1、第四章平面向量,第1讲平面向量及其线性运算,1.向量的有关概念,(续表),2.向量的线性运算,(续表),|a|,0,a,ab,3.共线向量定理,向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，,使得 ba.,一定是(,),A.矩形C.正方形,B.菱形D.平行四边形,D,AD，且 BCAD，四边形 ABCD 是平行四边形.故选 D.,A.abC.ba,B.abD.ab,C,3.(2017 年广东茂名一模)对于向量 a，b，c 和实数， 下列,命题中的真命题是(,),B,A.若 ab0, 则 a0 或 b0B.若a0，则0 或 a0C.若 a2b2，则 ab 或 abD.若 abac，则
2、 bc解析：因为非零向量 ab 时，也有 ab0，所以 A 错；a2b2只说明向量 a 与 b 的模相等，a 与 b 不一定共线，所以 C错；当向量 a，b，c 两两垂直时，也有 abac，但 b 与 c 方向不一定相同，故 bc，所以 D 错.故选 B.,(,),图 4-1-1,D,考点 1,平面向量的基本概念,例 1：(1)给出下列命题：若|a|b|，则 ab；ABCD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac.,其中正确命题的序号是(,),A.,B.,C.,D.,答案：A,(2)(2017 年新课标)设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，,则(,),A
3、.abC.ab,B.|a|b|D.|a|b|,解析：方法一，由|ab|ab|，得 |ab|2|ab|2，得 ab0?ab.故选 A.方法二，由|ab|ab|得以|a|，|b|为邻边长的平行四边形为矩形，所以 ab.故选 A.答案：A,(3)设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故
4、也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.答案：D,【规律方法】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，,考点 2,平面向量的线性运算,例 2：(1)(2016 年山东济宁统考)如图 4-1-2，在平行四边形,图 4-1-2,A.,14,B.,13,C.,12,D.1,答案：C,解析：如图 D26，在,ABCD 中，O 为 BD 的中点，E 为,图 D26,答案：C,答案：A,【规律方法】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2
5、)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.,【互动探究】,2,图 D27,考点 3,共线向量定理的应用,(2)解：kab 与 akb 共线，,存在实数，使 kab(akb)，即 kabakb.(k)a(k1)b.,a，b 是不共线的两个非零向量，kk10.k210.k1.,【规律方法】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0 成立；若1a2b0，当且仅当120 时成立，则向
6、量 a，b 不共线.,【互动探究】,(m，nR).,(1)若 mn1，求证：A，P，B 三点共线；(2)若 A，P，B 三点共线，求证：mn1.,证明：(1)若 mn1，,难点突破利用向量加法的几何意义解决三角形的四心问题例题：(1)已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共,则点 P 的轨迹一定通过ABC 的(,),A.外心,B.垂心,C.内心,D.重心,线所在的直线上，于是点 P 的轨迹一定通过ABC 的重心.答案：D,则点 P 的轨迹一定通过ABC 的(,),A.外心C.重心,B.内心D.垂心,解析：如图 4-1-3，作BAC 的平分线 AD.,图 4-1-3,点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心.答案：B,【互动探究】,A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心,答案：C,
