1、2022 年普通高等年普通高等学学校招生全国统一考试（校招生全国统一考试（全全国乙卷国乙卷）数数 学（理科学（理科）注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2.回答选择题回答选择题时时，选出每小题答案选出每小题答案后后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结
2、束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题一、选择题：本题共共 12 小题，每小小题，每小题题 5 分，分，共共 60 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选选 项中，只有一项是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。）A 2B 1C1D24嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的A26执行下边的程序框图，输出的n （）D a 1, b 21设全集U 1, 2, 3, 4,5 ，集合 M 满足U M 1, 3 ，则（）A 2 MB 3 MC 4 MD 5 M 2已知 z 1 2i ，且 z az b 0
3、 ，其中 a，b 为实数，则（） A a 1, b 2B a 1, b 2C a 1, b 23已知向量a, b 满足| a | 1,| b |3,| a 2b | 3 ，则a b （11人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列bn ： b1 1 ，212b 1 3123111， b 1 1 1（）A b1 b5B b3 b8C b6 b2D b4 b75设 F 为抛物线C : y2 4x 的焦点， 点 A 在 C 上， 点 B(3, 0) ， 若| AF | BF | ， 则| AB |（）k，依此类推，其中 N(k 1, 2,) 则B 2 2C3D 3 2A3B4C5
4、D67在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 AB, BC 的中点，则（）A平面 B1EF 平面 BDD1C平面 B1EF平面 A1 ACB平面 B1EF 平面 A1BDD平面 B1EF平面 A1C1D8已知等比数列an 的前 3 项和为 168， a2 a5 42 ，则a6 （A14B12C6D3）9已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）CDAp 与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关C该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大B该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大D该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大11双曲线 C
5、 的两个焦点为 F1, F2 ，以 C 的实轴为直径的圆记为 D，过 F1 作 D 的切线与 CACD12已知函数 f ( x), g( x) 的定义域均为 R，且 f ( x) g(2 x) 5, g( x) f ( x 4) 7 若A 21B 22C 23D 24A 13B 12332210某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立已知该棋手与甲、 乙、丙比赛获胜的概率分别为 p1, p2 , p3 ，且 p3 p2 p1 0 记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）3交于 M，N 两点，且cosF1NF2 5 ，则 C 的离心率为（）B 351317222222y g( x)
6、的图像关于直线 x 2 对称， g(2) 4 ，则 f (k ) （）k 116己知 x x 和 x x 分别是函数 f (x) 2ax ex2 （ a 0 且a 1 ） 的极小值点和极大12值点若 x1 x2 ，则 a 的取值范围是三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作每个试题考生都必须作答答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求考生根据要求 作答作答（一）必考题（一）必考题：共共 60 分分17（12 分）记ABC 的内角A, B,C 的si
7、n C sin( A B) sin B sin(C A) （1）证明： 2a2 b2 c2 ；对边分别为a, b, c ，已知1证明：平面 BED 平面 ACD ；2设 AB BD 2, ACB 60 ，点 F 在 BD 上，当AFC 的面积最小时，求CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值19（12 分）某地经过多年的环境治理， 已将荒山改造成了绿水青山 为估计一林区某种树木的总材积量，二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 14过四点(0, 0),(4,
8、 0),(1,1), (4, 2) 中的三点的一个圆的方程为15 记函数 f (x) cos( x ) ( 0, 0 ) 的最小正周期为 T ， 若 f (T ) 3 ，29x 为 f ( x) 的零点，则 的最小值为31（2）若a 5, cos A 25 ，求ABC 的周长18（2 分）如图，四面体 ABCD 中， AD CD, AD CD, ADB BDC ，E 为 AC 的中点随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： m2 ）和材积量（单位：m3 ） ， 得到如下数据：样本号 i12345678910总和根部横截面积 xi0.040.060.040.080.080.
