1、8.3空间图形的基本关系与公理,第八章立体几何与空间向量,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.四个公理公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过 的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .,知识梳理,两点,不在一条直线上,有且只有一条,平行,(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).范围： .,2.直线与直线的位置关系(1)位置关
2、系的分类,平行,相交,任何,锐角(或直角),3.直线与平面的位置关系有 、 、_ 三种情况.4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况.5.等角定理空间中如果两个角的 ，那么这两个角相等或互补.,直线在平面内,直线与平面相交,直线与,平面平行,平行,相交,两边分别对应平行,1.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2.异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.,【知识拓展】,题组一思考辨析1.
3、判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.()(5)没有公共点的两条直线是异面直线.()(6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线.(),基础自测,1,2,4,5,6,3,题组二教材改编2.如图所示，已知M，N分别是正方体ABCDA1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，则MN与CD1所成的角为_.,1,2,4,5,6,解析,3,答案
4、,解析连接AD1，AC，因为M，N分别是正方体ABCDA1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，所以AD1MN，故AD1C为MN与CD1所成的角或其补角，由于ACAD1D1C，故AD1C60，则MN与CD1所成的角为60.,60,3.如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形.,1,2,4,5,6,答案,3,ACBD,解析,解析四边形EFGH为菱形，EFEH，故ACBD.,解析四边形EFGH为正方形，EFEH且EFEH，,ACBD且ACBD,题组三易
5、错自纠4.若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则 A.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析A项，设过点P的直线为n，若n与l，m都平行，则l，m平行，与l，m异面矛盾，A错；B项，l，m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有1条，B对；,1,2,4,5,6,3,C项，如图所示，在正方体ABCDABCD中，设AD为直线l，AB为直线m，若点P在P1点，显然无法作出直线与两直线都相交，C错；,D项，若P在P2点，则直线CC及D
6、P2均与l，m异面，D错.,5.下列命题正确的有_.(填序号)若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线l上有无数个点不在平面内，则l与平面平行；若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线；如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或异面.,1,2,4,5,6,答案,3,解析,解析正确；错误，直线l与平面相交时，仍有无数个点不在平面内；错误，直线l与平面内过该交点的直线不是异面直线；错误，另一条直线可能在该平面内；正确.,1,2,4,5,6,3,解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，
7、EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.,6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_.,解析,1,2,4,5,6,答案,3,3,题型分类深度剖析,典例 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；,题型一平面基本性质的应用,师生共研,证明,证明如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，
8、C，D1，F四点共面.,(2)CE，D1F，DA三线共点.,证明,证明EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示.则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点.,共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直
9、线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.,跟踪训练 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ，求证：(1)D，B，F，E四点共面；,证明,证明如图.EF是D1B1C1的中位线，EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD，EFBD.EF，DB确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.,(2)若A1C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线.,证明,证明在正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为，平面BDEF为.QA1C1，Q.又QEF，Q，则Q是与的公共点，PQ.又A1CR，RA1C
10、，R，且R，则RPQ，故P，Q，R三点共线.,典例 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交,解析,题型二判断空间两直线的位置关系,师生共研,答案,解析方法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.方法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.,
