1、第35讲等差、等比数列综合应用,考试要求1.等差、等比数列(C级要求)；2.高考中可能重点关注等差、等比数列an的前n项和Sn与通项an之间的相互转化，以及基本量、性质的运用.,1.(2018苏州月考)数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn中连续的三项，则数列bn的公比为_.,诊 断 自 测,2.(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为_.,解析等差数列中a11，根据题意得,解得d0(舍去)，d2，,3.(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.,an2an1，又a
2、11，an是以1为首项，以2为公比的等比数列，an(2)n1，,由1Sk9，得4(2)k28，又kN*，k4.答案4,考点一等差、等比数列的综合问题,化为16tt248，解得t12或4.,数列bn是等差数列，符合题意；,b2b42b3，数列bn不是等差数列.t12不符合题意，应舍去，综上，t4.,满足条件的所有整数a1的值为,规律方法等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等
3、于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.,【训练1】 在等差数列an中，a1030，a2050.,(1)求数列an的通项公式；(2)令bn2an10，证明：数列bn为等比数列；(3)求数列nbn的前n项和Tn.(1)解设数列an的公差为d，则ana1(n1)d，,(2)证明由(1)得bn2an1022n101022n4n，,所以bn是首项为4，公比为4的等比数列.(3)解由nbnn4n，得Tn14242n4n，4Tn142(n1)4nn4n1，,考点二数列与函数的综合问题,解(1)f(x)2axb，由题意知b2n，16n2a4nb0
4、，,规律方法 数列与函数的综合问题(1)已知函数条件解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.,(1)求数列an的通项公式；(2)求满足2an1anan2的正整数n的值；(3)设数列an的前n项和为Sn，问是否存在正整数m，n，使得S2nmS2n1？若存在，求出所有的正整数对(m，n)；若不存在，请说明理由.解(1)由题意，数
5、列an的奇数项是以a11为首项，2为公差的等差数列；偶数项是以a22为首项，3为公比的等比数列.,所以对任意正整数k，a2k12k1，a2k23k1.,可知f(x)在1，)上是增函数，所以f(x)f(1)0，,当n为偶数时，由2an1anan2，,上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立.综上，满足2an1anan2的正整数n的值为1.,S2n1S2na2n3n1n21.假设存在正整数m，n，使得S2nmS2n1，则3nn21m(3n1n21)，所以3n1(3m)(m1)(n21)，(*)从而3m0，所以m3，又mN*，所以m1，2，3.当m1时，(*)式左边大于0，右边等于0，不成立.当m3时
6、，(*)式左边等于0，所以2(n21)0，n1，所以S23S1.,当m2时，(*)式可化为3n1n21(n1)(n1)，则存在k1，k2N，k1k2，使得n13k1，n13k2且k1k2n1，从而3k23k13k1(3k2k11)2，所以3k11，3k2k112，所以k10，k2k11，于是n2，S42S3.综上，符合条件的正整数对(m，n)为(2，2)，(3，1).,考点三数列与不等式的综合问题,(1)解令n1代入得a12(负值舍去).(2)解由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*，得Sn(n2n)(Sn3)0.又已知数列an各项均为正数，故Snn2n.当n2时，anSnSn1n2n(n
7、1)2(n1)2n，当n1时，a12也满足上式，an2n，nN*.,(3)证明kN*，4k22k(3k23k)k2kk(k1)0，4k22k3k23k，,不等式成立.,规律方法数列与不等式的综合问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过先放缩后求和或先求和后放缩求解；(3)比较方法：作差或者作商比较.,【训练3】 已知数列an满足a11，an13an1.,考点四数列应用题【例4】 (2018南京模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.,(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).,解(1)由题意得a12 000(150%)d3 000d，,整理得,由题意得am4 000，,
