1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分1 复变函数积分的概念2 柯西古萨基本定理3 基本定理的推广复合闭路定理4 原函数与不定积分5 柯西积分公式6 解析函数的高阶导数7 解析函数与调和函数的关系1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1.积分的定义2.积分存在的条件及其计算法3.积分的性质1.积分的定义积分的定义如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向)，则将 C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线有向曲线。设曲线 C的两个端点为 A与 B，如果将 A到 B的方向作为C的正方向，则从 B到 A的方向就是C的负方向，。常将两个端点中一个作为起点起点，另一个作为终点终点，则正方向正方
2、向规定为起点至终点的方向。设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。C 并记作而简单闭曲线的正方向正方向是指当曲线上的点 P 顺此方向沿该曲线前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方左方。相反的方向相反的方向就是曲线的负方向。定义定义终点为B的一条光滑有向设w=f(z)定义在区域 D内，C是 D内起点为 A011,kknAzzzzzBAz1z1z2z2z3z3.zk1zkzkDzkBxyO曲线。C任意分成n个弧段，设分点为Az1z1z2z2z3z3.zk1zkzkDzkBxyO在每个弧段zk-1zk(k=1,2,.,n)上任意取一点zk，并作和式和式111()()()nnnkkkkkk
3、kSfzzfzzzD的长度，1maxkk ns D,记1kkksz zD1kkkzzzD当n无限增加且趋于零，如ns有唯一极限，则称其为1()lim()nkknkCf z dzfzz z f(z)沿曲线沿曲线 C的积分的积分，记作容易看出,当C是x轴上的区间axb,而f(z)=u(x)时,1()lim()nkknkCf z dzfzz z 这个积分定义就是一元实函数定积分的定义。如果C为闭曲线，则沿此闭曲线的积分记作记作().Cf z dz 2.积分存在的条件及计算法积分存在的条件及计算法给出给出,正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向,参数参数 a及及b对应于起点对应于起点 如果 f(
4、z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续，则u(x,y)及 v(x,y)均为D内的连续函数连续函数。设 zk=xk+ihk，设光滑曲线设光滑曲线C由参数方程由参数方程()()(),zz tx tiy tt A及终点及终点B,并且并且 。()0,z tt 111()kkkkkkkzzzxiyxiyD11()()kkkkkkxxi yyxi y D D由于111()kkkkkkkzzzxiyxiyD11()()kkkkkkxxi yyxi y D D所以，有下面的式子：11()(,)(,)()nnkkkkkkkkkkfzuivxiyz 1(,)(,)nkkkkkkkuxvy 1(,)(,)
5、nkkkkkkkivxuy 由于u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理,当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,不论对().CCCf z dzudxvdyivdxudy不论对C的分法如何，点(xk,hk)的取法如何，上式右端的两个和式的极限都是存在的。因此有上式在形式上可以看作是与()d()()CCf zzuiv dxidy.CCudxvdyivdxudy所以是比较容易记住的。()f zuivdzdxidy相乘后求积分得到：Cudxivdxiudyvdy而且上式说明了两个问题：而且上式说明了两个问题：i)当 f(z)是连续函数而 C 是光滑曲线时，积分是一定存在的。可以通过两个二元实变函数的
6、线积分()Cf z dzii)()Cf z dz来计算。()(),()()(),()()Cf z dzu x ty t x tv x ty ty tdt根据线积分的计算方法，有 (),()()(),()()div x ty t x tu x ty ty tt上式右端可以写成 (),()(),()()()u x ty tiv x ty tx tiy tdt所以()()()d.Cf z dzf z t z tt()()d.f z t z tt今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续的，曲线C是按段光滑的。如果C是由C1,C2,.,Cn等光滑曲线首尾连接而成,12()()()().nCCCC
