1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (六 ) 函数的单调性与最值 基础巩固 一、选择题 1 (2016 北京卷 )下列函数中，在区间 ( 1,1)上为减函数的是 ( ) A y 11 x B y cosx C y ln(x 1) D y 2 x 解析 函数 y 11 x， y ln(x 1)在 ( 1,1)上都是增函数，函数 y cosx 在 ( 1,0)上是增函数，在 (0,1)上是减函数，而函数 y 2 x ? ?12 x在 ( 1,1)上是减函数，故选 D. 答案 D 2已知函数 f(x) x2 2x 3，则该函数的单调递增区间为 ( ) A ( ， 1 B 3， ) C (
2、 ， 1 D 1， ) 解析 设 t x2 2x 3，由 t0 ， 即 x2 2x 30 ，解得 x 1 或 x3. 所以函数的定义域为 ( ， 1 3， ) 因为函数 t x2 2x 3 的图象的对称轴为 x 1，所以函数 t 在 ( ， 1上单调递减，在 3， ) 上单调递增 答案 B 3下列函数 f(x)中，满足 “ 对任意 的 x1， x2 (0， ) 时，均有 (x1 x2)f(x1)f(x2)0” 的是 ( ) A f(x) 12 B f(x) x2 4x 4 C f(x) 2x D f(x) log12x 解析 (x1 x2)f(x1) f(x2)0 等价于 x1 x2 与 f(
3、x1) f(x2)正负号相同，故函数f(x)在 (0， ) 上单调递增显然只有函数 f(x) 2x符合，故选 C. 答案 C 4函数 f(x) 11 x x 的 最大值是 ( ) A.45 B.54 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.34 D.43 解析 由 f(x) 1?x 122 34 43， 则 f(x)max 43，故选 D. 答案 D 5 (2017 东北三校联考 (一 )设函数 f(x) x2 (a 2)x 1 在区间 2， ) 上是增函数，则实数 a 的最小值为 ( ) A 2 B 1 C 1 D 2 解析 由题意得 a 2 2 2 ，解得 a 2，所以实数 a 的最小值为
4、2. 答案 A 6 (2017 德州市模拟 )设偶函数 f(x)在 (0， ) 上为增函数，且 f(1) 0，则不等式f x f xx 0 的解集为 ( ) A ( 1,0) (1， ) B ( ， 1) (0,1) C ( ， 1) (1， ) D ( 1,0) (0,1) 解析 因为函数 f(x)为偶函数，且在区间 (0， ) 上是增函数， f(1) 0， 所以函数 f(x)在区间 ( ， 0)上是减函数，且 f( 1) 0. 由 f x f xx 0，可得 2f xx 0，即 f xx 0， 当 x0 时， f(x)0，即 f(x)f(1)，解得 x1. 故不等式 f x f xx 0
5、的解集为 ( 1,0) (1， ) 答案 A 二、填空题 7函数 f(x) 1x 1在区间 a， b上 的最大值是 1，最小值是 13，则 a b _. 解析 易知 f(x)在 a， b上为减函数， =【 ;精品教育资源文库 】 = ? f a 1，f b 13， 即 ? 1a 1 1，1b 113，? a 2，b 4. a b 6. 答案 6 8函数 y log12|x 3|的单调递减区间是 _ 解析 函数的定义域为 x|x3 令 u |x 3|，则在 ( ， 3)上 u 为 x 的减函数，在 (3， ) 上 u 为 x 的增函数又 00， x1 20， x2 20， 1 2a12， 即实数
6、 a 的取值范围是 ? ?12， . 解法二： f(x) a x 1 2ax 2 a 1 2ax 2 ， f(x)在 ( 2， ) 上单调递增， 1 2a12. 答案 ? ?12， =【 ;精品教育资源文库 】 = 三、解答题 10已知函数 f(x) a 1|x|. (1)求证： 函数 y f(x)在 (0， ) 上是增函数； (2)若 f(x)0， x2 x10， f(x2) f(x1) ? ?a 1x2 ? ?a 1x1 1x1 1x2 x2 x1x1x20， 所以 f(x)在 (0， ) 上是增函数 (2)由题意 a 1x1， 所以 2 1x1x20， 所以 h(x1)1. 是 ( ，
7、) 上的减函数，那么 a 的取值范围是 ( ) A (0,1) B.? ?0， 13 C.? ?17， 13 D.? ?17， 1 解析 据题意要使原函数在定义域 R 上为减函数，要满足 3a 1b. 设函数 f(x) x 3， g(x) log2x，则函数 h(x) minf(x)， g(x)的最大值是 _ 解析 依据题意，作出函数 h(x)的图象，如图 由图可知，当 x 2 时， h(x)取得最大值 1. 答案 1 14已知函数 f(x) lnx 2x，若 f(x2 4)2 时，求函数 y f(x)在区间 1,2上的最小值 解 (1)当 a 2 时， f(x) x|x 2|? x x ，
8、x2 ，x x ， x2， x 1,2， 所以 f(x) x(a x) x2 ax ? ?x a2 2 a24. 当 132，即 a3 时， f(x)min f(1) a 1. f(x)min? 2a 4， 23. 16已知函数 f(x) lg? ?x ax 2 ，其中 a 是大于 0 的常数 (1)求函数 f(x)的定义域； (2)当 a (1,4)时，求函数 f(x)在 2， ) 上的最小值； (3)若对任意 x 2， ) 恒有 f(x)0，试确定 a 的取值范围 解 (1)由 x ax 20，得 x2 2x ax 0， a1 时， x2 2x a0 恒成立，定义域为 (0， ) ， a
9、1 时，定义域为 x|x0 且 x1 ， 01 1 a (2)设 g(x) x ax 2，当 a (1,4)， x 2， ) 时， g( x) 1 ax2 x2 ax2 0 恒 成立， g(x) x ax 2 在 2， ) 上是增函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x) lg? ?x ax 2 在 2， ) 上是增函数 f(x) lg? ?x ax 2 在 2， ) 上的最小值为 f(2) lga2. (3)对任意 x 2， ) 恒有 f(x)0， 即 x ax 21 对 x 2， ) 恒成立 a3x x2， 而 h(x) 3x x2 ? ?x 32 2 94在 x 2， ) 上是减函
10、数， h(x)max h(2) 2. a2. 延伸拓展 已知定义在区间 (0， ) 上的函数 f(x)满足 f? ?x1x2 f(x1) f(x2)，且当 x1时， f(x)0， 代入得 f(1) f(x1) f(x1) 0，故 f(1) 0. (2)证明：任取 x1， x2 (0， ) ， 且 x1x2，则 x1x21， 由于当 x1 时， f(x)0，所以 f? ?x1x20， 即 f(x1) f(x2)0， 因此 f(x1)f(x2)， 所以函数 f(x)在区间 (0， ) 上是单调递减函数 (3) f(x)在 (0， ) 上 是单调递减函数 f(x)在 2,9上的最小值为 f(9) 由 f? ?x1x2 f(x1) f(x2)得， f? ?93 f(9) f(3)，而 f(3) 1， 所以 f(9) 2. f(x)在 2,9上的最小值为 2.
