1、数学解题的“灵魂变奏曲”转化思想把问题进行转化是解决问题的重要的方法，著名数学家、教育家G波利亚在怎样解题一书中说道：“不断地变换你的问题，我们必须一再地变换它，重新叙述它、变换它，直到最后成功地找到有用的东西为止”我们在解决数学问题时，常把复杂、生疏、抽象、困难、未知的问题变成简单、熟悉、具体、容易、已知的问题来解决这是一种思想方法，也是一种策略。它把一个数学问题转化为另一个数学问题，达到化生为熟，化繁为简的目的，不仅可以节省时间和精力，巧妙简捷地解题，还可以提高我们的思维水平，培养创新能力，及分析问题和解决问题的能力。下面例析问题转换几种基本途径及方法一、等与不等的转化 等与不等的转化主要
2、体现为化不等为相等及化等为不等。在等与不等的矛盾转化中，基本不等式、函数的性质等常发挥着重要作用，它们是联系着等与不等的纽带，是等与不等矛盾差异间的内在联系。等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。例1：若正数满足，则的取值范围是_【解法一】 为正数， ， （舍去）或 的取值范围为【解法二】 由得， 且当且仅当，即时取等号则的范围为 【点评】：将一个等式转化为一个不等式，是求变量取值范围的一个重要方法。巩固练习题：已知x，y同为非负数，且满足，求x，y的值。例2：已知a，b，c均为正整数，且a2
3、+b2+c2+484a+6b+12c，求的值.【解答】 因为原不等式两边均为正整数，所以不等式a2+b2+c2+484a+6b+12c与不等式a2+b2+c2+48+14a+6b+12c等价，这个等价不等式又可化为(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2+(c-6)20,故【点评】 将等式与不等式对应转化，是转化数学问题常用的、有效的手段.二、正与反的转化解决某些问题时，若按习惯从“正面进攻”难已解决或运算繁杂。此时可从相反的方向去探求，有可能会转化为我们较熟悉或简单的问题。2、正与反的相互转化 对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。当一个数学问
4、题从正面处理较难时，不妨从反面思考，如逆推法、分析法、反证法、补集法等都是重要的反面思维方法例3已知抛物线yx24ax4a3，yx2(a1)xa2，yx22ax2a中至少有一条与x轴相交,求实数a的取值范围.分析：此题先从正面入手,要对各种可能性逐一分析,相当繁琐.若逆向思维求其反面：求三条抛物线都不与x轴相交时a的取值范围.再求其补集,则简洁得多.解：先求结论的反面，都无交点，即，解得a1故所求a的取值范围是a或a1例4：在由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的共有_个。 【分析】：以前我们做过能被5整除的排列组合题，先按照以前做过的方法求出能被5整除的数的
5、个数，再求出所有的四位数的个数，就能求出符合条件的数的个数。 解：有0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的所有四位数共有个，其中能被5整除的，即个位数为0，5的数有个，所以不能被5整除的数有600216=384个。 【点评】 此题从正面入手也行，但把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，做起来更加得心应手。另外，在考试时用正反两种方法，可以提高准确率。 巩固练习题：若曲线的所有弦都不能被直线垂直平分，求变量m的取值范围。 例5：试求常数m的范围，使曲线yx2的所有弦都不能被直线ym(x3)垂直平分分析：“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称问题转化为“抛物线yx2上存在两点
6、关于直线ym(x3)对称，求m的取值范围”再求出m的取值集合的补集即为原问题的解解：抛物线上两点(x1，)、(x2，)关于直线ym(x3)对称，满足，即，消去x2，得 x1R， 0， (2m1)(6m22m1)0， m即当m时，抛物线上存在两点关于直线ym(x3)对称而原题要求所有弦都不能被直线垂直一部分，那么所求m的范围为m 很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题的反面，则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法、补集法等体现的就是这种思想.正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正
