1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十节 第一课时 利用导数研究函数的单调性 课时作业 A 组 基础对点练 1.函数 f(x)的导函数 f( x)的图象是如图所示的一条直线 l， l 与 x 轴的交点坐标为 (1,0)，则 f(0)与 f(3)的大小关系为 ( ) A f(0)f(3) C f(0) f(3) D无法确定 解析：由题意知 f(x)的图象是以 x 1 为对称轴，且开口向下的抛物线，所以 f(0)f(2)f(3)选 B. 答案： B 2若函数 f(x) kx ln x 在区间 (1， ) 单调递增，则 k 的取值范围是 ( ) A ( ， 2 B ( ， 1 C 2， ) D 1，
2、 ) 解析：依题意得 f( x) k 1x0 在 (1， ) 上恒成立，即 k 1x在 (1， ) 上恒成立， x1， 00 时恒成立 即 1x a ln x0 在 x0 时恒成立 所以 a 1x ln x 在 x0 时恒成立 令 g(x) 1x ln x(x0)， 则 g( x) 1x2 1x x 1x2 (x0)， 由 g( x)0，得 x1； 由 g( x)0 时恒成立， 即 1x a ln x0 在 x0 时恒成立， 所以 a 1x ln x 在 x0 时恒成立，由上述推理可知此时 a1. 故实数 a 的取值范围是 ( ， 1 B 组 能力提升练 1函数 f(x)的定义域是 (0， 2
3、)， f( x)是它的导函数，且 f(x) tan x f( x) 0 在定义域内恒成立，则 ( ) A f( 6) 2f( 4) B 2sin 1 f(1) f( 4) C f( 6) 3f( 3) D 2f( 4) 3f( 3) 解析： 0 x 2 ， sin x 0， cos x 0.由 f(x) tan x f( x) 0，得 cos x f(x) sin x f( x) 0.令 g(x) sin x f(x)， 0 x 2 ，则 g( x) cos x f(x) sin x f( x) 0，即 g(x)在 (0， 2 )上是增函数， g(1) g( 4 )，即 sin 1 f(1)
4、sin 4 f(4)， 2sin 1 f(1) f(4)故选 B. 答案： B 2已知函数 f(x) sin x2 cos x.若当 x 0 时，函数 f(x)的图象恒在直线 y kx 的下方，则 k的取值范围是 ( ) A 13， 33 B 13， ) C 33 ， ) D 33 ， 32 解析：由题意，当 x 0 时， f(x) sin x2 cos x kx 恒成立由 f() k 知 k 0.又 f( x) 1 2cos x2 cos x 2，由切线的几何意义知，要使 f(x) kx 恒成立，必有 k f(0) 13.要证k 13时不等式恒成立，只需证 g(x) sin x2 cos x
5、 13x 0， g( x) 2cos x 1 cos x 2 13 x 2 cos x 2 0 ， g(x)在 (0， ) 上单调递减， =【 ;精品教育资源文库 】 = g(x) g(0) 0， 不等式成立综上 k 13， ) 答案： B 3 (2018 石家庄市质检 )已知函数 f(x) sin(2x 12)， f( x)是 f(x)的导函数，则函数y 2f(x) f( x)的一个单调递减区间是 ( ) A 12， 712 B 512 ， 12 C 3 ， 23 D 6 ， 56 解析：由题意， 得 f( x) 2cos(2x 12)，所以 y 2f(x) f( x) 2sin(2x 12
6、) 2cos(2x 12) 2 2sin(2x 12 4 ) 2 2sin(2x 3 )由 2k 2 2 x 3 2 k 32 (kZ)，得 k 12 x k 712(k Z)，所以 y 2f(x) f( x)的一个单调递减区间为 12，712，故选 A. 答案： A 4已知函数 f(x) ax3 3x2 1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a的取值范围是 ( ) A (2， ) B ( ， 2) C (1， ) D ( ， 1) 解析：当 a 0 时，显然 f(x)有两个零点，不符合题意 当 a0 时， f( x) 3ax2 6x，令 f( x) 0，解得 x1 0， x2
7、 2a. 当 a 0时， 2a 0，所以函数 f(x) ax3 3x2 1在 ( ， 0)与 ? ?2a， 上为增函数，在 ? ?0， 2a上为减函数，因为 f(x)存在唯一零点 x0，且 x0 0，则 f(0) 0，即 1 0，不成立 当 a 0时， 2a 0，所以函数 f(x) ax3 3x2 1在 ? ? ， 2a 和 (0， ) 上为减函数，在 ? ?2a， 0上为增函数，因为 f(x)存在唯一零点 x0，且 x0 0，则 f? ?2a 0，即 a 8a3 3 4a2 1 0，解得 a 2 或 a 2，又因为 a 0，故 a 的取值范围为 ( ， 2)选 B. 答案： B 5 (201