7、f z dzf z dzf z dzf z dz则定义定义解解直线的方程可写作Czdz,其中C为原点到点3+4i的直线段。例例1 计算3,4,01,xtytt 或在C上,34,01.zti tt(34),(34)zi t dzi dt。于是112200(34)(34)Czdzi tdtitdt21(34).2i()()CCzdzxiy dxidy.CCxdxydyiydxxdy又因()()CCzdzxiy dxidy.CCxdxydyiydxxdy容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以Czdz的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，21(34).2i都等于解解直线的方程可写作2yx
8、计算积分例例 分别沿y=x与,01,xtytt 在C上,(1)dzi dt。于是120()(1)titi dt1(1 5).6 i120()ixiy dz120()ixiy dz抛物线的方程可写作2,01,xtytt 在C上,(12)dzti dt。于是1220()(12)titti dt1(1 5).6 i120()ixiy dz120(1)()itit dt1230(1)(2)itt i dtz0rqzz0=reiqzOxy的正向圆周,n为整数。10()nCdzzz 例例2 计算,其中C为以z0为中心,r为半径当n=0时，结果为0,02,iizzredzire dqqqq211(1)00e
9、()inni nCdzirdzzreqqq202,idiq当时，结果为0n 20(cossin)0.ninindrqqq所以解解 C的方程可写作2200dedeinninniirrqqqq这个结果以后经常要用到,它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关，应当记住。所以0102000|,(),.nz zrindzzzn2200220011cossin(sin2sin0)0.11sincos(cos2cos0)0.n dnnnnn dnnnnq qqq qq这是因为z1z0=1+iOxy2131)沿原点到点Czdz例例3 计算的值，其中C为11001)()(1)21Czdztiti dttdt所接
10、成的折线。解解01zi 的直线段1:(1),01;Czi tt 2)沿从原点到点11z 的直线段2:,01Cztt 段3:1,01Czitt 2311002)(1)CCCzdzzdzzdztdtit idt11()122ii，与从1z到 的直线0z3.积分的性质积分的性质则ii)()();CCkfz dzkfz dz(k为常数)i)()();CCfz dzfz dz iii)()()()()CCCfzg zdzfz dzg z dz()|()|CCfz dzfzdsML设曲线C长度为L，f(z)在C上满足iv)|()|fzM,复函数的积分也有下列一些简单性质，与实变函数中定积分的性质类似的：线
11、因此便得不等式的第一部分，又因111()()(),nnnkkkkkkkkkfzfzfszzzDDD两端取极限，得两点之间的弧段的长度，所以事实上，是kzDkz1kz与两点之间的距离，ksD为这()|()|CCf z dzf zds这里()Cfzds表示连续函数(非负的)()fz沿C的曲11(),nnkkkkkfsMsMLzDD(),CfzdsML11(),nnkkkkkfsMsMLzDD所以这是不等式的第二部分。绝对值的一个上界。例例4 设C为从顶点到点3+4i的直线段，试求积分解解(34),01zi tt 1CdzziC的方程为。由估值不等式得11CCdzdszizi21115,3(41)3
12、4925()2525zittit153CCdzdszi5Cds 1253Cdzzi从而有而，所以在C上，2 柯西柯西-古萨古萨(Cauchy-Goursat)基本定理基本定理或沿封闭曲线的积分值为零的条件，可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关。究竟关系如何，不妨先在加强条件下做些初步探讨。假设 f(z)=u+iv在单连通域B内处处解析，且连续的，且满足柯西-黎曼方程从上节的几个例题中思考，积分的值与路线无关积分的值与路线无关,在B内连续。由于()fz()xxyyfzuivviu所以 u 和 v 以及它们的偏导数,xyxyu uvv在 B 内都是,xyxyuvvu则有,xyxyuvvu()
