； 平面1D MN将正方体1111ABCDABC D分割的上面部分是棱台111B MNA AD，上底面面积为12S =，下底面面积为2S =，高112hAB=，所以体积()111 1712233 23VSSSS h=+=+ +=，而正方体体积为8V =，所以分割的下面部分体积2717833V =，所以12717VV=，即选项 D 正确. 故选：BCD. 130.72 【解析】 【分析】 利用相互独立事件同时发生的乘法公式计算即可. 【详解】 串联电路中，元件 A，B均正常工作时电路才正常工作，故电路正常工作的概率为0.9 0.80.72=. 故答案为：0.72. 14248
18、3+ 【解析】 【分析】 答案第 7 页，共 14 页 分别计算每个表面和每个顶点被截后的图形的面积，再计算表面积即可. 【详解】 依题意，六个表面被截后，都是正方形，边长为 2，每个正方形的面积为 4，八个顶点被截后，都是等边三角形，边长为 2，每个三角形的面积为23234=，所以玩具石凳的表面积为6 483248 3S = + =+. 故答案为：248 3+. 15()1,1（形如(), x x的坐标均正确） 【解析】 【分析】 设(),C x y，利用1AB AC= 解得, x y的关系，即得结果. 【详解】 设(),C x y，则()()1,1 ,1,ABACxy= = ，()11AB
19、 ACxy= += ， 解得yx=，即C点只要满足横纵坐标相同就符合题意，例如()1,1. 故答案为：()1,1.（形如(), x x的坐标均正确） 16 正方形 3 【解析】 【分析】 根据题设，易知平面与各半圆的相交线段相等且垂直，即可知截面形状，再由平面经过OP的中点，计算平面与各半圆的相交线段的长度，即可求截面面积. 【详解】 答案第 8 页，共 14 页 由题知底面 ABCD 是正方形 因为 APC 与 BPD 为相互垂直且全等的半椭圆面 所以平面与各半椭圆面的相交线段相等且垂直,故其截面为正方形. 如图,正方形1111DCBA即为平面与四脚帐篷所截的图形,面1111ABC DOPE
20、= 取11AB的中点F,作平面 PFO,则平面 PFO 与四脚帐篷的交线为一个圆,半径1OP = 所以1OF = 当平面经过 OP 的中点,即12OE =时,213122EF= 所以正方形1111DCBA的边长为3 即截面图形的面积为333= 故答案为 ：正方形;3 17 （1）()()2200 xxyy+； （2）以点（1，1）为圆心、半径分别为 1 和 3 的两个圆所形成的圆环形图形（含边界） ；8. 【解析】 【分析】 （1）求出()000| ZZ |,xx yy=，即得解； （2）()1 i1z +=表示的动点Z的集合是以点（1，1）为圆心、1 为半径的圆，方程()1 i3z +=表示
21、的动点Z的集合是以点（1，1）为圆心、3 为半径的圆，即得解. 【详解】 解： （1）复数zxy=+i，000zxy=+i，分别对应向量(),OZx y=，()000,OZxy=， 所以() ()00000,ZZZZOZOZxyx y= ()()()220000,xx yyxxyy=+ （2）由题知方程()1 i1z +=表示的动点Z的集合是以点（1，1）为圆心、1 为半径的圆， 方程()1 i3z +=表示的动点Z的集合是以点（1，1）为圆心、3 为半径的圆， 答案第 9 页，共 14 页 故不等式()11 i3z+表示的动点Z的集合是以点（1，1）为圆心、半径分别为 1 和 3的两个圆所形
22、成的圆环形图形（含边界） ， 所以该圆环形图形的面积为22318S=. 18 （1）不能，理由见解析； （2）：32S =；：222S=. 【解析】 【分析】 （1）由及正弦定理，利用两角和正弦公式及三角形内角的性质求A，由及余弦定理，结合三角形内角的性质确定B的范围，进而根据三角形内角和，即可判断是否可以同时成立. （2）由（1）知：条件组合有或，根据所选的条件组合，应用正余弦定理及三角形面积公式求ABC的面积. 【详解】 （1）由及正弦定理得()3 sinsincossinsinBACAC=，又()BAC=+， ()3sinsincossinsinACACAC+=，即3cossinsins
23、inACAC=， sin0C ， 3cossinAA=，即tan3A =，又()0,A， 3A=. 由得2222 333cos223acacbBacac+= ，又()0,B，3132 ， 23B不符合题意， ABC不能同时满足条件. （2）ABC同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满足， 满足三角形有解的所有组合为或. 若选择组合：由sinsinabAB=，得32sin32B=，解得sin1B =，又()0,B， 2B=，即ABC为直角三角形，解得1c =， 答案第 10 页，共 14 页 ABC的面积131322S = =. 若选择组合：由2222cosbacacB=+，即2210cc+
24、=，解得21c =， 由3cos3B = ，且()0,B，得6sin3B =， ABC的面积122sin22SacB=. 19 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）83. 【解析】 【分析】 （1）连接AC，交BD于点O，连接OE，先利用中位线定理证明/OE PA，再利用线面平行的判定定理证明结论即可； （2）先利用面面垂直的性质证明AB 平面PAD，再利用线面垂直的性质定理证明线线垂直即可. （3）利用等体积法求解C BDEE BCDVV=即可. 【详解】 证明： （1）连接AC，交BD于点O，连接OE， 因为四边形ABCD为正方形，所以点O为AC的中点， 又E为PC的中点，所以/
25、OE PA， 又因为PA平面BDE，OE 平面BDE， 所以/PA平面BDE； （2）因为四边形ABCD为正方形，所以ABAD， 又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，AB平面ABCD， 所以AB 平面PAD， 答案第 11 页，共 14 页 因为PD 平面PAD，所以ABPD； （3）取AD中点F，连接PF， 因为PAPD=，所以PFAD，又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PF 平面PAD，PF平面ABCD，即点P到底面的距离为PF. 由4ABAD=，2 2PAPD=， 得()22222 222PFPAAF=，182BCDSBCCD=， 记