8、8 广州市模拟 )若函数 f(x) ex(sin x acos x)在 ( 4 ， 2)上单调递增，则实数 a的取值范围是 ( ) A ( ， 1 B ( ， 1) =【 ;精品教育资源文库 】 = C 1， ) D (1， ) 解析： f( x) exsin x cos x a(sin x cos x)，当 a 0 时， f( x) ex(sin x cos x)，显然 x ( 4 ， 2)， f( x) 0 恒成立，排除 C， D；当 a 1 时， f( x) 2excos x， x ( 4 ， 2)时， f( x) 0，故选 A. 答案： A 6已知函数 f(x) 12x2 3x 4ln
9、 x在 (t， t 1)上不单调，则实数 t的取值范围是 _ 解析： 函数 f(x) 12x2 3x 4ln x(x 0)， f( x) x 3 4x， 函数 f(x) 12x2 3x 4ln x 在 (t， t 1)上不单调， f( x) x 3 4x 0 在 (t， t 1)上有解， x2 3x 4x 0 在 (t， t 1)上有解， x2 3x 4 0 在 (t， t 1)上有解，由 x2 3x 4 0 得 x 1 或 x 4(舍去 )， 1 (t， t 1)， t (0,1)，故实数 t 的取值范围是 (0,1) 答案： (0,1) 7已知 y f(x)为 R 上的连续可导函数，且 x
10、f( x) f(x) 0，则函数 g(x) xf(x) 1(x 0)的零点个数为 _ 解析：因为 g(x) xf(x) 1(x 0)， g( x) xf( x) f(x) 0，所以 g(x)在 (0， )上单调递增，又 g(0) 1， y f(x)为 R 上的连续可导函数，所以 g(x)为 (0， ) 上的连续可导函数，又 g(x) g(0) 1，所以 g(x)在 (0， ) 上无零点 答案： 0 8 (2018 洛阳统考 )已知函数 f(x) ex mln x(m R， e 为自然对数的底数 )，若对任意正数 x1， x2，当 x1 x2时都有 f(x1) f(x2) x1 x2成立，则实数
11、 m 的取值范围是 _ 解析：依题意得，对于任意的正数 x1， x2，当 x1 x2时，都有 f(x1) x1 f(x2) x2，因此函数 g(x) f(x) x 在区间 (0， ) 上是增函数，于是当 x 0 时， g( x) f( x) 1 ex mx 10 ，即 x(ex 1) m 恒成立记 h(x) x(ex 1)， x 0，则有 h( x) (x 1)ex 1 (0 1)e0 1 0(x 0)， h(x)在区间 (0， ) 上是增函数， h(x)的值域是 (0， ) ，因此 m0 ， m0. 故所求实数 m 的取值范围是 0， ) 答案： 0， ) =【 ;精品教育资源文库 】 =
12、9已知函数 f(x) x2 (2t 1)x tln x(t R) (1)若 t 1，求曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的 切线方程以及 f(x)的极值； (2)设函数 g(x) (1 t)x，若存在 x0 1， e，使得 f(x0) g(x0)成立，求实数 t 的最大值 解析： (1)依题意，函数 f(x)的定义域为 (0， ) ， 当 t 1 时， f(x) x2 3x ln x， f( x) 2x 3 1x x xx . 由 f(1) 0， f(1) 2，得曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 y 2. 令 f( x) 0，解得 x 12或 x 1， f( x)
13、， f(x)随 x 的变化情况如下： x ? ?0， 12 12 ? ?12， 1 1 (1， ) f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 由表格知， f(x)极大值 f? ?12 54 ln12， f(x)极小 值 f(1) 2. (2)由题意知，不等式 f(x) g(x)在区间 1， e上有解， 即 x2 2x t(ln x x)0 在区间 1， e上有解 当 x 1， e时， ln x1 x(不同时取等号 )， ln x x22ln x， h( x)0 ， h(x)单调递增， x 1， e时， h(x)max h(e) e 1 . t e 1 ， 实数 t 的最大值是 e 1 .
