1、数 学（正卷）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上）1.已知，则 2.若复数，则复数的模= 3.某市有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么= 4.函数的定义域是 5.如右图所示的流程图的运行结果是 6.高三（5）班演讲兴趣小组有女生3人，男生2人，现从中任选2 名学生去参加校演讲比赛 ,则参赛学生恰好为1名男生和1名女生的概率是 7.在平面直角坐标系中，直线为双曲线 的一条渐近线，则该双曲线
2、的离心率为 8.已知，则的值为 9.设公比不为1的等比数列满足,且成等差数列，则数列的前4项和为 10.曲线在点处的切线与直线互相垂直，则实数的值为 11. 已知，且，则的最小值为 12.已知直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数 13.已知平面向量，满足，的夹角等于，且，则的取值范围是 14.关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为 二、解答题：（本大题共6小题,共90分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15. （本小题满分14分）在三角形中，角所对的边分别为，若，角为钝角，（1）求的值；（2）求边的长16. （本小题满分14分）如图所示，在三棱柱中，
3、 为正方形，是菱形，平面平面（1）求证：平面；（2）求证：；17（本小题满分14分）已知椭圆E：的离心率为，且过点右焦点为F（1）求椭圆E的方程；（2）设过右焦点为F的直线与椭圆交于 AB两点，且，求直线AB的方程18（本小题满分16分）如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10和20，从建筑物的顶部看建筑物的视角（1）求的长度；（2）在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？19. （本小题满分16分）已知数列、满足：.（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求实数a为何值时恒成立20. （本小题满分1
4、6分）已知函数（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）当时，求证：；（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论2020届高三12月联合调研测试数 学（加试）每小题10分，计40分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为1,属于特征值5的一个特征向量为2=求矩阵A，并写出A的逆矩阵22.在极坐标系中，求曲线与的交点的极坐标23.在三棱锥SABC中,底面是边长为的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱SA和底面成45角(1) 若D为侧棱SA上一点，当为何值时，BDAC
5、；(2) 求二面角SACB的余弦值大小 24.已知（其中）当时，计算及；记，试比较与的大小，并说明理由数 学（正卷）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1. 2. 3.40 4. 5.12 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.二、解答题：（本大题共6小题,共90分）15.解：（1）因为角为钝角，所以，2分又，所以，且， 4分所以6分 8分（2）因为，且，所以，10分又，12分则，所以 14分16.证明：在菱形中，. 2分因为 平面，平面，所以 平面 6分（2）连接在正方形中， 因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面 8分因为 平面， 所以 10分
6、在菱形中，因为 平面，平面，所以 平面 12分 因为 平面， 所以 14分 17（1）解：因为，所以，b=c， 2分设椭圆E的方程为将点P的坐标代入得：，4分所以，椭圆E的方程为 6分（2）因为右焦点为F（1,0），设直线AB的方程为：，代入椭圆中并化简得：， 8分设，因为，所以，即， 10分所以，即，解得，所以，12分所以直线AB的方程为：或 14分18解：（1）作，垂足为，则，设，则，2分化简得，解之得，或（舍）6分答：的长度为 8分（2）设，则，10分设，令，因为，得，12分当时，是减函数；当时，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值，14分因为恒成立，所以，所以，因为在上是增函
7、数，所以当时，取得最小值答：当为时，取得最小值16分19.解：（1），2分 数列是以4为首项，1为公差的等差数列4分 ， 6分（2） 8分10分 12分由条件可知恒成立即可满足条件，设，当时，恒成立, 13分当时，由二次函数的性质知不可能成立14分当时，对称轴，f(n)在为单调递减函数 ，a1时恒成立 15分综上知：时，恒成立 16分20（1）解： 2分所以过点的切线方程为，所以，解得或 4分（2）证明：即证，因为，所以即证，设，则令，解得 6分减极小增所以 当时，取得最小值 8分 所以当时， 9分（3）解：等价于，等价于，且10分令，则令，得或，11分减极小增极大减 12分（I）当时， ，所
8、以无零点，即F(x)定义域内无零点13分（II）当即时，若，因为，所以在只有一个零点，而当时，所以F(x) 只有一个零点；14分（）当即时，由（II）知在只有一个零点，且当时，所以F(x)恰好有两个零点； 15分（）当即时，由（II）、（）知在只有一个零点，在只有一个零点，在时，因为，只要比较与的大小，即只要比较与的大小，令，因为，因为，所以，所以，即，所以，即在也只有一解，所以F(x)有三个零点； 16分综上所述：当时，函数F(x)的零点个数为0； 当时，函数F(x)的零点个数为1；当时，函数F(x)的零点个数为2；当时，函数F(x)的零点个数为3 数 学（加试）21.解：由矩阵A属于特征值
9、1的一个特征向量为1可得，即； 3分 由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为2，可得5，即， 6分解得即A， 8分A的逆矩阵是 10分22.将直线与圆分别化为普通方程得， 直线与圆， 4分易得直线与圆切于点Q， 6分所以交点Q的极坐标是 10分 23.以O点为原点,OC为x轴,OA为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以，所以所以O(0,0,0)，C(,0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B(,0,0)2分/（1）设AD=a，则D(0,3a,a)，所以=(,3a,a)，=(,3,0)若BDAC，则=33(3a)=0，解得a=2，而AS=3，所以
10、SD=，所以5分(2)因为=(0,3,3)，=(,-3,0)设平面ACS的法向量为n1=(x,y,z),则令z=1，则x=，y=1，所以n1=(,1,1)7分而平面ABC的法向量为n2=(0,0,1), 8分所以cos=，又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为.10分24.解：（1）当时，取，得， 取时，得，取时，得，将-得：，所以 4分（2）由（1）可知，要比较与的大小，只要比较与，只要比较与， 5分当时，左边=5，右边=4，所以左边右边；当时，左边=13，右边=16，所以左边右边；当时，左边=35，右边=42，所以左边右边；当时，左边=97，右边=96，所以左边右边； 6分猜想当时，左边右边，即 下面用数学归纳法证明： 当时已证； 7分假设当时成立， 则当时，左边， 8分因为，所以，即当时不等式也成立所以对的一切正整数都成立9分综上所述：当或时，当或时10分