7、面出发，逆向思维，往往会另有捷径。例6 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有_种。A、150 B、147 C、144 D、141分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了。解：10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选（D）。三 动与静的转化运动与静止的相互转化普遍存在于客观世界中，动与静的转化是解题的重要策略之一，它包括化静为动，化动为静两个方面，适时的进行动静转化，
8、常常会收到奇妙的效果。例7： 对于抛物线上任意一点 Q，如果点P（a，0）满足，则a的取值范围是（ ） A （ B C D 【分析】：依题意，点是抛物线上的动点，点P是轴上的定点，而当求a的取值范围时，又考虑点P的可动性，把a看成是不等式的未知量来求解。解：设Q，则等价于不等式，即，对于任意实数y恒成立，从而a只要小于或等于的最小值，所以a，选B【点评】：从代数角度来看，动与静的转化相当于变量与常量的转化。 巩固练习题：过圆x的内部一点M作动弦AB，过A，B分别作圆的切线，求两切线的交点P的轨迹方程四 主与次的转化利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即参变量与主元的角色转换），常使问题柳暗
9、花明。例8： 已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围。解： 若视为主元，为辅元，即可转化为。 当时， 恒成立，当时， 是关于的一次函数，所以当时恒成立等 价于 即 的取值范围为【点评】：此方法在解决原函数与反函数的问题时也很实用。巩固练习题：设不等式对满足的一切实数m均成立，求实数x的取值范围。主元向辅元的转化主元与辅元是人为的相对的，可以相互切换，当确定了某一元素为主元时，则其他元素是辅元。例9：已知关于的方程：有且仅有一个实根，求实数的取值范围。分析：显然，题目中的是主元，为辅元，但方程中的最高次数为3，求根比较困难，注意到的最高次数为2，故可视为主元，原方程转化为关于的二次方程。解：原
10、方程可代为即，原方程有唯一实根，无实根，五 原命题与逆否命题的转化由于原命题与逆否命题等价，因此我们在判断原命题的真假有困难时，可以通过判断逆否命题达到目的。例10：已知函数是R上的增函数，a，bR，若，则a+b0，试判断该命题的真假。【分析】：直接判断原命题的真假难以入手，若改为判断逆否命题，就比较方便。解：原命题的逆否命题是：已知函数是R上的增函数，若a+b0，则。判断：函数是是R上的增函数，且a，bR， a+b0，即a，该命题是真命题，原命题也是真命题。 巩固练习题 ： “x”是“sinxx”的（ ）A充分非必要条件 B 必要非充分条件 C充分必要条件 D 既非充分又非必要条件六、数与形
11、的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。例11、设均为正数，且，则（ ）ABCD解析：这里要比较三个正数的大小，而由已知条件很难求出三个数的准确值。由已知条件可知分别是指数函数与对数函数图象交点的横坐标，因此可利用化归转化数学思想的“数与形的相互转化”来进行解题。答案：在同一直角坐标系下画出函数与与及的图象（如图所示）则表示的是函数与交点的横坐标的值，同理有：表示的是函数与交点的横坐标的值，表示的是函数与交点的横坐标的值，则有：故选A。点评：通过发掘函数式的几何意义，将代数问题转化为函数问题或几何问题或解析几何，然后利用函数图象或几何图形
12、来解决，这也是近年来高考中常用的解题方法。数形结合，实现转化把数量关系的问题转化为图形性质的问题则会变抽象为直观，使隐含的关系显露出来，许多代数、三角问题有着几何图形背景因此绘制其图形来研究问题会显得十分直观反之，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，在一定程度上说，使研究方式程序化许多几何问题可以利用代数、三角函数的方法解决，显得十分简洁、明确例12已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则(A) (B) () (C) () (D) ()()分析：本题若用常规方法，较为繁琐，而运用其几何意义，即数形结合法，则能直观看出答案，|t|恒成立，从而使问题解决解：如图，设，则对任意tR，恒有|t|，