13、CCCf z dzudxvdyivdxudy其中C为B内任何一条简单闭曲线，从格林公式格林公式与柯西-黎曼方程(路线 C 取正向)得()0 xyDCudxvdyvud()0 xyDCvdxudyuv d其中D是C所围的区域,所以上式的左端为零。闭曲线的积分为零。实际上，是不必要的。因此有下面一条在解析函数理论中最基本的定理。因此在上面的假设下，函数 f(z)沿B内任何一条()fz在 B 内连续的假设柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理CB内处处解析,则在B内任何一条封闭曲线C的积分为零:如果函数 f(z)在单连通域 B()d0Cf zz 定理中曲线C 可以不是简单曲线。这个定理又称柯西积分定理柯
14、西积分定理。CB柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理成立的条件之一是曲线曲线 C 要要属于区域属于区域B。如果曲线C是B的边界,函数 f(z)在B内与解析，甚至 f(z)在 B内解析,在闭区域B+C上连续,则 f(z)在边界上()d0Cf zz C上解析，即在闭区域 B+C 上的积分仍然有解解 由积分运算的性质可知的正向例例 计算积分其中1sin2zCedzz11(|sin)|sin22zzCCCzedzz dzedzzz利用柯西古萨基本定理1(|sin)02zCzedzz|Cz dz 11(|sin),:|22zCzedz Czz因此有 12Cdz003 基本定理的推广基本定理的推广复合闭路定
15、理在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。设函数 f(z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分设C及C1为D内任方向)简单闭曲线,C1就不一定为零。意两条(正向为逆时针在C内部,且以C及C1为边界的区域D1全含于D。DCC1AABBD1FEEF其中A,B在C上,ABD内的简单闭曲线。如右图，AA F B BFA AEBB E A A 及在C1上构成两条全在作两条不相交的弧线,分析，得知()d0AEBB E A Af zz ()d0AA F B BFAf zz 将上面两等式相加,得DCC1AAB
16、BD1FEEFDCC1AABBD1FEEF将上面两式相加,得1()d()dCCf zzf zz()d()d()d()d0AAA ABBB Bf zzf zzf zzf zz即或1()d()d0CCf zzf zz1()d()dCCf zzf zz上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中不经过函数闭路变形原理。闭路变形原理。1C看成一条复合闭路G,其正向为:上式说明如果将 C 及顺时针,则1C沿C逆时针,沿D变形过程中不能够经过 f(z)不解析的点()d0f zz 一重要事实，称为 f(z)不解析的点。这闭曲线,C1,C2,.,Cn
17、是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以C,C1,C2,.,Cn为边界的区域全含于D。如果 f(z)在D内解析,则设C为多连通域D内的一条简单定理定理(复合闭路定理复合闭路定理)1i)()()knkCCf z dzf z dzii)()0f z dz 均取正方向；kC，其中C与为由C及Ck(k=1,2,.,n)DCC1C2C3所组成的复合闭路(C按顺时针,Ck按逆时针)。02,Cdzizz 例如 从本章1的例2知:当C为以z0为中心的正向所以，根据闭路变形原理，对于包含z0的任何一条正向02dzizz 简单曲线都有：圆周时,解解 函数的任何正向简单闭曲线。是处处解析的。线,因此,
18、它也包含这两个奇点。在G 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2，C1只例例 计算221zdzzz 221zzz的值,为包含圆周|z|=1在内在复平面内除z=0和z=1两个奇点外由于是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲xyO1C1C2包含奇点 z=0，C2只包含奇点 z=1。12222212121CCzzzdzdzdzzzzzzz02204iii11111CCdzdzzz则根据复合闭路定理可得22111CCdzdzzz从这个例子可以看到：借助于复合闭路定理，有些比较复杂的函数的积分可以化为比较简单的函数的积分来计算它的值。这是计算积分常用的一种方法。xyO1C1C2解解 函数的
