1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 【考点自测】 1 (2017 全国 ) 已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线方程为 y52 x，且与椭圆 x212y23 1 有公共焦点，则 C 的方程为 ( ) A.x28y210 1 B.x24y25 1 C.x25y24 1 D.x24y23 1 答案 B 解析 由 y 52 x，可得 ba 52 . 由椭圆 x212y23 1 的焦点为 (3,0)， ( 3,0)， 可得 a2 b2 9. 由 可得 a2 4， b2 5. 所以 C 的方程为 x24y25 1.故选 B. 2 (201
2、7 全国 ) 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为 ( ) A. 63 B. 33 C. 23 D.13 答案 A 解析 由题意知，以 A1A2为直径的圆的圆心为 (0,0)，半径为 a.又直线 bx ay 2ab 0 与圆相切， 圆心到直线的距离 d 2aba2 b2 a，解得 a 3b， ba 13， e ca a2 b2a 1 ?ba2 1?132 63 . 故选 A. 3 (2017 全国 ) 已知 F 为抛物线 C： y2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂
3、直的直线 l1， l2，=【 ;精品教育资源文库 】 = 直线 l1与 C 交于 A， B 两点，直线 l2与 C 交于 D， E 两点，则 |AB| |DE|的最小值为 ( ) A 16 B 14 C 12 D 10 答案 A 解析 因为 F 为 y2 4x 的焦点， 所以 F(1,0) 由题意知直线 l1， l2的斜率均存在，且不为 0，设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为 1k，故直线 l1， l2的方程分别为 y k(x 1)， y 1k(x 1) 由? y k?x 1?，y2 4x， 得 k2x2 (2k2 4)x k2 0. 显然，该方程必有两个不等实根 设 A(x1， y1)，
4、 B(x2， y2)，则 x1 x2 2k2 4k2 ， x1x2 1， 所以 |AB| 1 k2| x1 x2| 1 k2 ?x1 x2?2 4x1x2 1 k2 ? ?2k2 4k22 4 4?1 k2?k2 . 同理可得 |DE| 4(1 k2) 所以 |AB| |DE| 4?1 k2?k2 4(1 k2) 4? ?1k2 1 1 k2 8 4? ?k2 1k2 8 42 16， 当且仅当 k2 1k2，即 k 1 时，取得等号 故选 A. 4 (2017 北京 )若双曲线 x2 y2m 1 的离心率为 3，则实数 m _. 答案 2 解析 由双曲线的标准方程知 a 1， b2 m， c
5、 1 m， 故双曲线的离心率 e ca 1 m 3， 1 m 3，解得 m 2. 5 (2017 山东 )在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右支与焦点为 F=【 ;精品教育资源文库 】 = 的抛物线 x2 2py(p 0)交于 A， B 两点，若 |AF| |BF| 4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 _ 答案 y 22 x 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由? x2a2y2b2 1，x2 2py，得 a2y2 2pb2y a2b2 0， 显然，方程必有两个不等实根 y1 y2 2pb2a2 .又 | AF| |BF| 4|
6、OF|， y1 p2 y2 p2 4 p2，即 y1 y2 p， 2pb2a2 p，即b2a212， ba22 ， 双曲线的渐近线方程为 y 22 x. 题型一 求圆锥曲线的标准方程 例 1 (2018 佛山模拟 )设椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，上顶点为 B.若 |BF2| |F1F2| 2，则该椭圆的方程为 ( ) A.x24y23 1 B.x23 y2 1 C.x22 y2 1 D.x24 y2 1 答案 A 解析 | BF2| |F1F2| 2， a 2c 2， a 2， c 1， b 3， 椭圆的方程为 x24y23 1. 思维升华 求圆锥曲线
7、的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程 跟踪训练 1 已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆 (x 2)2 y2 3 相切，则双曲线的方程为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.x29y213 1 B.x213y29 1 C.x23 y2 1 D x2 y23 1 答案 D 解析 双曲线 x2a2y2b2 1 的一个焦点为 F(2,0)， 则 a2 b2 4， 双曲线的渐近线方程为 y bax， 由题意得 2ba2 b2 3， 联立 解得 b 3， a 1， 所求双
8、曲线的方程为 x2 y23 1，故选 D. 题型二 圆锥曲线的几何性质 例 2 (1)(2018 届辽宁凌源二中联考 )已知圆 E： (x 3)2 (y m 4)2 1(m R)，当 m 变化时，圆 E 上的点与原点 O 的最短距离是双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率，则双曲线C 的渐近线为 ( ) A y 2 x B y 12x C y 3x D y 33 x 答案 C 解析 圆 E 的圆心到原点的距离 d 32 ?4 m?2， 由此可得，当 m 4 时，圆 E 上的点与原点 O 的最短距离是 dmin 3 1 2，即双曲线的离心率为 e ca 2， 由此可得 ba