9、050.050.070.070.060.6材积量 yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得1估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；2求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）；3现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积 总和为186m2 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林 区这种树木的总材积量的估计值20（12 分）1求 E 的方程；2设过点 P 1, 2 的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段
10、 AB 交 于点 T，点 H 满足 MT TH 证明：直线 HN 过定点21（12 分）已知函数 f x ln 1 x axe x .1当a 1 时，求曲线 y f x 在点0, f 0 处的切线方程；2若 f x 在区间1, 0, 0, 各恰有一个零点，求 a 的取值范围（二）选考题，（二）选考题，共共 10 分请考生在分请考生在第第 22、23 题中任选一题作答如果多做题中任选一题作答如果多做， 则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）（t 为参数） 以坐标原点为极1010 x2 0.038, y2 110.6158, ii=1ii=1i=1i
11、 ix y 0.2474 22nnniii =1附：相关系数 r i =1, 1.896 1.377 (x x )( y y )(xi x )( yi y ) i =11 两点已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过 A 0, 2 , B, 3 2x 3 cos 2t,在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 y 2 sin t（2）13.或；3 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为sin m 0 1写出 l 的直角坐标方程；2若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 333已知 a，b，c
12、都是正数，且 a 2 b2 c 2 1，证明：（1） abc 1 ；9abc1b ca ca b2 abc2022 年普通高等年普通高等学学校招生全国统一考校招生全国统一考试试 数学（理数学（理科科）参考答参考答案案注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上2.回答选择题回答选择题时时，选出每小题答案选出每小题答案后后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑涂黑.如需改动如需改动，用橡皮擦干净用橡皮擦干净后后，再选涂其它答案标再选涂其它答案标号号.回答非选择题回答非选择题时时，
13、将答将答 案写在答题卡案写在答题卡上上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的1. A 2. A 3. C. 4. D 5. B 6. B 7. A 8. D 9. C 10.D 11. C 12. D二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分3102214.x 222 y
14、3 13 或 x 2 y 1 5 或224 7 659x y 3 3 2169258 2 x 5 y 115. 3 116.,1 e三、解答题：共三、解答题：共 0 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作每个试题考生都必须作答答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求考生根据要求 作答作答（一）必考题（一）必考题：共共 60 分分17.（1）证明：因为sin C sin A B sin B sin C A ，所以sin C sin A cos B sin C sin B cos A
15、sin B sin C cos A sin B sin A cos C ，即，所以2a2 b2 c2 ；（2）18.（1）因为 AD CD ，E 为 AC 的中点，所以 AC DE ；在ABD 和CBD 中，因为 AD CD, ADB CDB, DB DB ，所以ABDCBD ，所以 AB CB ，又因为 E 为 AC 的中点，所以 AC BE ； 又因为 DE, BE 平面 BED ， DE BE E ，所以 AC 平面 BED ，2ac2bca2 c2 b2b2 c2 a2a2 b2 c2所以 ac 2bc ab 2aba2 c2 b2222a2 b2 c2 b c a 22解：因为a 5
16、, cos A 25 ，31由（1）得b2 c2 50 ，由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bc cos A ，则50 50 bc 25 ，31所以bc 31 ，2故b c2 b2 c2 2bc 50 31 81 ， 所以b c 9 ，所以 ABC 的周长为 a b c 14 .因为 AC 平面 ACD ，所以平面 BED 平面 ACD .（2）连接 EF ，由（1）知， AC 平面 BED ，因为 EF 平面 BED ，则所以，设CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值为，1所以 AC EF ，所以 S=AC EF ，2 AFC当 EF BD 时， EF 最小，即AFC 的面积最小.因为AB
17、DCBD ，所以CB AB 2 ，又因为ACB 60 ，所以 ABC 是等边三角形，因为 E 为 AC 的中点，所以 AE EC 1， BE 3 ，1因为 AD CD ，所以 DE AC 1,2在DEB 中， DE2 BE2 BD2 ，所以 BE DE .以 E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz ，则 A1, 0, 0, B 0,3, 0 , D 0, 0,1 ，所以3, 0，1,AD 1, 0,1 , AB n AD x z 0则n AB x 3y 0设平面 ABD 的一个法向量为 n x, y, z ， ，取 y 33, 3，n 3,3,3 C 又因为 1, 0, 0,
18、F 0,44 3,3 ，所以CF 1, ，44 64 3774n CF 21 cos n, CF n CF2 0 4 37所以sin cos n, CF 所以CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值为 4 3 .7则r 0.97（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3 ，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，20.19.（1）样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 x 0.6 0.0610样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 y 3.9 0.3910据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2 ， 平均一棵的材积量为0.39m3（2）1010102 1
