1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (四十九 ) 椭圆 (一 ) 基础巩固 一、选择题 1中心在坐标原点的椭圆，焦点在 x 轴上，焦距为 4，离心率为 22 ，则该椭圆的方程为 ( ) A.x216y212 1 B.x212y28 1 C.x212y24 1 D.x28y24 1 解析 因为焦距为 4，所以 c 2，离心率 e ca 2a 22 ， a 2 2， b2 a2 c2 4，故选 D. 答案 D 2曲线 x225y29 1 与曲线x225 ky29 k 1(k2，故 0b0)的左焦点为 F， C 与过原点的直线相交于 A， B 两点，连接 AF， BF.若 |AB| 10
2、， |BF| 8， cos ABF 45，则 C的离心率为 ( ) A.35 B.57 C.45 D.67 解析 如图，设 |AF| x，则 cos ABF 82 102 x22810 45.解得 x 6， AFB 90 ，由椭圆及直线关于原点对称可知 |AF1| 8， FAF1 FAB FBA 90 ， FAF1 是直角三角形，所以 |F1F| 10，故 2a 8 6 14,2c 10， ca 57. 答案 B 6 (2017 上海崇明一模 )如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O， F( 2 5， 0)为 C 的左焦点， P 为 C 上一点，满足 |OP| |OF|且 |PF| 4，则椭圆
3、C 的方 程为 ( ) A.x225y25 1 B.x230y210 1 C.x236y216 1 D.x245y225 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 依题意，设椭圆方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，右焦点为 F ，连接 PF. 由已知，半焦距 c 2 5.又由 |OP| |OF| |OF| ，知 FPF 90. 在 Rt PFF 中， |PF| |FF| 2 |PF|2 5 2 42 8.由椭圆的定义可知2a |PF| |PF| 4 8 12，所以 a 6，于是 b2 a2 c2 62 (2 5)2 16，故所求椭圆方程为 x236y216 1，故选 C. 答案 C 二、
4、填空题 7 (2018 北京朝阳模拟 )已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的一个焦点是 F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点 M， N 与 F 构成正三角形，则此椭圆的方程为 _ 解析 由 FMN 为正三角形，得 c |OF| 32 |MN| 32 23b 1.解得 b 3， a2 b2 c2 4.故椭圆的方程为 x24y23 1. 答案 x24y23 1 8 (2018 湖北武汉十六中月考 )一个 圆经过椭圆 x216y24 1 的三个顶点，且圆心在 x轴上，则该圆的标准方程为 _ 解析 由 x216y24 1 可知椭圆的右顶点坐标为 (4,0)，上、下顶点坐标为 (0， 2) 圆经
5、过椭圆 x216y24 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴上， 当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时， 设圆的圆心为 (x,0)，则 x2 4 4 x，解得 x 32， 圆的半径为 52， 所求圆的方程为 ? ?x 32 2 y2 254. 当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时， =【 ;精品教育资源文库 】 = 同理可得圆的方程为 ? ?x 32 2 y2 254. 答案 ? ?x 32 2 y2 254 9从椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1， A 是椭圆与 x轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB OP(O 是坐标原点 )，
6、则该椭圆的离心率是 _ 解析 由已知，点 P( c， y) 在椭圆上，代入椭圆方程，得 P? ? c， b2a . AB OP， kAB kOP，即 ba b2ac，则 b c， a2 b2 c2 2c2，则 ca22 ，即该椭圆的离心率是22 . 答案 22 三、解答题 10 (2017 湖南长沙望城一中第三次调研 )P 为圆 A： (x 1)2 y2 8 上的动点，点B(1,0)线段 PB 的垂直平分线与半径 PA 相交于点 M，记点 M 的轨迹为 . (1)求曲线 的方程； (2)当点 P 在第一象限，且 cos BAP 2 23 时，求点 M 的坐标 解 (1)圆 A 的圆心为 A(
7、1,0)，半径等于 2 2. 由已知得 |MB| |MP|，所以 |MA| |MB| |MA| |MP| 2 2， 故曲线 是以 A， B 为焦点，以 2 2为长轴长的椭圆，设 的方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，a 2， c 1， b 1， 所以曲线 的方程为 x22 y2 1. (2)由点 P 在第一象限， cos BAP 2 23 ， |AP| 2 2，得 P? ?53， 2 23 . 于是直线 AP 的方程为 y 24 (x 1) 代入椭圆方程，消去 y，可得 5x2 2x 7 0，即 (5x 7)(x 1) 0. 所以 x1 1， x2 75.因为点 M 在线段 AP 上， 所
8、以点 M 的坐标为 ? ?1， 22 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 能力提升 11已知 F1， F2分别是椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点，若椭圆 C 上存在点 P，使得线段 PF1的中垂线恰好经过焦点 F2，则椭圆 C 离心率的取值范围是 ( ) A.? ?23， 1 B.? ?13， 22 C.? ?13， 1 D.? ?0， 13 解析 如图所示， 线段 PF1的中垂线经过 F2， PF2 F1F2 2c，即椭圆上存在一点 P，使得 PF2 2c. a c2 c a c. e ca ? ?13， 1 .故选 C. 答案 C 12如图，椭圆的中心在坐标原点 O
