1、高一数学试卷 第 1 页武汉市常青联合体 2021-2022 学年度第二学期期末考试高一数学试卷考试时间：2022 年 6 月 30 日试卷满分：150 分一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分）1已知aR，若有5ai（i为虚数单位），则a（）A1B2C2D2正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（）A32B48C64D3233在四边形ABCD中，DCAB3，E为边BC的中点，若ADABAE，则（）A16B1C76D564已知fx2sin x的部分图象如图所示，则fx的表达式为()A3fx2sinx24B35fx2sinx24C42fx2
2、sinx39D425fx2sinx31 85已知三条不同的直线,l m n和两个不同的平面, ，下列四个命题中正确的是（）A若/ /,/ /mn，则/mnB若/ /,lm，则/lm高一数学试卷 第 2 页C若,l，则lD若/ /,ll，则6已知cos4223，则sin 2的值是（）A79B29C29D797右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：AC/E B；AC与D G成60角；D GM N与成异面直线且D GM N；若NBABCD与面所成角为，则33sin其中正确的个数是（）A1B2C3D48已知函数sincosfxxax，周期T，13f，且在6x处取得最大值，则使得不
3、等式a 恒成立的实数的最小值为（）A92B152C212D272二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）9设向量2, 0a，11b，则（）AbaB/abbCabbDa与b的夹角为4高一数学试卷 第 3 页10设函数()sin23fxx，给出下列命题，不正确的是（）A()fx的图象关于直线3x对称B()fx的图象关于点, 01 2对称C把()fx的图象向左平移1 2个单位长度，得到一个偶函数的图象D()fx的最小正周期为，且在06,上为增函数11下列结论正确的是（）A在A
4、BC中，若AB，则sinsinABB已知2tan()5，1tan()44,则tan()4113C在ABC中，若2222bacac，3sin3B，则C6D正六棱台的上、下底面边长分别是cm2和cm6，侧棱长是cm5，则它的体积是3360cm12 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 棱长为 1， 点 P 为线段A1C 上的动点 （包含线段端点） ，则下列结论正确的是（）A当A1C = 3A1P时，/1PD平面 BDC1B当 P 为A1C 中点时，四棱锥 PAA1D1D 的外接球表面为29CAP + PD1的最小值为362高一数学试卷 第 4 页D当331PA时，点P是11DAB的重心三、填空题
5、（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分）13已知i是虚数单位，复数z的共轭复数1243zizi，求z_.14已知e为一个单位向量，a与e的夹角是1 20.若a在e上的投影向量为2e，则a_.15在ABC中，4B，BC边上的高等于BC31，则Acos_.16已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，其中1,2ADAB，侧棱PA底面ABCD，且直线PB与CD所成角的余弦值为255，则四棱锥PABCD的外接球体积为_.四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）如图，在正方体1111ABCD
6、A B C D中，E为11B D的中点，ACBDO.求证：（1）AC平面11B BD D；（2）/ /D E平面1ACB.高一数学试卷 第 5 页18 （本小题满分 12 分）已知函数12 sincossin333xxxfx ，在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，(1) 求函数fC的最大值，并求出此时C的值；(2) 若28fC，且238bac，求cosB的值19（本小题满分 12 分）如图所示,四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,BCD=60,E 是 CD 的中点,PA底面 ABCD,PA=3.(1) 证明:平面 PBE平面 PAB；(2) 求二面角 A
7、 BE P 的大小.20（本小题满分 12 分） 在cos2A3sinAsinC= cos2B + sin2C， 2bcos(A +3)= c，(abc)(a + bc) + (2 +3)ac =0，在三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_.(1) 求角B；(2) 若 b=2，求 3c + 2a的取值范围.21（本小题满分 12 分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施， 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢高一数学试卷 第 6 页往上转，可以从高处俯瞰四周景色如右图，该摩天轮轮盘直径为 120 米，设置有 36个座舱游客在座舱转到
8、距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面 140 米，匀速转动一周大约需要 30 分钟当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足 sintHtAB（其中0A，0，2）求摩天轮转动一周的解析式 Ht；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到 50 米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值22（本小题满分 12 分）如图，三棱锥ABCD中，侧面ABD是边长为4的正三角形，42CDAC，平面ABD平面BCD，把平面AC