19、正向。外是处处解析的。C 内作三个互不包含也互不相交的正向圆周C1，C2，C3，C1只包含例例 计算21.:|3(1)Cdz Czz z 21(1)z z 在复平面内除z=0,i,-i三个奇点由于C是圆周|z-3|=1,它包含这三个奇点。因此在奇点 z=0，C2只包含奇点 z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇点 z=-i。21(1)Cdzz z 03111111()22iiCdzzzizi 则根据复合闭路定理可得xyOiCC1C2C3-i1122222iii解解 函数的正向。外是处处解析的。C 内作三个互不包含也互不相交的正向圆周C1，C2，C3，C1只包含例例 计算223.:|3(
20、1)Czdz Czz z223(1)zz z在复平面内除z=0,i,-i三个奇点由于C是圆周|z-3|=1,它包含这三个奇点。因此在奇点 z=0，C2只包含奇点 z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇点 z=-i。32212323(1)(1)iiCCzzdzdzz zz z313 24002iii 33221132(1)1iiiiCCdzdzz zz则根据复合闭路定理可得31111iiCdzizizixyOiCC1C2C3-i331133112iiiiCCdzdzzzizi4 原函数与不定积分原函数与不定积分z1z2BC1C2z1z2C1C2B定理一定理一如果函数 f(z)在单连通域B
21、内处处解析,()Cf z dz则积分与连接起点及终点的路线C无关。由定理一可知,解析函数在单连通域内的积分只与1012()()()zzCCf z dzf z dzf z dz起点z0和终点z1有关,如图所示,有z1z2BC1C2z1z2C1C2B1012()()()zzCCf z dzf z dzf z dz固定z0，让z1在B内变动，令z1=z，则积分0()zzfdzz0()()zzF zfdzz在B内确定了一个单值函数对这个函数我们有下面的定理。证证 从导数的定义出发来证。设z为B内任意一点,以z为中心作一含于B内的小圆K,取()()F zf z定理二定理二如果 f(z)在单连通域B内处处
22、解析,则函数F(z)必为B内的一个解析函数,并且|zD在K内。于是可得充分小使zzD00()d()dzzzzzffzzzz()()F zzF z()d.zzzfzzz+DzzKzz0z+DzzKzz0()()()zzzzzzf z df zdf zzzzDDD()()1()()d()zzzF zzF zf zff zzzzz1()()d.zzzff zzzz()(),ff zzz0zz0,存在,当即时,总有又任给又因从而有因此根据积分的估值性质有这就是说即1|zz D D()()F zf z0()()lim()0,zF zzF zf zzDD1()()zzzff z dszzDD()()1()
23、()()zzzF zzF zf zff z dzzzzDDDD这个定理跟微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。容易证明，f(z)的任何两个原函数相差一个常数。设G(z)和H(z)是 f(z)的何任两个原函数,则定义定义如果函数()z在区域D内的导数等于 f(z),()()G zH zc()()()()()()0G zH zG zH zf zf z,则称()()zf z()z为 f(z)在区域B内的原函数原函数。定理二表明是 f(z)的一个原函数。0()()dzzF zfzz所以c为任意常数。因此,如果
24、函数 f(z)在区域B内有一个原函数 F(z),即则，它就有无穷多个原函数,而且具有一般表达式 F(z)+c，c为任意常数。可推得跟牛顿-莱布尼兹公式类似的解析函数积分计czFzzf)(d)(跟在微积分学中一样，定义定义：f(z)的原函数的一般形式F(z)+c(其中c 为任意常数)为 f(z)的不定积分不定积分,利用任意两个原函数之差为一常数这一性质，记作算公式。zzzzf0d)(00()d()()zzf zzG zG z证证 因为也是 f(z)的原函数,所以.)(d)(0czGzzfzz1010()d()()zzf zzG zG z或当z=z0时,根据柯西-古萨基本定理,0()cG z，因此
