1、 广东省广州市番禺区广东省广州市番禺区 2020-2021 学年高二下学期数学期末考试试卷学年高二下学期数学期末考试试卷 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1.已知集合 = | 1 ， = 1,0,1,2 ，则 = （ ） A.2 B.1，2 C.0，1，2 D.| 1 2.在复平面内，复数 (1 + 2) 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.在 ( 12)6 的展开式
2、中，常数项为（ ） A.15 B.15 C.30 D.30 4.已知圆 2+ 2= 1 截直线 = ( + 1)( 0) 所得弦的长度为 1，那么 k 的值为（ ） A. 12 B. 33 C. 1 D. 3 5.已知随机变量 X 服从二项分布，即 (,) ，且 () = 2 ， () = 1.6 ，则二项分布的参数 n，p 的值为（ ） A. = 4 ， =12 B. = 6 ， =13 C. = 8 ， =14 D. = 10 ， =15 6.科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量 可以近似看作时间 的函数，记作 () ，其瞬时变化率 () 和 () 的关系为 () =
3、() ，其中 为常数在下列选项所给函数中， () 可能是（ ） A.() =e0.2 B.() = 0.2sin C.() = 2ln( + 2) D.() = 6( + 1)1 7.已知 ， 是单位向量， 2 ，若 ，则| |（ ） A.3 B.7 C.3 D.2 8.音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦某二和弦可表示为 () = sin2 + sin3 ，则函数 = () 的图象大致为（ ） A.B. C.D. 二、多选题二、多选题（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小
4、题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9.锐角三角形 的面积是 12 ， = 1 ， = 2 .则（ ） A. = 45 B. = 135 C. = 1 D. = 5 10.2021 年 5 月 7 日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗（Vero 细胞） ， 获得世卫组织紧急使用授权， 纳入全球“紧急使用清单” （EUL） .世卫组织审评认为该疫苗的效力 78
5、.1%，最高达 90%， 安全性良好， 临床试验数据中没有发现安全问题.所谓疫苗的效力， 是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到 注射疫苗的效力=对照组发病率疫苗组发病率对照组发病率 100% .关于注射疫苗，下列说法正确的是（ ） A.只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎 B.注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低 C.若对照组 10000 人，发病 100 人；疫苗组 20000 人，发病 40 人.则效力为 80% D.若某疫苗组的效力为 80%， 对照组的发病率为 50%.那么在
6、10000 个人注射该疫苗后， 一定有 1000 个人发病 11.如图，正四棱锥 SBCDE 底面边长与侧棱长均为 a，正三棱锥 ASBE 底面边长与侧棱长均为 a，则下列说法正确的是（ ） A.ASCD B.正四棱锥 SBCDE 的外接球半径为 22 C.正四棱锥 SBCDE 的内切球半径为 (1 22) D.由正四棱锥 SBCDE 与正三棱锥 ASBE 拼成的多面体是一个三棱柱 12.关于函数 () = + sin ， (,) .下列说法正确的是（ ） A.() 在 (0,(0) 处的切线方程为 2 + 1 = 0 B.() 有两个零点 C.() 有两个极值点 D.() 存在唯一极小值点
7、0 ，且 1 (0) 0, 0,0 0 ，若存在 12,1 ，使得不等式 () 0) 所得弦的长度为 1，那么 k 的值为（ ） A. 12 B. 33 C. 1 D. 3 【答案】 D 【考点】直线与圆的位置关系 【解析】【解答】圆 2+ 2= 1 的圆心为 (0,0) ，半径 = 1 ， 圆心 (0,0) 到直线 = ( + 1) 的距离 =|2+1 ， 由 2= 2+ (12)2 得 1 =22+1+14 ，得 2= 3 ， 又因为 0 ，所以 = 3 . 故答案为：D 【分析】 先由点到直线的距离公式，求得圆心（0，0）到直线的距离，再由弦长公式，即可得解 5.已知随机变量 X 服从二
