1、,函数、导数及其应用,第 二 章,第12讲函数模型及其应用,栏目导航,1三种函数模型性质比较,递增,递增,递增,快,慢,y,x,2几种常见的函数模型,3解决函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)解模：求解数学模型，得出数学结论(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义,1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数y2x的函数值在(0，)上一定比yx2的函数值大()(2)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a
2、0)的增长速度()(3)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()(4)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中(),解析(1)错误当x(0,2)和(4，)时，2xx2，当x(2,4)时，x22x.(2)正确由两者的图象易知(3)错误增长越来越快的指数型函数是yabxc(a0，b1)(4)正确根据指数函数yax(a1)的函数值增长特点易知,2已知f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()Af(x)g(x)h(x)Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)
3、f(x)Df(x)h(x)g(x)解析由图象知，当x(4，)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x),B,3在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：,则x，y最适合的函数是()Ay2xByx21Cy2x2Dylog2x解析根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A项；将x2.01，y0.98代入计算，可以排除B，C项；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意故选D,D,4一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：h)的函数关系用图象表示为下图中的(),B,解析由题意知h205t(0t4)故选B,B,在
4、建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解，解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题,一二次函数模型,二指数函数、对数函数模型,一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解求解时注意指数式与对数式的互化、指数函数值域的影响以及实际问题中的条件限制,【例2】 (1)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，
5、则该食品在33 的保鲜时间是()A16小时B20小时C24小时D28小时,C,(2)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PAlg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：PA1；若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；假设科学家将B菌的个数控制在5万，则此时5PA5.5(注：lg 20.3)则正确的说法为_(写出所有正确说法的序号),三分段函数模型,(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型(2)求函数最值常利用基本(均值)不等式
6、法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值,1(2018北京西城35中期中)如图给出了某种豆类生长枝数y(单位：枝)与时间t(单位：月)的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是(),B,Ay2t2Bylog2tCyt3Dy2t解析由图象知模型越来越平滑，所以只有B项符合条件故选B,2李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L15x2900x16 000，L2300x2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为()A11 000元B22 000
7、元C33 000元D40 000元解析设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110x)辆，故利润L5x2900x16 000300(110x)2 0005x2600x15 0005(x60)233 000，所以当x60时，有最大利润33 000元故选C,C,3国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为()A3 000元B3 800元C3 818元D5 600元解析根据题意，若稿费为4 000元，则纳税部分是3 200元，纳税3 20014%448
8、(元)，超过了420元，所以他的稿费不足4 000元根据题意可知其稿费应该为42014%8003 800(元)故选B,B,4国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止旅行社需支付各种费用共计15 000元(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？,错因分析：(1)题意理解偏差，数学模型应用不准确；(2)数学计算不准，回答问题不符合实际含义,易错点函数应用问题,【跟踪训练1】 (2016四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2018年B2019年C2020年D2021年,B,