25、有f(z)的的一个原函数,则如果 f(z)在单连通域B内处处解析,G(z)为 这里z0,z1为域B内的两点。定理三定理三),()(d)(0110zGzGzzfzz解解原函数为zsin z+cos z。所以00cos dsincosiizzzzzz例例1 求积分0cosizzdz的值函数 zcos z在全平面内解析,容易求得它有一个sincos1iii11122eeeeii有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数的积分就可用跟微积分学中类似的方法去计算。11.e在所设区域内解析。它的一个原函例例2 试沿区域1)1ln(zz数为，所以21ln(1)2z 211ln(1)1dln(1)12|ii
26、zzzzIm()0,Re()0zz内的圆弧|z|=1,计算1ln(1)d1izzz的值。积分 解解 函数221ln(1)ln(2)2i223ln2ln 23288i 2211ln2ln 2224i解解2044diizzz例例 求下列积分的值:21(1)(2)iizdz231142 4233ii iii11.33i211tan(2)cosizdzz2(3)siniizdz21(1)(2)iizdz2311423izizz21(2)iizdz21(2)(2)iiizdiz 31(2)3iiiz 或或解解1(1tan)taniz dz例例1 求下列积分的值:21(1)(2)iizdz2211tant
27、an tan1tan 122ii21(tan1tan 1)2 211tan(2)cosizdzz2(3)siniizdz211tan(2)cosizdzz211tantan2izz22222111().121eeiee解解1 cos2()2iizdz例例1 求下列积分的值:21(1)(2)iizdz1111sin2 sin(2)2424iiii 211tan(2)cosizdzz2(3)siniizdz2(3)siniizdz11sin2 24iizz1sin22ii221()4ieei5 柯西积分公式柯西积分公式都是相同的。现在来求这个积分的值。设B为一单连通域，为B中一点。若 f(z)在B
28、内解0z形原理，这积分的值沿任何一条围绕的简单闭曲线0z析，则函数在 不解析。所以在B内围绕 的一条0()f zzz0z0z闭曲线C的积分0()Cf zdzzz 一般不为零。又根据闭路变则取以z0为中心，半径为的很小的圆周既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同。(取其正向)作为积分曲线C。0|zz由于 f(z)的连续性，在C上的函数 f(z)的值将随着0000()1()2().CCf zdzf zdzif zzzzz的值也将随着d的缩小而接近于0()Cf zdzzz 其实两者是相等的,即因此有下面的定理。00()d2().Cf zzif zzz 的缩小而逐渐接近于它在圆心 z0 处的值,从
29、而可以猜想析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，则如果 f(z)在区域D内处处解定理定理(柯西积分公式柯西积分公式)001()()d.2Cf zf zzizz DCKzz0R周K:|z-z0|=R全部在C的内部,时,0zz0()()f zf z0()0,存在,当证证 由于 f(z)在z0连续,任给设以z0为中心,R为半径的圆R且。那么有000000()()()()()ddddCKKKf zf zf zf zf zzzzzzzzzzzzz000()()2()dKf zf zif zzzz 0000()()|()()|2|KKKf zf zf zf zdzd
30、sdszzzzR对上式右边第二个式子整理可得这表明不等式右端积分的模可以任意小,只要R足够小就行了,根据闭路变形原理,该积分的值与R无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零才有可能,因此,上式即为要证的式子。上式称为柯西积分公式柯西积分公式。如果 f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内及C上解析，那么公式仍然成立。即001()()2Cf zf zdzizz 即,解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。20001()(e).2if zf zRdqq如果C是圆周0eizzRq,则定理可变为解解 由公式有|4122)13zdzzz|41sin1)2zzdz
31、iz|41sin1);2zzdziz|4122).13zdzzz 例例 求下列积分(沿圆周方向)的值：2122ii 0sin|zz0;|4|41213zzdzdzzz6.i解解 由公式有2|421)1 zziedzz3|1|112).1 zdzz2|421);1 zziedzz例例 求下列积分(沿圆周方向)的值：|4()zzzeedzzizi2()iii ee4 sin1 解解 3|1|112)1 zdzz3|1|112).1 zdzz2|421);1 zziedzz例例 求下列积分(沿圆周方向)的值：2|1|111(1)(1)zdzzzz2|1|11(1)(1)zdzzzz2|1|11(1)