13、即|，而点P在直线OA上，故|为垂线段，即，得()，故选(C)数向形的转化数缺形时少直观，形缺数时难入微，形数结合是数学的重要表现形式，通过对已知不等式函数等变形，代换处理后，赋于其几何意义，以形定数，可以避繁就简。例13设，求证：分析：不等式右端为，可看为单位正方形的两条对角线之和，从题目的整体结构容易联想到勾股定理。证明：作边长为1的正方形ABCD，作两组平行线把正方形分成四个矩形，那么不等式左端=（PA+PC）+（PB+PD）AC+BD=，当且仅当P在正方形中心处，即时，“等号”成立。七、特殊与一般的相互转化 对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论
14、，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。 例14 在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则_解析：这里顶点是椭圆上的动点，所以、不易确定。但根据“一般成立特殊一定成立”可将这个一般性的问题转化化归为点在特殊位置（椭圆短轴端点）来处理较易。当然：注意到A、C是两焦点，利用正弦定理，进行数形转化也能取得很好的效果.答案：顶点取椭圆短轴端点，即 ，则，点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用。一般与特殊，辩证转化辩证思维告诉我们，事物发展总存在一般性和特殊性，且可以互相转化一般性寓于特殊性之中，有些一般性问题很难找到解题方法，不妨将其向特殊方向转化
15、，这种转化在选择题及填空题中比较常见例15（1）在中，已知，给出以下四个论断： 其中正确的是(A)(B) (C)(D)的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 分析：本题的两个小题直接从条件出发推理，显然是小题大做，在考场上就会浪费宝贵的时间对于客观题完全可用特殊化法加以解决，即选择特殊的直角三角形即可解：取符合题意的直角三角形，令A30，B60，C90则tan30cot601；sinAsinB(0，sin230cos2601，故选(B)取等腰直角三角形ABC，则外接圆的圆心为斜边上中点O，两直角边上的高为直角顶点H(C)，即有，即m，故m1应填1已知数列an中，a1=1，an
16、+1=2an+1.求数列的通项公式及前n项和Sn.【分析】 这个数列既不是等差数列也不是等比数列，但又看到其中既含等差数列又含等比数列：比如把递推式中的常数1去掉，则变成等比数列，把系数2换成1则变成等差数列.为此，破题工作在化归上寻找入口：向等比（等差）数列转换.【解答】 在递推式an+1=2an+1两边加1，化为(an+1+1)=2(an+1)，数列an+1为等比数列，公比q=2. 所以an+1=2n-1(a1+1)，即an=2n-1，且Sn=2n-n-1.【插语】 本数列的一般形式为：an+1=kan+b(k0、1，b0)，有人称其为“等差比数列”.等差、等比数列都是它的特例，分别是k=
17、1，或b=0时的特殊情况.用换元法化归为等比数列的“常数匹配”可用待定系数法求得：设an+1+c=k(an+c)=kan+kcan+1=kan+kc-ckc-c=b，c=对于上题，b=1，k=2，因此解得c=1.【点评】 化归开门体现在本题中：把我们不熟悉的“等差比数列”化归到我们熟悉的等比数列来解.化归采用的办法是换元，实际上是an+1+c=bn+1=kbn.说来也很滑稽，对中学生来讲，不向“等比（等差）”化归，还有什么别的出路呢？点评：数列是每年高考的必考内容。已知数列的递推公式或已知数列前n项和与的关系求数列通项也是常考内容。若已知数列的递推公式为（）的形式，求数列的通项时常通过变形使之
18、转化为形式的等比数列来解决；若已知数列前n项和与的关系式求数列通项，则常用将与的关系式化归转化为与（或与）间的递推关系再进一步求解。抽象向具体转化有些题目看起来较为抽象，貌似不易解决，但结合具体数学情境，联系相知，建立模型，以启迪解题思路，寻找解决问题的突破口。例16：已知为常数，且，问是不是周期函数，若是，求出周期，若不是说明理由。分析：由联想到，找到一个具体函数，=，而函数猜想是一个周期为的函数。这样方向明，思路清。证明：，个别向一般的转化华罗庚说过：“善于退，足够地退，退到起始，而不失去重要地步，是学好数学的决窍。”对于表面上难于解决的问题，需要我们退步考虑，研究特殊现象，再运用分析归纳