26、点E到平面BCD的距离为h，因为E为PC的中点，所以112hPF=， 所以1188 1333C BDEE BCDBCDVVSh= =. 20 （1）7； （2）命题是真命题，命题是假命题，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）依题意1223OPee=+ ，再利用()221223OPOPee=+ 展开计算，即得结果； （2） ，结合向量共线定理，分别讨论22120ONxyee=+= 和22210ONxyee=+ 时12210 x yx y=，即证命题是真命题；直接利用垂直关系计算()12121221102OM ONx xy yx yx y=+= ，说明12210 x yx y+时结论不成立，即
27、证命题是假命题. 【详解】 解： （1）由题知()122,323OPee=+ ，12121211,cos1202eee eee= = = 故()221223OPOPee=+ 221122141294 12972ee ee=+=+ += ； （2）由题知1112OMeexy=+ ，2122ONx ey e=+ ， 命题是真命题，证明如下： 当22120ONxyee=+= 时，即220 xy=，显然12210 x yx y=. 当22210ONxyee=+ 时，即2x，2y至少一个不为 0，不妨设20y ， 若/OM ON ，则存在R，使得OMON= ，故()1 1122122x ey ex ey
28、 e+=+ ， 答案第 12 页，共 14 页 即()()1211220 xxeyye+= ，因为1e、2e 不共线，所以121200 xxyy=， 由12yy=代入120 xx=得11220yxxy=，即12210 x yx y=. 综上所述，命题“若/OM ON ，则12210 x yx y=”是真命题. 命题是假命题，证明如下： 若OMON ，则() ()11221212OM ONxyeeexy e=+ ()22121122112122x x ex yx y e ey y e=+ ()12121221102x xy yx yx y=+=. 当12210 x yx y+时，结论12120
29、x xy y+=不成立， 所以命题“若OMON ，则12120 x xy y+=”是假命题. 21 （1）13； （2）3x =，4y =； （3）3.6z =，23s =. 【解析】 【分析】 （1）分析数据，列举基本事件，利用古典概型的概率公式求概率； （2）计算样本的平均数，估计总体的平均数； （3）分别计算总样本的平均数和方差即可. 【详解】 解： （1）一周课外阅读时间为)4,6的学生中男生有 3 人，女生有12 60158 =人， 若从中按比例分配抽取 6 人，则男生有 1 人，记为a，女生有 5 人，记为1b，2b，3b，4b，5b， 则样本空间123451 21 31 41 5
30、2 3242 53 43 54 5,ab ab ab ab ab bb bb bb bb b b b b b b b b b b b b =， 记事件A =“恰好一男一女”，则12345,Aab ab ab ab ab=， 所以( )51153P A =， 所以从这 6 人中任意抽取 2 人恰好一男一女的概率为13； （2）估计男生一周课外阅读时间平均数1 93 255 37 3340 x + + + =； 答案第 13 页，共 14 页 估计女生一周课外阅读时间的平均数11112 12 32 52 74244812y = + + + =. （3）估计总样本的平均数3 404 603.6100
31、z+ =， ()40221140iixxs=男，()22601160iiyys=女 ()40221402.4 4096iixxs=男，()22160603 60180iiyys= =女， ()()402214033.614.4ixz=，()()602216043.69.6iyz=， 2196 14.49.6 1803100s =+=， 所以估计总样本的平均数和方差分别是 3.6 和 3. 22 （1）10 353； （2）1718； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）由图可知，“雪糕筒”绕点B被放倒后A，B，P在同一条直线上，根据轴截面A P B 与地面垂直，判断出点A为放倒后的最
32、高点，在A P B 中，利用等面积法求出最高点A离水平地面的距离； （2）由题知，先证明PBA为直线PB与圆面O所成的角，设PBA=，则2PBA=，在Rt PBO中，利用余弦的定义和二倍角公式求出直线PB与圆面O，所成的角的余弦值； （3）根据旋转体的定义直观想象可得. 【详解】 解： （1）由图可知，“雪糕筒”绕点B被放倒后A，B，P在同一条直线上，所以轴截面A P B 与地面垂直，故点A为放倒后的最高点，在A P B 中，60P B=，10B O =，所以10 35P O =， 所以1122A P BSBP hA B P O =， 解得10 353h =，即最高点A离水平地面的距离为10
33、353. 答案第 14 页，共 14 页 （2）由题知，轴截面PAB 圆面O，且轴截面PAB 水平地面，轴截面P A B 圆面O，且轴截面PAB 水平地面， 因为A、B、P在同一条直线上，所以P，A，B，P，A五点共面， 故平面PA B圆面O，即直线PA在圆面O内的射影为直线A B， 所以PBA为直线PB与圆面O所成的角， 设PBA=，则2PBA=， 在Rt PBO中，101cos606=， 所以()217coscos2cos21 2cos18PBA= = =， 所以直线PB与圆面O所成的角的余弦值为1718. （3）如图所示，放倒后的“雪糕筒”绕点P沿水平地面旋转一周形成的曲面所围成的旋转体为半球（第一个得分点）被平行于底面的平面截去平面上方的部分，留下截面与底面之间的部分（第二个得分点） ，再挖去一个以截面圆为底面、球心为顶点的圆锥（第三个的分点）所剩下的部分. 【点睛】 立体几何的计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法.