19、0222i=1i=1r i=1i=1 102 102 x 10 x10 y i=1 xi x yi y xi yi 10 xyix yi y xi yi i=10.0134 0.0134 0.970.2474 10 0.06 0.390.013770.0001896(0.038 10 0.062 )(1.6158 10 0.392 )0.06186可得=，解之得Y =1209m3 0.39Y则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3（1）解：设椭圆 E 的方程为，则，联立, 得(3k 2 4)x2 6k (2 k )x 3k (k 4) 0 ，将(0, 2) ，代入整理得2(x1 x2 )
20、6( y1 y2 ) x1 y2 x2 y1 3y1 y2 12 0 ，mx2 ny2 1，过1A 0, 2 , B, 3 24n 1m n 1 9 41314，解得 m ， n ，y2x2所以椭圆 E 的方程为： 1 .43（2）323A(0, 2), B( , 1) ，所以 AB : y 2 2 x ，3422若过点 P(1, 2) 的直线斜率不存在，直线 x 1 .代入 x y 1可得 M (1, 2 6 ) ， N (1, 23336 ) ，代入 AB 方程 y 2 x 2 ，可得T ( 6 3, 2 6 ) ，由 MT TH 得到 H (236 5, 2 6 ) .求得 HN 方程：
21、3y (2 2 6 )x 2 ，过点(0, 2) .3若过点 P(1, 2) 的直线斜率存在，设 kx y (k 2) 0, M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) .2234kx y (k 2) 0 xy 12 12可得3k 2 43k (4 k ) x x 1 23k 4x x 6k (2 k ) ， 1223k 2 4，4(4 4k 2k 2 ) y y 2 23k 4y y 8(2 k )1 22 124k(*)且 x y x y 3k 2 423y y1联立 y x 2111123y, 可得T (1 3, y ), H (3y 6 x , y ).y1 y222可求得此
22、时 HN : y y (x x ) ，3y1 6 x1 x2将(*) 代入，得24k 12k 2 96 48k 24k 48 48k 24k 2 36k 2 48 0,显然成立，综上，可得直线 HN 过定点(0, 2).21.（1）f (x) 的定义域为(1, )所以曲线 y f (x) 在点(0, f (0) 处的切线方程为 y 2x（2）ex当 a 1 时, f (x) ln(1 x) x , f (0) 0 ,所以切点为1ex(0, 0) f (x) 1 x , f (0) 2 ,所以切线斜率为 21 xexf (x) ln(1 x) axexex a 1 x2 1a(1 x)f (x)
23、 1 x(1 x)ex设 g(x) ex a 1 x2 1 若 a 0 ,当 x (1, 0), g(x) ex a 1 x2 0 ,即 f (x) 0所以 f (x) 在(1, 0) 上单调递增, f ( x) f (0) 0故 f (x) 在(1, 0) 上没有零点,不合题意2 若1 a 0 ,当 x (0, ) ,则 g (x) ex 2ax 0所以 g(x) 在(0, ) 上单调递增所以 g(x) g(0) 1 a 0 ,即 f (x) 0所以 f (x) 在(0, ) 上单调递增, f (x) f (0) 0故 f (x) 在(0, ) 上没有零点,不合题意 3 若 a 1(1)当
24、x (0, ) ,则 g (x) ex 2ax 0 ,所以 g(x) 在(0, ) 上单调递增g(0) 1 a 0, g(1) e 0所以存在 m (0,1) ,使得 g(m) 0 ,即 f (m) 0当 x (0, m), f (x) 0, f (x) 单调递减当 x (m, ), f (x) 0, f (x) 单调递增所以当 x (0, m), f (x) f (0) 0当 x , f (x) 所以 f (x) 在(m, ) 上有唯一零点又(0, m) 没有零点,即 f (x) 在(0, ) 上有唯一零点(2)当 x (1, 0), g(x) ex a 1 x2 设 h(x) g (x)
25、ex 2ax h (x) ex 2a 0所以 g(x) 在(1, 0) 单调递增g (1) 1 2a 0, g (0) 1 0 e所以存在 n (1, 0) ,使得 g(n) 0当 x (1, n), g (x) 0, g(x) 单调递减当 x (n, 0), g (x) 0, g(x) 单调递增, g(x) g(0) 1 a 0又 g(1) 1 0e所以存在t (1, n) ,使得 g(t) 0 ,即 f (t) 0当 x (1, t), f (x) 单调递增,当 x (t, 0), f (x) 单调递减 有 x 1, f (x) 而 f (0) 0 ,所以当 x (t, 0), f (x)
26、 0所以 f (x) 在(1, t) 上有唯一零点, (t , 0 ) 上无零点 即 f (x) 在(1, 0) 上有唯一零点所以 a 1 ,符合题意所以若 f (x) 在区间(1, 0), (0, ) 各恰有一个零点,求a 的取值范围为(, 1)（二）选考题（二）选考题，共共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方：坐标系与参数方程程22.（1），所以因为l：整理得 l 的直角坐标方程：3 sin m 012sin 3 cos m 0 ，2又因为 s i n y,
27、 cos x ，所以化简为 1 y 23 x m 0 ，23x y 2m 0（2）联立 l 与 C 的方程，即将 x 3 cos 2t ， y 2sin t 代入3x y 2m 0 中，可得3cos 2t 2 sin t 2m 0 ， 所以3(1 2 sin2 t) 2 sin t 2m 0 ，化简为6 sin2 t 2 sin t 3 2m 0 ，要使 l 与 C 有公共点，则2m 6 sin2 t 2 sin t 3 有解，令sin t a ，则 a 1,1 ，令 f (a) 6a2 2a 3 ， (1a1) ，对称轴为 a 1 ，开口向上，6所以 f (a)max f (1) 6 2 3
28、 5 ，min112196f (a) f ( ) 3 ，666，即 a b c 时取等号（2）证明：因为 a 0 ， b 0 ， c 0 ，所以，当且仅当 a b c 时取等号所以 19 2m 56m 的取值范围为 19 m 5 .122选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲23.（1）333证明：因为 a 0 ， b 0 ， c 0 ，则 a 2 0 ， b2 0 ， c 2 0 ，333，a 2 b2 c 2333 所以 a 2 b2 c 2 3312即abc 131，所以 abc ，当且仅当9332232a b c319aaa 2b c所以b c 2 bc ， a c 2 ac ， a b 2 ab ，33bbb2ac2 abca c23c 22 ab2 abccc2 bc2 abc3333a b332 abc2 abcabca 2b2c 2 a 2 b2 c 2 1b ca ca b2 abc2 abc2 abc