19、、迁移、演绎等手法去概括一般规律，使问题获解。例17：已知数列 ()是首项为，公比为的等比数列。1） 求和：；2） 由（1）的结果归纳出关于正整数的一个结论，并加以证明。分析：（1） （）同理可得：= 猜想：证明：= =八、整体与局部的相互转化 整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。零整割补变换，实现转化求解几何问题，如果仅根据题目给出的图形解题困难时，可考虑将图形按一定规则分割成若干个简单图形或通过增添辅助线、而补成一个简单几何体，把问题转化为我们所熟知或易于研究的问题，从而化繁为简这种方法是解几何综合题的常用的重要方法：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方
20、法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗。例18一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（ ）A、 B、 C、 D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选（A）。例19 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为( )(A) (B) (C)(D) 分析：本题所给几何体运用中学知
21、识，无法直接体积公式加以计算，这时需用割补变换，实施转化，可分割为两个等积的三棱锥和一个三棱柱，故所求多面体的体积为此三部分体积之和解：如图，过BC作EF的直截面BCG，作面ADM面BCG，FO，FG， GO， ，故选(A)点评：本题运用典型的分割法，即将一个几何体分割成若干个简单几何体，使问题显现在其中之一内，其思想方法是“化整为零，各个击破”例20设函数f(x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a，b上的面积，已知函数ysinnx在0，上的面积为(nN*)，ysin3x在0,上的面积为 ；ysin(3x)1在，上的面积为 分析：本题是一道很好的理性思维信
22、息开放性定义型题，能很好地考查学生分析思维能力及割补法解：由新定义的面积公式，知ysin3x在0，上的面积为，据对称性，故得由诱导公式，得ysin3x1，如图，由定义知在，上的面积为S1S2S3S4，由对称性知S4S5，根据割补法得S1S2S3S4S1点评：本题把已知不规则的图形适当地增加辅助线y1，而使之成为一个完整的特殊的几何图形，这样便于从整体出发，揭示图形的内在联系，使问题得到解决此法指导思想是“聚零为整，统筹考虑”九、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何
23、中特别常见。空间与平面，维数转化在高等代数中常见有高维数的问题，如果把它向低维问题转化，问题往往变得简单、明了最简单的由三维向二维空间转化，即把三维的空间的立体图形转化为二维的平面图形来研究，也是研究立体几何问题的重要方法之一例21一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为( )(A)(B)(C)(D)解：作出球的大圆截面图，由截面小圆的面积为，即r2，得r1 R则4R28，而选(B)点评：展示大圆的特征图是将空间的球问题平面化的重要途径对于球问题通常要抓住其特征Rt来解决(即球半径、小圆半径及圆心距构成的直角三角形)十、模式向创造的转化数学题目千变万化，虽然不存在固有的解题
24、模式和千篇一律的解题方法，但只要我们破除思维定势，树立创新意识，进行发散思维，左挂右联，巧思妙想，分析题目结构特征，还是可以找到令人耳目一新的解法例22：已知： 求证：证明：构造对偶式：令 则 =又 （ 十一、暄量向定性的转化当定量求解某些问题困难时，可以考虑将定量问题转化为定性问题，通过定性判断来解决。例11已知函数图象如下图，则函图象可能是（ ） 分析:要根据的函数图象准确地画出的图象是困难的，但我们注意到一奇一偶，所以是奇函数排除B，但在无意义，又排除C、D，应选A。 以上是化归思想中的几种主要的转化途径。其实，化归的途径很多，如还有数与形的转化，空间与平面的转化，无限与有限的转化等等。转化的目的是改容易面，化繁为简，巧闯难关。高考中正确灵活的运用化归思想，找到化归途径，使用化归手段，定会取得事半功倍的效果。转换是化归的实施.化归重在理念，转换重在操作.转换是寻找“替身”，由彼及此，“彼”得对“此”全盘负责.因此，转换前面经常冠以“等价”二字，即“等价转换”.从“条件”的角度看问题，转换是在寻找解决问题的充要条件，而化归有时在寻找解决问题的充分条件，甚至是探究中的必要条件.
