1、第七章 随机变量和离散概率分布 7.1 引言 7.2 随机变量和概率分布 7.3 总体的描述/概率分布 7.4 二元（维）分布 7.5 在金融中的应用：投资组合多样化和资产分配 7.6 二项分布 7.7 泊松分布7.2 随机变量和概率分布 随机变量：是取值为一次实验的每个输出结果的函数或者公式。有离散和连续两种类型。离散型随机变量，其数值个数是可数的。连续型随机变量，其数值个数是不可数的。离散型随机变量满足的条件 对于随机变量X，可取值为1.对于所有的 ，2.ixix0()1iP x()=1iiP xx所有的求下列概率：求下列概率：a.P(X0)b.x-3268P(x)0.20.30.40.1
2、例：随机变量x服从下面的概率分布：(25)PX7.3 总体的描述/概率分布 均值 方差 总体均值 总体方差 总体方差简便计算公式=1=NiiNx()()E XxP x所有的x22()=()()V XxP x所有的x22=1-=NiiN（x）222()=()-V Xx P x所有的xx-3268P(x)0.20.30.40.12()()=(-3)P(-3)+2P(2)+6P(6)+8P(8)=3.2E Xx P x所有的x22()=()()V XxP x所有的x22(33.2)0.2(23.2)0.3 22(63.2)0.4(83.2)0.113.56=13.563.68 期望的性质 1.2.3
3、.方差的性质 1.2.3.()E cc()()E XcE Xc()()E cXcE X()=0V c()=()V XcV X2()=c()V cXV X7.4 二元（维）分布 把取值分别为x和y的两个变量X和Y的联合概率定义为 离散二元分布的性质 0()1,()P xyxy，对所有的，()=1xxP xy 所有的 所有的，()P xy，()=P(X=x,Y=y)P xy，协方差 相关系数 (X,Y)=(-)(-)(,)xyxxCOVxyP x y 所有的 所有的(X,Y)=(,)-xyxxCOVxyP x y 所有的 所有的(,)=xyCOV X Y 计算 例：分别求X,Y的边际概率，期望，方
4、差，标准差，再计算X,Y的协方差及相关系数。X 01200.120.420.06Y10.210.060.0320.070.020.01(0)0.4P X(1)0.5P X(2)0.1P X(0)0.6P Y(1)0.3P Y(2)0.1PY()()=0.7xE XxP x()()=0.5yE YyP y22()=()()=0.41xxV XxP x22()=()()=0.45yyV YyP y2=0.64xx2=0.67yy(X,Y)=(-)(-)(,)xyxxCOVxyP x y 所有的 所有的=(0-0.7)(0-0.5)0.12+(1-0.7)(0-0.5)0.42+(2-0.7)(0-
5、0.5)0.06+(0-0.7)(2-0.5)0.07+(1-0.7)(2-0.5)0.02+(2-0.7)(2-0.5)0.01+(0-0.7)(1-0.5)0.21+(1-0.7)(1-0.5)0.06+(2-0.7)(1-0.5)0.03=-0.5(X,Y)=(,)-xyxxCOVxyP x y 所有的 所有的(,)-0.5=-0.350.64 0.67xyCOV X Y 两个变量之和的期望和方差的性质 1.2.如果X和Y独立，所以()()()E XYE XE Y()()()2(,)V XYV XV YCOV X Y(,)=0COV X Y()()()V XYV XV Y7.5 在金融中
6、的应用：投资组合多样化和资产分配 两只股票的投资组合的均值和方差 k只股票的投资组合的期望和方差1122E(R)=E(R)+E(R)p2211221212V(R)=V(R)+V(R)+2(R,R)pCOV222211221212=+2 =1E(R)=E(R)kpiii2212=1=1=+1V(R)=+2(R,R)kkkpiiijiij iCOV 7.6 二项分布 二项试验1.二项试验由固定数目的实验组成。我们用n表示试验的数目。2.每次试验的结果都有成功和失败两种可能。3.成功的概率是p,失败的概率是1-p.4.试验之间是相互独立的，即某一次试验的结果对其他试验的结果没有影响。二项概率的分布n
7、次试验成功x次的概率是=0,1,2,n其中 x，n-xn!()=(x)=(1-p)!(n-x)!xP Xxppx()(0,1,2,)xxn xnp qP XxCxn 二项概率 二项分布的均值，方差和标准差 ()=1(1)PPxXXx()1)=)(P XxxP Xpxnp2(1-)npp(1-)npp 二项概率 二项分布的均值，方差和标准差 ()=1(1)PPxXXx()1)=)(P XxxP Xpxnp2(1-)npp(1-)npp 一次测试有10道选择题，每个问题有5个答案，其中只有1个是正确的，如果对每个问题都是猜测答案。一道题都没答对的概率是多少？猜对2道题目的概率是多少？n-xn!()
8、=(x)=(1-p)!(n-x)!xP Xxppx0101010!144(0)=(0)=()()=()0.10740!(10-0)!555P Xp15(1)当n=10,p=,x=0 时15(2)当n=10,p=,x=2 时2810!14(2)=(2)=()()=0.3022!(10-2)!55P Xp7.7 泊松分布泊松试验的特征：1.某个间隔内成功的次数独立于其他间隔内成功的次数。2.某个间隔内成功的概率等于同样大小的间隔内成功的概率。3.成功的概率是与间隔的大小成比例的。4.随着间隔越来越小，这个间隔内成功次数多于一次的概率趋于零。例如：一条高速公路上，一小时经过的汽车数。若X是泊松分布随机变量，则其取值为x的概率为 是在间隔或者区域内成功次数的均值。-()=,(=)=!uxep xxP X x 其中 x 012 一位教师发现新版教科书上，每100页上的错误个数服从均值为1.5的泊松分布。这位教师从一本新书中随机选择了100页。问没有错误的概率是多少？-1.50-1.51.52.718281=.!0!(=0)1uxeeP Xx（）（）02231
