1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (十三 ) 函数模型及其应用 基础巩固 一、选择题 1物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率 (单位时间的运输量 )逐步提高的是 ( ) 解析 由运输效率 (单位时间的运输量 )逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的 答案 B 2 (2018 河南洛阳期中 )已知某种动物 繁殖量 y(只 )与时间 x(年 )的关系为 y
2、 alog3(x 1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到 ( ) A 100 只 B 200 只 C 300 只 D 400 只 解析 由题意知 100 alog3(2 1)， a 100， y 100log3(x 1)，当 x 8 时， y 100log39 200. 答案 B 3 (2017 福建质检 )当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为 “ 半衰期 ” 当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放 射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳 14 用一般的放射性探测器探测不到，则它经
3、过的 “ 半衰期 ” 个数至少是 ( ) A 8 B 9 C 10 D 11 解析 设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 1，则经过 n(n N*)个 “ 半衰期 ” 后的含量为 ? ?12 n，由 ? ?12 n200，化简得 (n2016)lg1.12lg2 lg1.3，所以 n 2016lg2 lg1.3lg1.12 3.8，所以 n 2020，因此开始超过200 万元的年份是 2020 年，故选 C. 答案 C 6国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4000元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳
4、税已知某人出版一本书，共纳税 420 元，则这个人应得稿费 (扣税前 )为 ( ) A 2800 元 B 3000 元 C 3800 元 D 3818 元 解析 设扣税前应得稿费为 x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得 y? 0， 0 x800 ，x ， 8004000.如果稿费为 4000 元应纳税为 448 元，现知某人共 纳税 420 元，所以稿费应在 800 4000=【 ;精品教育资源文库 】 = 元之间， (x 800)14% 420， x 3800. 答案 C 二、填空题 7.(2016 江西六校联考 )A、 B 两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲乙两地开出 A
5、 从甲地自东向西行驶 B 从乙地自北向南行驶， A 的速度是 40 km/h， B 的速度是 16 km/h，经过 _小时， AB 间的距离最短 解析 设经过 x h， A， B 相距为 y km， 则 y 40x 2 x 2? ?0 x 298 ，求得函数的最小值时 x 的值为 258. 答案 258 8 (2017 北京海淀一模 )某购物网站在 2014 年 11 月开展 “ 全场 6 折 ” 促销活动，在11 日当天购物还可以再享受 “ 每张订单金额 (6 折后 )满 300 元时可减免 100 元 ” 某人在11 日当天欲购入原价 48 元 (单价 )的商品共 42 件，为使花钱总数最
6、少，他最少需要下的订单张数为 _ 解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足 “ 每张订单金额 (6 折后 )满 300 元时可减免 100 元 ” ，即每张订单打折前原金额不少于 500 元由于每件原价 48 元，因此每张订单至少 11 件，所以最少需要下的订单张数为 3 张 答案 3 9某食品的保鲜时间 t(单位：小时 )与储藏温度 x(单位： ) 满足函数关系 t? 64， x0 ，2kx 6， x0 且该食品在 4 的保鲜时间是 16 小时已知甲在某日上午 10 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示给出以下四个结论： =【 ;精品教育资源文库 】 = 该食
7、品在 6 的保鲜时间是 8 小时 ； 当 x 6,6时，该食品的保鲜时间 t 随着 x增大而逐渐减少； 到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； 到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间 其中，所有正确结论的序号是 _ 解析 食品的保鲜时间 t(单位：小时 )与储藏温度 x(单位： ) 满足函数关系 t? 64， x02kx 6， x0 且该食品在 4 的保鲜时间是 16 小时 24k 6 16，即 4k 6 4，解得 k 12， t? 64， x02 12x 6， x0当 x 6 时， t 8. 该食品在 6 的保鲜时间是 8 小时，正确； 当 x 6,0时，保鲜时间恒为
8、 64 小时，当 x (0,6时，该食品的保鲜时间 t随着 x 增大而逐渐减少，故错误； 到了此日 10 时，温度超过 8 度，此时保鲜时间不超过4 小时，故到 13 时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误； 到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确故正确的结论的序号为 . 答案 三、解答题 10已知某物体的温度 (单位：摄氏度 )随时间 t(单位：分钟 )的变化规律： m2 t 21 t(t0 ，并且 m0) (1)如果 m 2，求经过多少时间，物体的温度为 5 摄氏度； (2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度，求 m 的取值范围 解 (1)若 m 2，则 22 t 21
