1、5.3平面向量的数量积,第五章 平面向量,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作 b，则 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是 .,知识梳理,AOB,0，,2.平面向量的数量积,|a|b|cos ,|a|cos ,|b|cos ,|b|cos ,3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角.则(1)eaae|a|cos .(2)ab? .(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa 或|a|_.(4)cos .(5)|ab| .,ab0,|a
2、|b|,|a|2,4.平面向量数量积满足的运算律(1)ab ；(2)(a)b (为实数)；(3)(ab)c .,ba,(ab),a(b),acbc,5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2 或|a|_.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB| _.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab? .(4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角，则cos _.,x1x2y1y2,x2y2,x1x2y1y20,1.两个向量a，b的夹角为锐角?ab0且a，b不
3、共线；两个向量a，b的夹角为钝角?ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角.(),基础自测,1,2,3,4,5,6,题组二教材改编2.P105例4已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,12,解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.,3.P106T3已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.,2,
4、题组三易错自纠4.设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于_.,答案,1,2,3,4,5,6,解析,解析a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，,5.已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量 方向上的投影为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,6.已知ABC的三边长均为1，且 ，则abbcac_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，,题型分类深度剖析,1.设四边形ABCD为平行四边形， 4，若点M，N满足 等于A.20 B. 15 C.9 D.6,解析,答案,题型一平
5、面向量数量积的运算,自主演练,2.如图，已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则 的值为,解析,答案,平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.,命题点1求向量的模典例 (1)(2017湘中名校联考)平面向量a与b的夹角为45，a(1,1)，|b|2，则|3ab|等于,题型二平面向量数量积的应用,多维探究,答案,解析,(2)(
6、2017衡水调研)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则 的最小值为_.,答案,解析,5,解析建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，,命题点2求向量的夹角典例 (1)(2017山西四校联考)已知向量a，b满足(2ab)(ab)6，且|a|2，|b|1，则a与b的夹角为_.,答案,解析,解析(2ab)(ab)6，2a2abb26，又|a|2，|b|1，ab1，,(2)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于A.2 B.1C.1 D.2,答案,解析,(1)求解平
7、面向量模的方法写出有关向量的坐标，利用公式|a| 即可.当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a| .(2)求平面向量的夹角的方法定义法：cos ，注意的取值范围为0，.坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.,跟踪训练(1)(2017全国)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.,答案,解析,解析方法一,方法二(数形结合法),(2)(2017山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若 e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_.,答案,解析,典例 (2017广州海珠区摸底)在ABC
8、中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn .(1)求sin A的值；,题型三平面向量与三角函数,师生共研,解答,(2)若a ，b5，求角B的大小及向量 方向上的投影.,解答,平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.,跟踪训练在平面直角坐标系xOy中，已知向量m ，n
9、(sinx，cos x)，x .(1)若mn，求tan x的值；,解答,(2)若m与n的夹角为 ，求x的值.,解答,典例 已知直线y2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(1,1)，B(3,3).求使向量 夹角为钝角的充要条件.,利用数量积求向量夹角,现场纠错,纠错心得,现场纠错,错解展示,错解展示：,现场纠错,解错解中，cos |b|,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,解析方法一|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
10、,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二利用向量加法的平行四边形法则.,2.(2017河北唐山一模)已知向量a，b满足a(ab)2，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由a(ab)2，得a2ab2，即|a|2|a|b|cosa，b12cosa，b2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2017豫南九校联考)已知向量a(m,2)，b(2，1)，且ab，则 等于,解析,答案,1,2,
11、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析ab，2m20，m1，则2ab(0,5)，ab(3,1)，a(ab)13215，,解析,答案,4.(2018乐山质检)在ABC中，AB3，AC2，BC 等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2017沈阳质检)在ABC中， ，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则 等于,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由 0，又因为AB和AC为三
12、角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以ABC为直角三角形.以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2017驻马店质检)若O为ABC所在平面内任一点，且满足 0，则ABC的形状为A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2017全国)已知向量a(1,2)，b(m,1).若向量ab与a垂直，则m_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7,解析a