32、.(1)zzzdzz21122(1)3ziizz解解 被积函数2sin41Czdzz 11)|1|;2z 2sin4,1Czdzz 例例 计算积分1sin411Czdzzz 1sin421zzizC分别为：12)|1|;2z 3)|2;z 2sin41zz有两个奇点：1.z 224i22i(1)在1|1|2z 内有奇点1z，故解解 被积函数2sin41Czdzz 11)|1|;2z 2sin4,1Czdzz 例例 计算积分2sin411Czdzzz 1sin421zzizC分别为：12)|1|;2z 3)|2;z 2sin41zz有两个奇点：1.z 224i22i(2)在1|1|2z 内有奇点
33、1z ，故解解 被积函数2sin41Czdzz 11)|1|;2z 2sin4,1Czdzz 例例 计算积分1sin411Czdzzz C分别为：12)|1|;2z 3)|2;z 2sin41zz有两个奇点：1.z 22i(3)由复合闭路定理，有2sin411Czdzzz 22i2 i6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可用函数在边界上的值用积分来表示。这一点和实变函数完全不同。一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这区间上是否连续也不一定，更不要说它有高阶导数存在了。()010!()()(1,2,).2()nnCnf zfzdz n
34、izz其中C为在函数 f(z)的解析区域 D内围绕 z0的任何一条证证 设z0为D内任意一点,先证 n=1的情形,即正向简单曲线,而且它的内部全含于D。关于解析函数的高阶导数有下面的定理。定理定理 解析函数 f(z)的导数仍为解析函数,它的 n 阶导数为：0201()(),2()Cf zfzdzizz 先按定义有0000()()()lim,zf zzf zfzzD DD0201()(),2()Cf zfzdzizz 因此就是要证0020()()1()2()Cf zzf zf zdzizzzDD 0zD 在时也趋向于零。001()(),2Cf zf zzdzizzzDD 001()(),2Cf
35、zf zdzizz 001()(),2Cf zf zzdzizzzDD 0000()()1()2()()Cf zzf zf zdzzizzzzzDDD 001()(),2Cf zf zdzizz 从而有令0020()()1()2()Cf zzf zf zIdzizzzDD 2200001()1|()|.2()()2|DDDDCCzf z dzzf zdsIzzzzzzzzzz则0zD 时I0,而现要证当2001()2()()Czf zIdzizzzzzDD 0020()()1()2()Cf zzf zf zIdzizzzDD 20001()1()2()2()()CCf zf zdzdzizzi
36、zzzzzD又因为f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上|f(z)|M。d为z0到C上各点23001|()|2|Cz f z dsMLIzz zz zzdD DD，则,2zdD小使其满足0011,zzdzzd所以00|,2D D dzzzzzz012,zzzdDDz0dCzD适当地的最短距离,则取再利用同样的方法去求极限：便可得000()()limzfzzfzzD DD0302!()()2()Cf zfzdzizz L是C的长度。0zD 时,I0,也就证这就证得了当0201()()2()Cf zfzdzizz 这也就证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数。得了()010!()()2()
37、nnCnf zfzdzizz 依此类推,用数学归纳法可以证明：此公式可以这样记忆：把柯西积分公式的两边对z0 求 n 阶导数，右边求导在积分号下进行，求导时把被积函数看作是z0的函数,而把 z 看作常数。在于通过求导来求积分在于通过求导来求积分。高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导,而而5cos1);(1)Czdzz 51cos()zz 5cos(1)Czdzz解解 1)函数在C内的z=1处不解析,但在C内却是处处解析的。有cosz222)(1)zCedzz 例例1 求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=r1。(4)12(cos)(5 1)!|z