9、 t 2? ?2t 12t ， 当 5 时， 2t 12t 52，令 2t x1 ，则 x 1x 52， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 2x2 5x 2 0，解得 x 2 或 x 12(舍去 )， 此时 t 1.所以经过 1 分钟，物体的温度为 5 摄氏度 (2)物体的温度总不低于 2 摄氏度，即 2 恒成立 亦 m2 t 22t2 恒成立，亦即 m2 ? ?12t 122t 恒成立 令 12t x，则 0x1 ， m2( x x2)， 由于 x x2 14， m 12.因此，当物体的温度总不低于 2 摄氏度时， m 的取值范围是?12， . 能力提升 11 (2017 陕西西安模拟
10、)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数 x(正常情况 0 x100 ，且教职工平均月评价分数在 50 分左右，若有突出贡献可以高于 100 分 )计算当月绩效工资 y 元要求绩效工资不低于 500 元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在 600 元左右，另外绩效工资越低、越高人数要 越少则下列函数最符合要求的是 ( ) A y (x 50)2 500 B y 10x25 500 C y 11000(x 50)3 625 D y 5010 lg(2x 1) 解析 由题意知，函数应满足单调递增，且先慢后快，在 x 50 左右增长缓慢，最小值为 500， A 是先减后
11、增，不符合要求； B 由指数函数知是增长越来越快，不符合要求； D由对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求； C 是由 y x3经过平移和伸缩变换而得，最符合题目要求 ，故选 C. 答案 C 12 (2017 石家庄质检 )加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“ 可食用率 ” 在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟 )满足函数关系 p at2 bt c(a， b， c 是常数 )，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 3.50 分钟 B 3.75 分钟 C 4.00 分钟 D
12、4.25 分钟 解析 根据图表，把 (t， p)的三组数据 (3,0.7)， (4， 0.8)， (5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得? 0.7 9a 3b c，0.8 16a 4b c，0.5 25a 5b c，消去 c 化简得? 7a b 0.1，9a b 0.3， 解得? a 0.2，b 1.5，c 2.所以 p 0.2t2 1.5t 2 15? ?t2 152t 22516 4516 2 15?t 1542 1316，所以当 t154 3.75 时， p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟 答案 B 13一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢
13、地匀速漏出， t min后剩余的细沙量为 y ae b t(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子， 则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一 解析 当 t 0 时， y a，当 t 8 时， y ae 8b 12a， e 8b 12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即 y ae b t 18a， e b t 18 (e 8b)3 e 24b， 则 t 24，所以再经过 16 min. 答案 16 14为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某=【 ;精品教育资源文库 】 = 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔 热层，每厘米厚的隔热
14、层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元 )与隔热层厚度 x(单位： cm)满足关系 C(x) k3x 5(0 x10) ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 解 (1)由已知条件得 C(0) 8，则 k 40， 因此 f(x) 6x 20 C(x) 6x 8003x 5(0 x1 0) (2)f(x) 6x 10 8003x 5 10 2 x 8003x 5 10 70(万元 )， 当且仅当 6x 10 8003x 5，即 x 5 时等号成立 所以当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70 万元 15 (2017 吉林长春模拟 )一种药在病人血液中的含量不低于 2 克时，它才能起到有效治疗的作用已知每服用 m(1 m4 且 m R)克的药剂，药剂在血液中的含量 y(克 )随着时间 x(小时 )变化的函 数关系式近似为 y m f(x)，其中 f(x)? 104 x， 0 x6，4 x2， 6 x8.(1)若病人一次服用 3 克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？ (2)若病人第一次服用 2 克的药剂， 6 个小时后