8、项分布，即 (,) ，且 () = 2 ， () = 1.6 ，则二项分布的参数 n，p 的值为（ ） A. = 4 ， =12 B. = 6 ， =13 C. = 8 ， =14 D. = 10 ， =15 【答案】 D 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】【解答】解：随机变量 X 服从二项分布，即 (,) ，且 () = 2 ， () = 1.6 ， 可得 = 2 ， (1 ) = 1.6 ，解得 = 0.2 ， = 10 ， 故答案为：D. 【分析】 利用离散型随机变量的期望与方差公式，转化求解即可 6.科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量 可以近似看作时间
9、的函数，记作 () ，其瞬时变化率 () 和 () 的关系为 () = () ，其中 为常数在下列选项所给函数中， () 可能是（ ） A.() =e0.2 B.() = 0.2sin C.() = 2ln( + 2) D.() = 6( + 1)1 【答案】 A 【考点】变化的快慢与变化率 【解析】【解答】由题意，瞬时变化率 () 和 () 的关系为 () = () ， 对于 A 中，函数 () = 0.2 ，可得 () = 0.20.2 ，所以 () = 0.2() ，符合题意； 对于 B 中，函数 () = 0.2sin ，可得 () = 0.2cos ，不符合题意； 对于 C 中，函数
10、 () = 2ln( + 2) ，可得 () =2+2 ，不符合题意； 对于 D 中，函数 () = 6( + 1)1 ，可得 () = 6( + 1)2 ，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合瞬时变化率 () 和 () 的关系为 () = () ， 再利用导数的运算法则和复合函数的求导方法，从而得出函数 () 可能的解析式。 7.已知 ， 是单位向量， 2 ，若 ，则| |（ ） A.3 B.7 C.3 D.2 【答案】 C 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】因为 ， 是单位向量， 2 ， ，
11、 则 = ( + 2) = 2+ 2 = 0 = 12 2= 12 ， 所以 | | = 2=( + 2)2= 2+ 42+ 4 = 12+ 4 12+ 4 (12) = 3 。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合单位向量的定义，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则得出 的值， 再利用数量积求向量的模的公式结合数量积 的值， 进而求出向量的模， 即 | | 的值。 8.音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦某二和弦可表示为 () = sin2 +
12、 sin3 ，则函数 = () 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【考点】函数的图象 【解析】【解答】 () = sin2 + sin3 定义域为 R. 因为 () = sin(2) + sin(3) = (sin2 + sin3) = () ，则 () 为奇函数，排除 D； 在区间 (0，6) 上， () 0 ，函数图像在 x 轴上方，排除 C； 在区间 (0，6) 上， = sin2 和 = sin2 都是增函数，函数图像增长最快，排除 B； 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合正弦型函数的定义域结合交集的运算法则，进而求出函数 f(x)的定义域，再利用奇函数的
13、定义判断出函数为奇函数，再利用增函数的定义判断出函数为增函数，再结合在区间 (0，6) 上， () 0 ，函数图像在 x 轴上方，进而结合排除法找出函数的大致图象。 二、多选题二、多选题 9.锐角三角形 的面积是 12 ， = 1 ， = 2 .则（ ） A. = 45 B. = 135 C. = 1 D. = 5 【答案】 A,C 【考点】余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】 锐角三角形 的面积是 12 ， =12 sin =12 1 2 sin =12 ， sin =22 ， 为锐角， = 45 ，A 选项正确，B 选项错误， 在 中，运用余弦定理， 可得 2= 2+ 2 2 c