9、，顶点分别是 A1， A2， B1， B2，焦点分别为 F1， F2，延长 B1F2与 A2B2交于 P 点，若 B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值 范围为 ( ) A.? ?0， 5 14 B.? ?5 14 ， 1 C.? ?0， 5 12 =【 ;精品教育资源文库 】 = D.? ?5 12 ， 1 解析 设椭圆的方程为 x2a2y2b2 1(ab0)， B1PA2为钝角可转化为 B2A2， F2B1所夹的角为钝角，则 (a， b)( c， b)0，即 e2 e 10， e 5 12 或 en0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则 PF1
10、PF2 _. 解析 由题知 F1( c,0)， F2(c,0)，设 P(x0， y0)，则 x20 y20 b2， PF1 PF2 ( c x0， y0)( c x0， y0) x20 y20 c2 b2 c2 n (m n) 2n m. 答案 2n m 14 (2018 云南保山期末 )椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的一个焦点为 F1，若椭圆上存在一个点 P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF1 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为_ 解析 设 O 与 PF1切于点 M，连接 PF2， OM.因为 M 为 PF1的中点，所以 OM 綊 12PF2，得 |PF2| 2b，又 |PF1|
11、 |PF2| 2a，所以 |PF1| 2a 2b， |MF1| a b.在 Rt OMF1中，由 |OM|2 |MF1|2 |OF1|2，得 b2 (a b)2 c2.所以 b2 (a b)2 a2 b2，得 a 32b， c 52 b，所以e ca 53 . 答案 53 =【 ;精品教育资源文库 】 = 15已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)， F1， F2分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B. (1)若 F1AB 90 ，求椭圆的离心率 (2)若 AF2 2F2B， AF1 AB 32，求椭圆的方程 解 (1)若 F1AB 90 ，则 AOF2
12、为等腰直角三角形，所以有 OA OF2，即 b c. 所以 a 2c， e ca 22 . (2)由题知 A(0， b)， F1( c,0)， F2(c,0)，其中 c a2 b2，设 B(x， y) 由 AF2 2F2B，得 (c， b) 2(x c， y)， 解得 x 3c2 ， y b2， 即 B? ?3c2 ， b2 . 将 B 点坐标代入 x2a2y2b2 1，得94c2a2 b24b2 1，即9c24a214 1，解得 a2 3c2 . 又由 AF1 AB ( c， b) ? ?3c2 ， 3b2 32， 得 b2 c2 1，即有 a2 2c2 1 由 解得 c2 1， a2 3，
13、从而有 b2 2. 所以椭圆的方程为 x23y22 1. 16 (2017 贵州遵义模拟 )设 F1， F2分别是椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点， M是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 |MN| 5|F1N|，求 a， b. 解 (1) M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直， M 的横坐标为 c. 当 x c 时， y b2a，由直线 MN 的斜率为34，得 M?c， b2a ，即 tan MF1F2b2a2cb2
14、2ac34，即 b2 32ac a2 c2，即 c2 32ac a2 0，则 e2 32e 1 0，即 2e2 3e 2 0，解得 e 12或=【 ;精品教育资源文库 】 = e 2(舍去 )，即 e 12. (2)由题意，原点 O 是 F1F2的中点，则直线 MF1与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1的中点，设 M(c， y0)(y00)，则 c2a2y20b2 1，即 y20b4a2，解得 y0b2a. OD 是 MF1F2的中位线， b2a 4，即 b2 4a， 由 |MN| 5|F1N|， 得 |MF1| 4|F1N|，解得 |DF1| 2|F1N|，即 DF1 2F1N. 设
15、 N(x1， y1)，由题意知 y10，则 ( c， 2) 2(x1 c， y1) 即? x1 c c，2y1 2， 解得 ? x1 32c，y1 1，代入椭圆方程得 9c24a21b2 1， 将 b2 4a 代入得 a2 4a4a2 14a 1，解得 a 7， b 2 7. 延伸拓展 1 (2017 石家庄质检 )已知两定点 A( 2,0)和 B(2,0)，动点 P(x， y)在直线 l： y x 3 上移动，椭圆 C 以 A， B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为 ( ) A. 2613 B.2 2613 C.2 1313 D.4 1313 解析 设点 A 关于直线 l 的对称点为 A1(x1， y1)，则有? y1x1 2 1，y12x1 22 3，解得 x1 3， y1 1， 易知 |PA| |PB|的最小值等于 |A1B| 26，因此椭圆 C 的离心率 e |AB|PA| |PB| 4|PA| |PB|的最大值为 2 2613 . 答案 B 2 (2017 上海虹口一模 )一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60 的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 _ =【