38、iz5.12i 4124cos()(5 1)!2|ziz5cos1);(1)Czdzz 解解OC1C2Ciixy2)函数在C内的C内以i和闭路定理,22(1)zez zi i为中心作两个正向圆周。则此函数12,CC在由C，和1C2C所围成的区域内是解析的。根据复合222)(1)zCedzz 处不解析。在12222222(1)(1)(1)zzCCzCeedzdzzzedzz由定理有同样可得(1).2ii e122(1)zCedzz222(1)zCedzz222()()zCezidzzi22(2 1)!()zz iiezi(1)(1).22iii eii e12222()()(2 1)!()zzC
39、zieiezidzzizi因此(1).2ii e122(1)zCedzz222(1).(1)2ziCeii edzz22d(1)()2sin(1)(1)24ziiCezi eieiz 51);zCedzz5zez5 zCedzz解解 1)函数在C内的z=0处不解析,但在C内却是处处解析的。有ze212);zCedzz例例 求下列积分的值,其中C为正向圆周：|z|=1。(4)02()(5 1)!|zzie.12i21cos3)nCzdzz21zez 21 zCedzz解解 2)函数在C内的z=0处不解析,但在C内却是处处解析的。有1ze例例 求下列积分的值,其中C为正向圆周：|z|=1。02(1
40、)1!|zzie2.i02|zzie51);zCedzz212);zCedzz21cos3)nCzdzz21cosnzz21cos nCzdzz解解 3)函数在C内的z=0处不解析,但在C内却是处处解析的。有cosz例例 求下列积分的值,其中C为正向圆周：|z|=1。(2)02(cos)(2)!|nzizn2cos(2)!inn022cos()(2)!2zinzn2(1)(2)!nin51);zCedzz212);zCedzz21cos3)nCzdzz解解 被积函数22cos(1)Czdzzz 11)|;2z 22cos,(1)Czdzzz 例例 计算积分122cos1(1)Czdzzz 02
41、cos2(1)zzizC分别为：12)|1|;2z 3)|2;z 22cos(1)zzz有两个奇点：0,1.z 22i4 i(1)在1|2z 内有奇点0z，故023sin2cos2(1)(1)zzzizz解解 被积函数22cos(1)Czdzzz 11)|;2z 22cos,(1)Czdzzz 例例 计算积分222cos1(1)Czdzzz 12cos2zzizC分别为：12)|1|;2z 3)|2;z 22cos(1)zzz有两个奇点：0,1.z 22i4 i(2)在1|1|2z 内有奇点1z，故123sin2cos2zzzizz解解 被积函数22cos(1)Czdzzz 11)|;2z 2
42、2cos,(1)Czdzzz 例例 计算积分122222cos1cos1(1)(1)CCzzdzdzzzzzC分别为：12)|1|;2z 3)|2;z 22cos(1)zzz有两个奇点：0,1.z 44ii(3)在|2z 内有奇点0,1z，故8 i例例2 设函数 f(z)在单连通域B内连续，且对于B内任()0Cf z dz 证证 在B内取定一点，z为B内任意一点，根据已知0z然后还可以用证明定理二相同的方法，证明函数的导数仍为解析函数，故 f(z)为解析函数。所以F(z)是B内的一个解析函数，再根据上面定理知解析()()F zf z何一条简单闭曲线C都有,证明 f(z)在B内0()zzfdzz
43、条件，知积分的值与连接0z与z的路线无关，它定义了一个z的单值函数：0()()zzF zfdzz解析(Morera)。7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系问题：问题：则则 和和 的二阶偏导有的二阶偏导有uvivu 在区域在区域D内解析内解析,若若什么性质？什么性质？即在内满足即在内满足拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程方程：D uvxy uvyx222 uvxx y222 uvyy x22220uuxy22220vvxy故有故有同理同理设设 在区域内解析，得在区域内解析，得ivuzf)(D：则则 和和 的二阶偏导的二阶偏导uvivu 在区域在区域D内解析内解析,若若有什么性