14、os = 1 + 2 2 1 2 22= 1 ， = 1 ，C 选项正确，D 选项错误 故答案为：AC 【分析】利用已知条件结合三角形的面积公式，进而求出角 B 的正弦值，再利用锐角三角形中角 B 的取值范围，进而求出角 B 的值；再利用余弦定理求出 AC 的长，进而找出正确的选项。 10.2021 年 5 月 7 日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗（Vero 细胞） ， 获得世卫组织紧急使用授权， 纳入全球“紧急使用清单” （EUL） .世卫组织审评认为该疫苗的效力 78.1%，最高达 90%， 安全性良好， 临床试验数据中没有发现安全问题.所谓疫苗的效力，
15、 是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到 注射疫苗的效力=对照组发病率疫苗组发病率对照组发病率 100% .关于注射疫苗，下列说法正确的是（ ） A.只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎 B.注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低 C.若对照组 10000 人，发病 100 人；疫苗组 20000 人，发病 40 人.则效力为 80% D.若某疫苗组的效力为 80%， 对照组的发病率为 50%.那么在 10000 个人注射该疫苗后， 一定有 1000 个人发病 【答案】 B,C 【考点】概
16、率的应用 【解析】【解答】解：由题意，疫苗的效力 78.1% ，最高达 90% ，但不是注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎，A 不符合题意； 由题意， 疫苗的效力 78.1% ， 最高达 90% ， 所以注射该种新冠疫苗， 能使新冠肺炎感染的风险大大降低，B 符合题意； 若对照组 10000 人， 发病 100 人； 疫苗组 20000 人， 发病 40 人， 则注射疫苗的效力 =10010000402000010010000 100% =80% ，C 符合题意； 若某疫苗组的效力为 80% ，对照组的发病率为 50% ，只是反应了一个概率问题，并不能说明在 10000个人注射该疫苗后，
17、一定有 1000 个人发病，D 不符合题意 故答案为：BC 【分析】利用已知条件结合概率的应用，从而找出说法正确的选项。 11.如图，正四棱锥 SBCDE 底面边长与侧棱长均为 a，正三棱锥 ASBE 底面边长与侧棱长均为 a，则下列说法正确的是（ ） A.ASCD B.正四棱锥 SBCDE 的外接球半径为 22 C.正四棱锥 SBCDE 的内切球半径为 (1 22) D.由正四棱锥 SBCDE 与正三棱锥 ASBE 拼成的多面体是一个三棱柱 【答案】 A,B,D 【考点】棱柱的结构特征，棱锥的结构特征，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】【解答】如图所示： A
18、 选项：取 中点 连接 , ，正三棱锥 中， , 又 = ，所以 平面 ，则 ，又 / 所以 ，A 符合题意； B 选项：设底面中心为 1 ，球心为 半径为 ，因为正四棱锥 SBCDE 外接球球心在 1 上，所以 = = ，因为，正四棱锥 SBCDE 底面边长与侧棱长均为 a， 所以 1 = 1 =22 ，由 2= 12+ (1 )2 得 2= (22)2+ (22 )2 ， 解得 =22 ，B 符合题意； C 选项：设内切球半径为 ，易求得侧面面积为 =12 2sin3=342 ， 由等体积法得 13222 =132 + 4 13342 解得 =(62)4 ，C 不符合题意； D 选项： 取
19、 中点 ， 连结 ， ， ， 则 和 分别是 和 的二面角的平面角，由 cos =2+222=(32)2+(32)2(2)22(32)2= 13 ， cos =2+222=(32)2+(32)222(32)2=13 ，故 与 互补，所以 共面，又因为 = = = ，则 为平行四边形，故 / ，故正四棱锥 SBCDE 与正三棱锥 ASBE 拼成的多面体是一个三棱柱，所以 D 符合题意。 故答案为：ABD 【分析】利用正四棱锥的结构特征，再结合线线垂直的判断方法、再利用正四棱锥与外接球的位置关系，进而结合勾股定理求出正四棱锥 SBCDE 的外接球半径，再利用正四棱锥与内切球的位置关系，再结合等体积