9、D沿CD旋转至平面PCD的位置， 记点A旋转后对应的点为P（不在平面BCD内） ，M、N分别是BD、CD的中点.（1）求证：CDM N；（2）当三棱锥CAPD的体积最大值时，求三棱锥BMNP的体积.高一数学参考答案高一数学参考答案一一、单选题单选题（本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 4 40 0 分分）1-4.CACB5-8.DABC二二、多选题多选题（本大题共本大题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共计共计 2020 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 5
10、分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分）分）9.CD10.ABD11.AC12.ACD三、填空题三、填空题（本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 2020 分分）13.2i14.415.101016.6四四、解答题解答题（本大题共本大题共 6 6 小题小题，共计共计 7070 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤字说明，证明过程或演算步骤）17.17.解:（1）在正方体中，1BB 平面ABCD，AC 平面ABCD，1BBAC，.2 分又ACB
11、D，1BDBBB， AC 平面11B BDD.5 分（2）连接1OB，在正方体中，11/ /BBDD且11BBDD，四边形11BB D D是平行四边形，11/ /BDB D且11BDB D，,O E分别为11,BD B D中点，1DOEB，四边形1DEBO是平行四边形，1/ /DEOB，.8 分DE 平面1ACB，1OB 平面1ACB，/ /DE平面1ACB.10 分18.18.解:(1) 22212sincossin2sincos12sinsincos33333333xxxxxxxxfx 22sin34x，.3 分0C，则211+44312C，.4 分当2+432C时，即当38C时， f C
12、取得最大值2.6 分(2)222sin2sin2838436CfCC，所以，2sin136C，0C，则256366C，则2362C，可得2C，.8 分因为238bac，则23sin8sin8sin8cos2BABB，即23 3cos8cosBB，所以，23cos8cos30BB，.11 分因为B为锐角，则0cos1B，解得1cos3B .12 分19.19.解:(1)证明:如图所示,连接 BD,由四边形 ABCD 是菱形且BCD=60知,BCD 是等边三角形.1 分因为 E 是 CD 的中点,所以 BECD.又 ABCD,所以 BEAB.又因为 PA平面 ABCD,BE平面 ABCD,所以 P
13、ABE.而 PAAB=A,因此 BE平面 PAB.4 分又 BE平面 PBE,所以平面 PBE平面 PAB.6 分(2)解:由(1)知 PBBE.又 ABBE,所以PBA 是二面角 A BE P 的平面角.8 分在 RtPAB 中,tanPBA=ABPA=3,所以PBA=60,.11 分故二面角 A BE P 的大小是 60.12 分20.20.解:(1)若选条件，则有1 sin2 3sinsin = 1 sin2 + sin2，根据正弦定理得2+ 2 2=3，所以cos =2+222=32，因为0B，所以 =56. .6 分若选条件，根据正弦定理得2sin(12cos 32sin) = si
14、n = sin( + )，所以sincos 3sinsin = sincos + cossin，所以3sinsin =sincos，因为0A，所以sin0A，所以3sin = cos，解得tan =33，因为0B，所以 =56. .6 分若选条件，则有( )2 2+ (2 +3) = 0，所以2+ 2 2=3， 则cos =2+222=32，因为0B，所以 =56.6 分(2)由正弦定理知sin=sin=sin= 4，所以 3 + 2 = 4( 3sin + 2sin) = 43sin(6 ) + 2sin= 43(12cos 32sin) + 2sin = 4(32cos +12sin) =
15、 4sin( +3)， .9 分因为 0 6， 所以3 +32， 所以32 sin( +3) 1， 则2 3 4sin( +3) 4，所以3 + 2的取值范围为(2 3,4).12 分21.21.解:（1）由题意， sintH tAB（其中0A，0，2）摩天轮的最高点距离地面为 140 米，最低点距离地面为140 12020米，所以14020BABA，得60A，80B ，又函数周期为 30 分钟，所以23015，.2 分 60sin8015H tt又 060sin0802015H ，所以sin1 ，2 所以 60sin80152H tt，030t.4 分（2） 60sin8060cos8015
16、215H ttt ，.5 分所以60cos805015t，1cos152t，030t，第一次时315t5t （分钟） .8 分（3）经过 t 分钟后甲距离地面的高度为160cos8015Ht ，乙与甲间隔的时间为306536分钟，.9 分所以乙距离地面的高度为260cos58015Ht ，530t ，所以两人离地面的高度差1260cos60cos560 sin1515156hHHttt ，530t .11 分当1562t或32时，即10t 或 25 分钟时，h 取最大值为 60 米 .12 分22.22.解:（1）如图，连接AM、MC，ABAD，M是BD的中点，AMBD，又平面ABD 平面BC
17、D， 平面ABD 平面BCDBDAM 平面ABD，AM 平面BCD，.2 分又MC 平面BCD，AMMCABD为边长为4的正三角形，32AM，又4AC，由勾股定理可得2MC，2BD21MDMBMC，BCD为直角三角形，且BCCD，又M、N分别是BD、CD的中点，/MN BC，MNCD.6 分（2）如图，连接AN、PN，三棱锥CAPD与三棱锥PACD为同一个三棱锥，且ACD的面积为定值，当三棱锥PACD的体积最大时，平面PCD平面ACD，.7 分ACAD，则PCPD，N为CD的中点，则PNCD，又1, 2CNCD平面PCD平面ACD，平面PCD平面ACDCD，PN 平面PCD，PN平面ACD，ANPN ，1522CNACANPN，CD平面AMN，CD平面APN，平面AMN与平面APN为同一个平面，.9 分MNAANPMNAMNP090，又322CNCMMN，在AMNRt中,51cosANMNANM，51cos90sinsin0ANMANMPNM，23sin21PNMPNMNSPMN由（1）知MNBC /,BC平面PMN,MN平面PMN，/BC平面PMN，2131CNSVVVPMNPMNCPMNBBMNP.12 分