9、c2 a2a 3， 双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的渐近线为 y bax 3x.故选 C. (2)(2016 天津 )设抛物线? x 2pt2，y 2pt (t 为参数， p0)的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C? ?72p， 0 ， AF 与 BC 相交于点 E.若 |CF| 2|AF|，且 ACE=【 ;精品教育资源文库 】 = 的面积为 3 2，则 p 的值 为 _ 答案 6 解析 由? x 2pt2，y 2pt (p0)消去 t 可得抛物线方程为 y22px(p0)， F? ?p2， 0 ， 又 |CF| 2|AF|且
10、|CF| ? ?72p p2 3p， | AB| |AF| 32p， 可得 A(p， 2p) 易知 AEB FEC， |AE|FE| |AB|FC| 12， 故 S ACE 13S ACF 133 p 2p 12 22 p2 3 2， p2 6， p0， p 6. 思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关 键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力 跟踪训练 2 (2017 全国 ) 若双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线被圆 (x 2)2y2 4 所截得的
11、弦长为 2，则 C 的离心率为 ( ) A 2 B. 3 C. 2 D.2 33 答案 A 解析 设双曲线的一条渐近线方程为 y bax， 圆的圆心为 (2,0)，半径为 2， 由弦长为 2 得出圆心到渐近线的距离为 22 12 3. 根据点到直线的距离公式，得 |2b|a2 b2 3，解得 b2 3a2.所以 C 的离心率 e ca c2a21 b2a2 2. 故选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型三 最值、范围问题 例 3 (2017 浙江 )如图，已知抛物线 x2 y，点 A? ? 12， 14 ， B? ?32， 94 ，抛物线上的点 P(x，y)? ? 12 x 32 ，
12、过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q. (1)求直线 AP 斜率的取值范围； (2)求 |PA| PQ|的最大值 解 (1)由 P(x， y)，即 P(x， x2) 设直线 AP 的斜率为 k，则 kx2 14x 12 x 12， 因为 12 x 32. 所以直线 AP 斜率的取值范围为 ( 1,1) (2)联立直线 AP 与 BQ 的方程? kx y 12k 14 0，x ky 94k 32 0，解得点 Q 的横坐标是 xQ k2 4k 32?k2 1? . 因为 |PA| 1 k2? ?x 12 1 k2(k 1)， |PQ| 1 k2(xQ x) ?k 1?k 1?2k2 1 ，
13、所以 |PA| PQ| (k 1)(k 1)3， 令 f(k) (k 1)(k 1)3， 因为 f( k) (4k 2)(k 1)2， 所以 f(k)在区间 ? ? 1， 12 上单调递增， ? ?12， 1 上 单调递减因此当 k 12时， |PA| PQ|取得最大值 2716. 思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考=【 ;精品教育资源文库 】 = 虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线的几何意义求最值与范围 跟踪训练 3 (2016 山东
14、 )平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： x2a2y2b21(ab0)的离心率是 32 ，抛物线 E： x2 2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. 求证：点 M 在定直线上； 直线 l 与 y 轴交于点 G，记 PFG 的面积为 S1， PDM 的面积为 S2，求 S1S2的最大值及取得最大值时点 P 的坐标 (1)解 由题意知 a2 b2a 32 ，可得 a2 4b2，
15、因为抛物线 E 的焦点为 F?0， 12 ，所以 b12，a 1，所以椭圆 C 的方程为 x2 4y2 1. (2) 证明 设 P? ?m， m22 (m0)，由 x2 2y，可得 y x，所以直线 l 的斜率为 m，因此直线 l 的方程为 y m22 m(x m) 即 y mx m22. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x0， y0) 联立方程? x2 4y2 1，y mx m22，得 (4m2 1)x2 4m3x m4 1 0. 由 0，得 0|MN| 2， 点 P 的轨迹 C 是以 M， N 为焦点的椭圆， 2 a 4,2c 2， b a2 c2 3， 点 P 的轨迹 C 的方程为 x24y23 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， G(m,0)( 20，得 k2m29b2 9m2， 又 b m k3m，所以 k2m29? ?m k3m 2 9m2， 得 k2k2 6k，所以 k0. 所以 l 不过原点且与 C 有两个交点