20、法求出正四棱锥内切球的半径，取 中点 ，连结 ， ， ，则 和 分别是 和 的二面角的平面角， 再利用余弦定理得出 与 互补， 所以 共面，再利用 = = = ，则 为平行四边形，故 / ，再结合已知条件结合多面体的构成方法，再结合三棱柱的结构特征，进而得出由正四棱锥 SBCDE 与正三棱锥 ASBE拼成的多面体是一个三棱柱，从而找出说法正确的选项。 12.关于函数 () = + sin ， (,) .下列说法正确的是（ ） A.() 在 (0,(0) 处的切线方程为 2 + 1 = 0 B.() 有两个零点 C.() 有两个极值点 D.() 存在唯一极小值点 0 ，且 1 (0) 0 时，
21、()= sin 1 0 1 = 0 ， 当 0 , ()= sin 0 ， (,) 时， () 0 ， () = + cos 单调递增， (34) = 3422 222 0 ， 在 (,) 内， () = + cos 存在唯一的零点 0 ,且 0 (34,2) ， 且在 (,0) 内， () 0 ， () 单调递增， 0 为极值点，且为极小值点. 由 (0) = 0+ cos0= 0 ， (0) = 0+ sin0= sin0 cos0 ， 0 (34,2) ， 1 sin0 0,1 cos0 0,sin0 cos0 ， 1 sin0 cos0 0 ， () 有唯一的极值点，且为极小值点 0
22、，且 1 (0) 0,() = + sin = 0 , 结合函数 () 的单调性可知 () 有两个零点，B 符合题意； 故答案为：ABD. 【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再结合点斜式求出函数在切点处的切线方程；再利用已知条件结合函数的零点的求解方法，进而求出函数有两个零点；利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点； 利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性， 进而求出函数的极小值点， 再结合函数() 有唯一的极值点，且为极小值点 0 ，从而得出 1 (0) 0, 0,0 2) 由下列
23、四个条件中的三个来确定： 最小正周期为 ；最大值为 2； (6) = 0 ； (0) = 2 （1）写出能确定 () 的三个条件，并求 () 的解析式； （2）求 () 的单调递增区间 【答案】 （1）解：选条件，不能确定周期，求不出 ；选，不能确定最大值和最小值，求不出 ；选，求得的 不满足已知条件 0 2 只能选 条件， =2= ， = 2 ， = 2 ，由 (6) = 2sin(3+ ) = 0 ，又 0 2 得 =3 ， 所以 () = 2sin(2 +3) ； （2）解： 2 2 2 +3 2 +2 ， 512 +12 ， ， 所以增区间是 512, +12 ， 【考点】正弦函数的单
24、调性，由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【解析】【分析】 （1）若函数 f（x）满足条件，则由 f（0）=Asin=-2，推出与 A0， 0 2 矛盾，可得函数 f（x）不能满足条件，由条件，利用周期公式可求 =2，由条件，可得 A=2，由条 件，可得 (6) = 0 ，结合范围0 10.828 ， 所以有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关. （2）按照分层抽样的方法，抽取男生 2 人，女生 3 人. 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2. 所以 ( = 0) =203353=110 ， ( = 1) =213253=35 ， ( = 2) =22315
25、3=310 . 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 110 35 310 所以 () = 0 110+ 1 35+ 2 310=65 . 所以数学期望 () 为 65 . 【考点】独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1）利用已知条件填写完2 2列联表，再利用独立性检验的方法，进而判断出有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关。 （2） 按照分层抽样的方法，得出抽取男生 2 人，女生 3 人，再利用已知条件得出随机变量 X 的所有可能取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出随机变量 X 的分布列，再利用随机
