1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五单元 数列 第 28讲 数列的概念与简单表示法 课前双击巩固 1.数列的有关概念 有关概念 定义 数列 按照 排列的一列数 数列的项 数列中的 数列的通项 数列 an的第 n项 an 通项公式 数列 an的第 n项 an与 之间的关系式 前 n项和 数列 an中 ,Sn = 2.数列的表示法 表示法 定义 列表法 通过表格表示 n与 an的对应关系 图像法 用平面直角坐标系内的 y轴 一系列孤立的点表示 公式法 通项公式 an= 递推公式 an+1= f(an) ;an+1=f(an, an-1) 3.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 单调性 递增数列
2、 n N* 递减数列 常数列 an+1=an =【 ;精品教育资源文库 】 = 周期性 周期数列 对 n N*,存在正整数常数 k, 使 an+k = 其他标准 有界数列 存在正数 M,使 摆动数列 从第 2项起 ,有些项大于它的前一项 , 有些项小于它的前一项 4. an 与 Sn 的关系 已知数列 an的前 n项和 Sn ,则 an= 常 用结论 求数列的最大 (小 )项 ,一般可以利用数列的单调性 ,即用 (n 2,n N*)或(n 2,n N*)求解 ,也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解 . 题组一 常识题 1.教材改编 已知数列的前几项为 1,- , ,- ,则该数列的
3、一个通项公式是 . 2.教材改编 已知数列 满足 an=(n- )2n(n N*),若 an是递增数列 ,则实数 的取值范围是 . 3.教材改编 在数列 中 ,若 a1=1,an=1+ (n 2),则 a3= . 题组二 常错题 索引 :忽视数列是特殊的函数 ,其自变量为正整数集 N*或其子集 1,2,? ,n;求数列前 n项和 Sn的最值时忽视项为零的情况 ;根据 Sn求 an时忽视对 n=1的验证 . 4.在数列 -1,0, , ,? , 中 ,0.08是它的第 项 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.在数列 an中 ,an=-n2+6n+7,当其前 n项和 Sn取最大值时 ,n=
4、. 6.已知 Sn=2n+3,则 an= . 课堂考点探究 探究点一 根据数列的前几项求数列的通项公式 1 (1)数列 的前几项为 ,3, ,8, ,? ,则此数列的通项公式可能是 ( ) A.an= B.an= C.an= D.an= (2)数列 ,- , ,- ,?的一个通项公式为 ( ) A.an=(-1)n B.an=(-1)n C.an=(-1)n+1 D.an=(-1)n+1 (3)数列 的前几项为 7,77,777,7777,? ,则此数列的通项公式可能是 . 总结反思 由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 : =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)常用方法 :观察
5、 (观察规律 )、比较 (比较已知数列 )、归纳、转化 (转化为特殊数列 )、联想(联想常见的数列 )等 方法 .同时也可以使用 添项、还原、分割 等方法 ,转化为一个 常见数列 ,通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式 . (2)具体策略 : 分式中分子、分母的特征 ; 相邻项的变化特征 ,如递增时可考虑关于 n为一次递增或以 2n,3n等形式递增 ; 拆项后的特征 ; 各项的 符号特征 和 绝对值 的特征 ; 化异为同 ,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破 ,或寻找分子、分母之间的关系 ; 对于符号交替出现的情况 ,可用 (-1)n或 (-1)n+1,n N*来处理 . 式题 (
6、1)数列 , , , , ,?的一个通项公式为 . (2)数 列 ,- , ,- ,?的一个通项公式可以为 . 探究点二 由 an与 Sn求通项公式 an 2 (1)已知数列 的前 n项和 Sn=2n+n2+1(n N*),则通项公式为 an= . (2)已知数列 的前 n项和 Sn满足 an+2SnSn-1=0(n 2,n N*),a1= ,则通项公式为an= . 总结反思 已知 Sn求 an的常用方法是利用 an= 转化为关于 an的关系式 ,再求通项公式 .主要分三个步骤完成 : (1)先利用 a1=S1,求得 a1; (2)用 n-1替换 Sn中的 n得到一个新的关系 式 ,利用 an
7、=Sn-Sn-1(n 2)便可求出当 n 2,n N*时的通项 ; (3)对 n=1时的结果进行 检验 ,看是否符合 n 2,n N*时 an的表达式 ,如果符合则可以把数列的通项公式合写 ;如果不符合 ,则应该分 n=1与 n 2两段来写 . 式题 (1)2017西宁五中月考 已知数列 的前 n项和 Sn= n2+ ,则通项公式为an= . (2)已知数列 的前 n项和为 Sn,且 Sn=2an-2,则数列 的通项公式为 an= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 探究点三 数列的函数特征 考向 1 求最大 (小 )项 3 (1)2017临川实验中学月考 已知 an= (n N*),则在数
8、列 的前 100项中最小项和最大项分别是 ( ) A.a1,a100 B.a100,a44 C.a45,a44 D.a44,a45 (2)已知数列 的通项公式为 an=(n+1) (n N*),则该数列的最大项是第 项 . 总结反思 求数列的最大项与最小项的常用方法 : (1)将数列视为 函数 f 当 x N*时所对应的一列函数值 ,根据 f 的类型作出相应的函数图像 ,或利用求函数最值的方法 ,求出 f 的最值 ,进而求出数列的最大 (小 )项 ; (2)通过 通项公 式 an研究数列的单调性 ,利用 (n 2)确定最大项 ,利用 (n 2)确定最小项 . (3)比较法 : 若有 an+1-
9、an=f(n+1)-f(n)0 或 an0时 , 1 ,则 an+1an,则数列 an是递增数列 ,所以数列an的最小项为 a1=f(1); 若有 an+1-an=f(n+1)-f(n)0时 , 0时 ,an是 数列 ;当 d0,d0,则 Sn存在最 值 . 常用结论 等差数列的性质 1.已知 an,bn是公差分别为 d1,d2的等差数列 ,Sn是 an的前 n项和 ,则有以下结论 : (1)a2n是等差数列 ,公 差为 2d1. (2)pan+qbn是等差数列 (p,q 都是常数 ),且公差为 pd1+qd2. (3)ak,ak+m,ak+2m,? (k,m N*)是公差为 md1 的等差数列 . (4) 成等差数列 ,其首项与 an的首项相同 ,公差是 an的公差的 . (5)数列 pan,an+p都是等差数列 (p,q都是常数 ),且公差分别为 pd1,d1. 2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质