44、质？有什么性质？2222Dxy这里这里是一种运算记号，称为是一种运算记号，称为拉普拉斯算子拉普拉斯算子。00,DDuv则称则称 为区域为区域 内的内的调和函数调和函数。D(,)x y连续偏导数，且满足拉普拉斯连续偏导数，且满足拉普拉斯(Laplace)方程方程即即0 D 22220.xyD定义定义 如果二元实函数如果二元实函数),(yx在区域在区域 内有二阶内有二阶定理定理 若若 在区域在区域 内解析，内解析，()(,)(,)f zu x yiv x yD必为必为(共轭共轭)调和函数。调和函数。(,),(,)u x y v x y证证 设设为为D的一个解析函数，那么的一个解析函数，那么()wf
45、 zuiv从而从而则则 uvxy uvyx222 uvxx y222 uvyy x根据解析函数高阶导数定理，根据解析函数高阶导数定理，u与与v具有任意阶的具有任意阶的连续偏导数，所以连续偏导数，所以22 vvy xx y 因此因此u与与v都是调和函数。都是调和函数。同理同理22220.uuxy从而从而22220.vvxy根据解析函数高阶导数定理，根据解析函数高阶导数定理，u与与v具有任意阶的连具有任意阶的连续偏导数，所以续偏导数，所以22vvy xx y 设设u(x,y)为区域为区域D内给定的调和函数，把使内给定的调和函数，把使u+iv在在D内构成解析函数的调和函数内构成解析函数的调和函数v(
46、x,y)称为称为u(x,y)的共轭调和的共轭调和函数。换句话话，在函数。换句话话，在D内满足柯西内满足柯西-黎曼方程黎曼方程利用柯西利用柯西-黎曼方程求得它的共轭调和函数黎曼方程求得它的共轭调和函数v，从而构成，从而构成应当指出，如果已知一个调和函数应当指出，如果已知一个调和函数 u，那么就可以，那么就可以于解析函数的理论解决函数的问题。在第六章将举例说于解析函数的理论解决函数的问题。在第六章将举例说解析函数和调和函数的上述关系，使我们可以借助解析函数和调和函数的上述关系，使我们可以借助一个解析函数一个解析函数 u+iv。下面举例说明求法。这种方法可以。下面举例说明求法。这种方法可以称为称为偏
47、积分法偏积分法。明解析函数在这个方面的应用。明解析函数在这个方面的应用。的两个调和函数中，的两个调和函数中，v称为称为u的共轭调和函数的共轭调和函数。因此，上。因此，上面的定理说明：区域面的定理说明：区域D内的解析函数的内的解析函数的虚部为实部的共虚部为实部的共轭调和函数轭调和函数。,uvxyvuxy 这就证明了这就证明了u(x,y)为调和函数。为调和函数。所以所以例例1证明证明32(,)3u x yyx y2)由由为调和函数，并求其共为调和函数，并求其共，得，得解解 1)因为因为263(),vxydyxyg x 轭调和函数轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数。和由它们构成的解析函数。
48、226,6.uuxyyxx 23(),vyg xx 6vuxyyx 222233,6.uuyxyyy22220.uuxy从而得到一个解析函数从而得到一个解析函数这个函数可以化为这个函数可以化为此例说明，已知解析函数的实部，就可以确定它的此例说明，已知解析函数的实部，就可以确定它的32323(3).wyx yi xxyc虚部，至多相差一个任意常数。下面的例子则说明类似虚部，至多相差一个任意常数。下面的例子则说明类似3()().wf zi zc地由解析函数的虚部地由解析函数的虚部(可能相差一个常数可能相差一个常数)它的实部。它的实部。23()3,g xx dxxc32(,)3v x yxxyc故故
49、 因此因此2223()33,yg xyx vuxy，得，得由由例例2 已知一调和函数已知一调和函数(cossinsin)1,xveyyxyyx，使，使 f(0)=0。()f zuiv一解析函数一解析函数解解由由(cossin)xve yyxyxy 因为因为(cossincos)1,xveyyyxyy(cossincos)1,xuveyyyxyxy得得(cossincos)1xueyyyxydx(cossin)().xexyyyxg y，求，求故故xvyu由由，得，得(cossinsin)1xeyyxyy().g yyc 因此因此(cossin),xuexyyyxyc(sincossin)()x
50、exyyyyg y它可以写成它可以写成而而()(1).zf zzei zc(1)(1),xiyxiyxe eiye exiiyic()(cossin)(cossin)xxf zexyyyxyci eyyxyxy由由 f(0)=0，得，得 c=0，所以所求的解析函数为，所以所求的解析函数为()(1).zf zzei z已知解析函数已知解析函数 f(z)=u+iv的导数的导数()fz()xxxyyxfzuivuiuviv析函数析函数 f(z)=u+iv的方法。的方法。下面再介绍一种已知调和函数下面再介绍一种已知调和函数 u(x,y)或或v(x,y)求解求解且有且有仍为解析函数仍为解析函数,把把xy