26、变量 X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量 X 的数学期望。 21.已知椭圆 :26+ 2= 1 ， 经过原点的直线与椭圆 交于 ， 两点， 直线 与直线 垂直，且与椭圆 的另一个交点为 . （1）当点 为椭圆 的右顶点时，求证： 为等腰三角形； （2）当点 不是椭圆 的顶点时，求直线 和直线 的斜率之比. 【答案】 （1）设点 (0,0) ，则点 (0,0) ， 026+ 02= 1 ，可得 02= 1 026 ， 当点 为椭圆 的右顶点时， (6,0) ， = (0 6,0) ， = (20,20) ， = 20(0 6) + 202= 0 ，即 02 60+ 1 026= 0 ，
27、 整理可得 502 660+ 6 = 0 ，即 (50 6)(0 6) = 0 ， 由题意可知，点 不与点 重合，则 0=65 ，可得 02=2425 ， | = 202+ 02=2305 ， | = (0 6)2+ 02=2305 ， 即 | = | ， 因此， 为等腰三角形； （2）设点 (1,1) ，则 =1010 ， =1+01+0 ，则 =12021202 ， 由已知得 126+ 12= 1026+ 02= 1 ，两式相减得 12026+ 12 02= 0 ，可得 =12021202= 16 ， ， = 1 ，所以， =116= 6 . 【考点】椭圆的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
28、【解析】 【分析】(1) 设点 (0,0) ，则点 (0,0) ，再利用代入法得出 02= 1 026 ，当点 为椭圆 的右顶点时，从而求出点 M 的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示和已知条件，得出点 不与点 重合，进而求出 0 的值，再利用代入法可得 0 的值，再结合数量积求向量的模的公式求出| = | ，再结合等腰三角形的定义，从而判断出三角形 为等腰三角形。 （2） 设点 (1,1) ，再利用两点求斜率公式，从而求出 =12021202 ，再利用代入法结合已知条件，得出 126+ 12= 1026+ 02= 1 ，两式相减得出 12026+ 12 02=
29、0 ，可得 的值 ，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线 和直线 的斜率之比。 22.已知函数 () = ln ( + 2) + 2( ) . （1）讨论函数 () 的单调性； （2）设 0 ，若存在 12,1 ，使得不等式 () 0 恒成立，故函数在 (0,+) 上单调递增； 当 + 2 0 ，即 2 时，令 () =1 ( + 2) 0 ，解得 0 1+2 ，故函数在 (0,1+2) 上单调递增； 令 () =1 ( + 2) 1+2 ，故函数在 (1+2,+) 上单调递减； 综上所述，当 2 时，函数在 (0,+) 上单调递增；当 2 时，函数在 (0,1+2) 上单调递增，在
30、 (1+2,+) 上单调递减； （2）若存在 12,1 ，使得不等式 () 2 成立，即存在 12,1 ，使得不等式 () +2 0 成立， 令 () = () + 2= 2+ ln ( + 2) + 2 ， 12,1 ，则 ()min 0 ， () = 2 +1 ( + 2) =2(12)(1) 当 2 时， 112 ， () 0 在 12,1 上恒成立，故函数 () 在 12,1 上单调递增， ()min= (12) =4+ ln12 ( + 2) 12+ 2 4(1 ln2) ，所以 2 ； 当 1 2 时， 121 1 ， () 在 12,1 上单调递减，在 1,1 上单调递增，则 (
31、)min=(1) =1+ ln1 ( + 2) 1+ 2 = ln 1+ 1 令 () = ln 1+ 1 ， (1,2) ， () = 1+12=12 0 恒成立，即函数 () = ln 1+1 ， 在 (1,2) 上单调递减， 又 (1) = ln1 1 + 1 = 0 故 () = ln 1+ 1 0 在 (1,2) 上恒成立，即 ()min= ln 1+ 1 0 ，故 (1,2) 当 0 1 ， () 0 在 12,1 上恒成立，故函数 () 在 12,1 上单调递减， ()min= (1) = + ln1 ( + 2) 1 + 2 = 0 ，不符题意，舍去； 综上可得 (1,+) 【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数 f(x)的单调性。 （2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合不等式恒成立问题求解方法，利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，从而求出实数 m 的取值范围。
